1.3:1.3 Apéndice- Reducción de orden y raíces complejas

En esta sección proporcionamos algunos de los detalles que conducen a las formas generales para el coeficiente constante y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler. En la primera subsección revisamos cómo se utiliza el Método de Reducción del Orden para obtener las segundas soluciones linealmente independientes para el caso de una raíz repetida. En la segunda subsección revisamos cómo se pueden utilizar las soluciones complejas para producir dos soluciones reales linealmente independientes.

Método de Reducción de Orden

Primero consideramos ecuaciones de coeficiente constante. En el caso de que haya una raíz real repetida, uno solo tiene una solución independiente,\(y_{1}(x)=e^{r x}\). La pregunta es ¿cómo se obtiene la segunda solución? Dado que las soluciones son independientes, debemos tener que tener que la relación no\(y_{2}(x) / y_{1}(x)\) sea una constante. Entonces, adivinamos la forma\(y_{2}(x)=v(x) y_{1}(x)=v(x) e^{r x}\). Para ecuaciones de segundo orden de coeficiente constante, podemos escribir la ecuación como

\[(D-r)^{2} y=0 \nonumber \]

donde\(D=\dfrac{d}{d x}\).
Ahora insertamos\(y_{2}(x)\) en esta ecuación. Primero calculamos

\[(D-r) v e^{r x}=v^{\prime} e^{r x} \nonumber \]

Entonces,

\[(D-r)^{2} v e^{r x}=(D-r) v^{\prime} e^{r x}=v^{\prime \prime} e^{r x} \nonumber \]

Entonces, si\(y_{2}(x)\) va a ser una solución a la ecuación diferencial,\((D-r)^{2} y_{2}=0\), entonces\(v^{\prime \prime}(x) e^{r x}=0\) para todos\(x\). Entonces,\(v^{\prime \prime}(x)=0\), lo que implica que

\[v(x)=a x+b \nonumber \]

Entonces,

\[y_{2}(x)=(a x+b) e^{r x} \nonumber \]

Sin pérdida de generalidad, podemos tomar\(b=0\) y\(a=1\) obtener la segunda solución linealmente independiente,\(y_{2}(x)=x e^{r x}\).

Derivar la solución para el Caso 2 para las ecuaciones de Cauchy-Euler es más desordenado, pero funciona de la misma manera. Primero tenga en cuenta que para la raíz real,\(r=r_{1}\), la ecuación característica tiene que factorial como\(\left(r-r_{1}\right)^{2}=0\). Ampliando, tenemos

\[r^{2}-2 r_{1} r+r_{1}^{2}=0 \nonumber \]

La ecuación característica general es

\[a r(r-1)+b r+c=0 \nonumber \]

Reescribiendo esto, tenemos

\[r^{2}+\left(\dfrac{b}{a}-1\right) r+\dfrac{c}{a}=0 \nonumber \]

Comparando ecuaciones, encontramos

\[\dfrac{b}{a}=1-2 r_{1}, \quad \dfrac{c}{a}=r_{1}^{2} \nonumber \]

Entonces, la ecuación general de Cauchy-Euler en este caso toma la forma

\[x^{2} y^{\prime \prime}+\left(1-2 r_{1}\right) x y^{\prime}+r_{1}^{2} y=0 \nonumber \]

Ahora buscamos la segunda solución linealmente independiente en la\(y_{2}(x)= v(x) x^{r_{1}}\) forma.Primero enumeramos esta función y sus derivados,

\ [\ begin {alineado}
y_ {2} (x) &=v x^ {r_ {1}}\\
y_ {2} ^ {\ prime} (x) &=\ left (x v^ {\ prime} +r_ {1} v\ derecha) x^ {r_ {1} -1}\\
y_ {2} ^ {\ prime\ prime} (x) &=\ izquierda (x^ {2} v^ {\ prime\ prime} +2 r_ {1} x v^ {\ prime} +r_ {1}\ izquierda (r_ {1} -1\ derecha) v\ derecha) x^ {r_ {1} -2}.
\ end {alineado}\ etiqueta {1.32}\]

Insertando estas formas en la ecuación diferencial, tenemos

\ [\ begin {alineado}
0 &=x^ {2} y^ {\ prime\ prime} +\ izquierda (1-2 r_ {1}\ derecha) x y^ {\ prime} +r_ {1} ^ {2} y\\
&=\ izquierda (x v^ {\ prime\ prime} +v^ {\ prime}\ derecha) x^ {r_ {1} +1}
\ fin alineado}\ etiqueta {1.33}\]

Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación

\[x v^{\prime \prime}+v^{\prime}=0 \nonumber \]

o

\[\dfrac{v^{\prime \prime}}{v^{\prime}}=-\dfrac{1}{x} \nonumber \]

Integrando, tenemos

\[\ln \left|v^{\prime}\right|=-\ln |x|+C. \nonumber \]

Exponenciando, tenemos una última ecuación diferencial que resolver,

\[v^{\prime}=\dfrac{A}{x} \nonumber \]

Por lo tanto,

\[v(x)=A \ln |x|+k \nonumber \]

Entonces, hemos encontrado que la segunda ecuación linealmente independiente puede escribirse como

\[y_{2}(x)=x^{r_{1}} \ln |x| \nonumber \]

Raíces Complejas

Cuando uno tiene raíces complejas en la solución de ecuaciones de coeficientes constantes, uno necesita mirar las soluciones

\[y_{1,2}(x)=e^{(\alpha \pm i \beta) x} \nonumber \]

Hacemos uso de la fórmula de Euler

\[e^{i \beta x}=\cos \beta x+i \sin \beta x \label{1.34} \]

Entonces la combinación lineal de\(y_{1}(x)\) y\(y_{2}(x)\) se convierte

\ [\ begin {alineado}
A e^ {(\ alpha+i\ beta) x} +B e^ {(\ alpha-i\ beta) x} &=e^ {\ alpha x}\ left [A e^ {i\ beta x} +B e^ {-i\ beta x}\ derecha]\\
&=e^ {\ alpha x} [(A+B)\ cos\ beta x+i (A-B)\ beta x+i (B)\ sin\ beta x]\\
&\ equiv e^ {\ alfa x}\ izquierda (c_ {1}\ cos\ beta x+c_ {2}\ sin\ beta x\ derecha)
\ final {alineado}\ etiqueta {1.35}\]

Así, vemos que tenemos una combinación lineal de dos soluciones reales, linealmente independientes,\(e^{\alpha x} \cos \beta x\) y\(e^{\alpha x} \sin \beta x\).

Al tratar con las ecuaciones de Cauchy-Euler, tenemos soluciones de la forma\(y(x)=x^{\alpha+i \beta}\). La clave para obtener soluciones reales es recordar primero que

\[x^{y}=e^{\ln x^{y}}=e^{y \ln x} \nonumber \]

Así, un poder puede escribirse como exponencial y la solución puede escribirse como

\[y(x)=x^{\alpha+i \beta}=x^{\alpha} e^{i \beta \ln x}, \quad x>0 \nonumber \]

Ahora podemos encontrar dos soluciones reales, linealmente independientes,\(x^{\alpha} \cos (\beta \ln |x|)\) y\(x^{\alpha} \sin (\beta \ln |x|)\) siguiendo los mismos pasos anteriores para el caso de coeficiente constante.