1.4: Problemas

1.1. Encuentra todas las soluciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Cuando se da una condición inicial, encuentre la solución particular que satisfagan esa condición.

a.\(\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{\sqrt{1-y^{2}}}{x}\)

b.\(x y^{\prime}=y(1-2 y), \quad y(1)=2\)

c.\(y^{\prime}-(\sin x) y=\sin x\)

d.\(x y^{\prime}-2 y=x^{2}, y(1)=1\)

e.\(\dfrac{d s}{d t}+2 s=s t^{2}, \quad, s(0)=1\)

f.\(x^{\prime}-2 x=t e^{2 t}\)

1.2. Encuentra todas las soluciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Cuando se da una condición inicial, encuentre la solución particular que satisfagan esa condición.

a.\(y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+20 y=0\)

b.\(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1\)

c.\(x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+4 y=0, \quad x>0\)

d.\(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+3 y=0, \quad x>0\)

1.3. Considerar la ecuación diferencial

\[\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x}{y}-\dfrac{x}{1+y} \nonumber \]

a. Encuentre la familia de soluciones de 1 parámetro (solución general) de esta ecuación.

b. Encontrar la solución de esta ecuación satisfaciendo la condición inicial\(y(0)=1\). ¿Es este miembro de la familia de 1 parámetro?

1.4. El problema del valor inicial

\[\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y^{2}+x y}{x^{2}}, \quad y(1)=1 \nonumber \]

no entra en la clase de problemas considerados en nuestra revisión. Sin embargo, si se sustituye\(y(x)=x z(x)\) en la ecuación diferencial, se obtiene una ecuación para la\(z(x)\) cual se puede resolver. Utilice esta sustitución para resolver el problema de valor inicial para\(y(x)\).

1.5. Considera la ecuación diferencial no homogénea\(x^{\prime \prime}-3 x^{\prime}+2 x=6 e^{3 t}\).

a. Encontrar la solución general de la ecuación homogénea.

b. Encontrar una solución particular utilizando el Método de Coeficientes Indeterminados adivinando\(x_{p}(t)=A e^{3 t}\)

c. Usa tus respuestas en las partes anteriores para anotar la solución general para este problema.

1.6. Encuentra la solución general de cada ecuación diferencial. Cuando se da una condición inicial, encuentre la solución particular que satisfagan esa condición.

a.\(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=20 e^{-2 x}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=6\)

b.\(y^{\prime \prime}+y=2 \sin 3 x\)

c.\(y^{\prime \prime}+y=1+2 \cos x\)

d.\(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=3 x^{2}-x, \quad x>0\)

1.7. Verificar que la función dada es una solución y usa Reducción de Orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente.

a.\(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-4 y=0, \quad y_{1}(x)=x^{4}\)

b.\(x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+4 x^{3} y=0, \quad y_{1}(x)=\sin \left(x^{2}\right)\)

1.8. Un cierto modelo del movimiento de una bola de whiffle lanzada viene dado por

\[m x^{\prime \prime}+c x^{\prime}+m g=0, \quad x(0)=0, \quad x^{\prime}(0)=v_{0} \nonumber \]

Aquí\(m\) está la masa de la bola,\(g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) es la aceleración por gravedad y\(c\) es una medida de la amortiguación. Como no hay\(x\) término, podemos escribir esto como una ecuación de primer orden para la velocidad\(v(t)=x^{\prime}(t)\):

\[m v^{\prime}+c v+m g=0 \nonumber \]

a. Encuentre la solución general para la velocidad\(v(t)\) de la ecuación diferencial lineal de primer orden anterior.

b. utilizar la solución de la parte a para encontrar la solución general para el puesto\(x(t)\).

c. ¿Encuentra una expresión para determinar cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima?

d. Supongamos que\(c / m=10 \mathrm{~s}^{-1}\). Para\(v_{0}=5,10,15,20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\), trazar la solución,\(x(t)\), versus el tiempo.

e. a partir de sus parcelas y la expresión en la parte c, determinar el tiempo de subida. ¿Estas respuestas están de acuerdo?

f. ¿Qué puedes decir sobre el tiempo que tarda la pelota en caer en comparación con el tiempo de subida?