2.8: Sistemas no homogéneos
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Antes de abandonar la teoría de sistemas de sistemas lineales, de coeficientes constantes, discutiremos los sistemas no homogéneos. Nos gustaría resolver sistemas de la forma
\[\mathbf{x}^{\prime}=A(t) \mathbf{x}+\mathbf{f}(t) \label{2.70} \]
Supondremos que hemos encontrado la solución matriz fundamental de la ecuación homogénea. Además, vamos a suponer que\(A(t)\) y\(\mathbf{f}(t)\) son continuos en algún dominio común.
Al igual que con las ecuaciones de segundo orden, podemos buscar soluciones que sean una suma de la solución general al problema homogéneo más una solución particular del problema no homogéneo. A saber, podemos escribir la solución general como
\(\mathbf{x}(t)=\Phi(t) \mathbf{C}+\mathbf{x}_{p}(t)\),
donde\(\mathbf{C}\) es un vector constante arbitrario,\(\Phi(t)\) es la solución matriz fundamental de\(\mathbf{x}^{\prime}=A(t) \mathbf{x}\), y
\[\mathbf{x}_{p}^{\prime}=A(t) \mathbf{x}_{p}+\mathbf{f}(t) \nonumber \]
Tal representación es fácilmente verificada.
Tenemos que encontrar la solución particular,\(\mathbf{x}_{p}(t)\). Podemos hacer esto aplicando El Método de Variación de Parámetros para Sistemas. Consideramos una solución en la forma de la solución del problema homogéneo, pero reemplazamos el vector constante por funciones de parámetros desconocidos. A saber, suponemos que
\[\mathbf{x}_{p}(t)=\Phi(t) \mathbf{c}(t) \nonumber \]
Diferenciando, tenemos que
\(\mathbf{x}_{p}^{\prime}=\Phi^{\prime} \mathbf{c}+\Phi \mathbf{c}^{\prime}=A \Phi \mathbf{c}+\Phi \mathbf{c}^{\prime}\),
o
\[\mathbf{x}_{p}^{\prime}-A \mathbf{x}_{p}=\Phi \mathbf{c}^{\prime} \nonumber \]
Pero el lado izquierdo es\(\mathbf{f}\). Entonces, tenemos eso,
\[\Phi \mathbf{c}^{\prime}=\mathbf{f} \nonumber \]
o, ya que\(\Phi\) es invertible (¿por qué?) ,
\[\mathbf{c}^{\prime}=\Phi^{-1} \mathbf{f} \nonumber \]
En principio, esto se puede integrar para dar\(\mathbf{c}\). Por lo tanto, la solución particular puede escribirse como
\[\mathbf{x}_{p}(t)=\Phi(t) \int^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \label{2.71} \]
Esta es la fórmula de variación de parámetros.
La solución general de la Ecuación (2.70) se ha encontrado como
\[\mathbf{x}(t)=\Phi(t) \mathbf{C}+\Phi(t) \int^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \label{2.72} \]
Podemos usar la solución general para encontrar la solución particular de un problema de valor inicial consistente en la Ecuación (2.70) y la condición inicial\(\mathbf{x}\left(t_{0}\right)= \mathbf{x}_{0}\). Esta condición se cumple para una solución del formulario
\[\mathbf{x}(t)=\Phi(t) \mathbf{C}+\Phi(t) \int_{t_{0}}^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \label{2.73} \]
siempre
\[\mathbf{x}_{0}=\mathbf{x}\left(t_{0}\right)=\Phi\left(t_{0}\right) \mathbf{C} \nonumber \]
Esto se puede resolver\(\mathbf{C}\) como en la última sección. Insertando la solución de nuevo en la solución general (2.73), tenemos
\[\mathbf{x}(t)=\Phi(t) \Phi^{-1}\left(t_{0}\right) \mathbf{x}_{0}+\Phi(t) \int_{t_{0}}^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \label{2.74} \]
Esta solución se puede escribir un poco más limpia en términos de la solución matriz principal,\(\Psi(t)=\Phi(t) \Phi^{-1}\left(t_{0}\right)\):
\[\mathbf{x}(t)=\Psi(t) \mathbf{x}_{0}+\Psi(t) \int_{t_{0}}^{t} \Psi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \label{2.75} \]
Por último, se produce una simplificación más cuando\(A\) es una matriz constante, que son los únicos tipos de problemas que hemos resuelto en este capítulo. En este caso, tenemos eso\(\Psi^{-1}(t)=\Psi(-t)\). Entonces, la computación\(\Psi^{-1}(t)\) es relativamente fácil.
Este ejemplo se puede resolver utilizando el Método de Coeficientes Indeterminados. Sin embargo, utilizaremos el método matricial descrito en esta sección.
Primero, escribimos el problema en forma de matriz. El sistema se puede escribir como
\ [\ comenzar {reunido}
x^ {\ prime} =y\\
y^ {\ prime} =-x+2\ cos t
\ fin {reunido}\ etiqueta {2.76}\]
Así, tenemos un sistema no homogéneo de la forma
\ (\ mathbf {x} ^ {\ prime} =A\ mathbf {x} +\ mathbf {f} =\ left (\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
-1 & 0
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {l}
x\\
y
\ end {array}\ derecha) +\ left (\ begin {array} {c}
0\
2\ cos t
\ end {array}\ derecha)\)
A continuación necesitamos la matriz fundamental de soluciones del problema homogéneo. Tenemos eso
\ (A=\ left (\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
-1 & 0
\ end {array}\ right)\)
Los valores propios de esta matriz son\(\lambda=\pm i\). Un vector propio asociado con $\ lambda=i$ se encuentra fácilmente como\(\left(\begin{array}{l}1 \\ i\end{array}\right)\). Esto lleva a una solución compleja
\ (\ left (\ begin {array} {l}
1\\
i
\ end {array}\ derecha) e^ {i t} =\ left (\ begin {array} {l}
\ cos t+i\ sin t\\
i\ cos t-\ sin t
\ end {array}\ right)\)
A partir de esta solución podemos construir la matriz de solución fundamental
\ (\ Phi (t) =\ left (\ begin {array} {c}
\ cos t\ sin t\
-\ sin t\ cos t
\ fin {matriz}\ derecha)\)
Entonces, la solución general al problema homogéneo es
\ (\ mathbf {x} _ {h} =\ Phi (t)\ mathbf {C} =\ izquierda (\ comenzar {matriz} {c}
c_ {1}\ cos t+c_ {2}\ sin t\\
-c_ {1}\ sin t+c_ {2}\ cos t
\ fin {matriz}\ derecha)\)
A continuación buscamos una solución particular al problema no homogéneo. De la Ecuación (2.73) vemos que necesitamos\(\Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s)\). Por lo tanto, tenemos
\ [\ begin {aligned}
\ Phi^ {-1} (s)\ mathbf {f} (s) &=\ left (\ begin {array} {cc}\ cos s & -\ sin s\\ sin s &\ cos s\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {c} 0\\ 2\ cos s\ end {array}\ right)\\
&= left (\ begin {array} {c} -2\ sin s\ cos s\\ 2\ cos ^ {2} s\ end {array}\ derecha)
\ end {alineado}\ etiqueta {2.77}\]
Ahora calculamos
\ [\ begin {alineado}
\ Phi (t)\ int_ {t_ {0}} ^ {t}\ Phi^ {-1} (s)\ mathbf {f} (s) d s &=\ left (\ begin {array} {c}
\ cos t\ sin t\
-\ sin t\ cos t
\ end {array}\ derecha)\ int_ {t_ {0}} ^ ^ {t}\ left (\ begin {array} {c}
-2\ sin s\ cos s\\
2\ cos ^ {2} s
\ end {array}\ right) d s\\
&=\ left (\ begin {array} {c}
\ cos t\ sin t\
-\ sin t\ cos t
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {c}
-\ sin ^ {2} t\\
t+\ dfrac {1} {2}\ sin (2 t)
\ end {array}\ derecha )\\
&=\ left (\ begin {array} {c}
t\ sin t\
\ sin t+t\ cos t
\ end {array}\ derecha)
\ end {alineada}\ label {2.78}\]
por lo tanto, la solución general es
\ (\ mathbf {x} =\ left (\ begin {array} {c}
c_ {1}\ cos t+c_ {2}\ sin t\\
-c_ {1}\ sin t+c_ {2}\ cos t
\ end {array}\ derecha) +\ left (\ begin {array} {c}
t\ sin t
\\ sin t+t\ cos t
\ end {}\ derecha)\)
La solución al problema del valor inicial es
\ (\ mathbf {x} =\ left (\ begin {array} {cc}
\ cos t &\ sin t\
-\ sin t &\ cos t
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {l}
4\\
0
\ end {array}\ right) +\ left (\ begin {array} {c}
t\ sin t\
\ sin t+t\ cos t
\ end {array}\ right)\),
o
\ (\ mathbf {x} =\ left (\ begin {array} {c}
4\ cos t+t\ sin t\\
-3\ sin t+t\ cos t
\ end {array}\ right)\).