3.10: Apéndice - Periodo del Péndulo No Lineal

En la Sección 3.5.1 vimos que la solución del problema del péndulo no lineal se puede encontrar hasta cuadratura. De hecho, la integral en la Ecuación (3.19) puede transformarse en lo que se conoce como una integral elíptica de primer tipo. Reescribiremos nuestro resultado y luego lo usaremos para obtener una aproximación al período de oscilación de nuestro péndulo no lineal, conduciendo a correcciones al resultado lineal encontrado anteriormente.

Primero reescribiremos la constante que se encuentra en (3.18). Esto requiere un poco de física. El balanceo de una masa sobre una cuerda, asumiendo que no hay pérdida de energía en el punto de pivote, es un proceso conservador. A saber, se conserva la energía mecánica total. Así, el total de las energías potenciales cinéticas y gravitacionales es una constante. Señalando que\(v = L \dot{\theta}\), la energía cinética de la masa en la cuerda se da como

\[T = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}mL^2 \dot{\theta} {}^2. \nonumber \]

La energía potencial es la energía potencial gravitacional. Si establecemos la energía potencial a cero en la parte inferior del columpio, entonces la energía potencial es\(U=m g h\), dónde\(h\) está la altura a la que está la masa desde el fondo del columpio. Un poco de trigonometría da eso\(h=L(1-\cos \theta)\). Esto le da la energía potencial como

\[U=m g L(1-\cos \theta). \nonumber \]

Entonces, la energía mecánica total es

\[E=\dfrac{1}{2} m L^{2} \theta^{2}+m g L(1-\cos \theta) \label{3.56} \]

Observamos que un poco de reorganización muestra que podemos relacionar esto con la Ecuación (3.18):

\[\dfrac{1}{2}\left(\theta^{\prime}\right)^{2}-\omega^{2} \cos \theta=\dfrac{1}{m L^{2}} E-\omega^{2}=c. \nonumber \]

Podemos usar la Ecuación (3.56) para obtener un valor para la energía total. En la parte superior del columpio la masa no se mueve, aunque sólo sea por un momento. Así, la energía cinética es cero y la energía total es energía potencial pura. Dejando\(\theta_{0}\) denotar el ángulo en la posición más alta, tenemos que

\[E=m g L\left(1-\cos \theta_{0}\right)=m L^{2} \omega^{2}\left(1-\cos \theta_{0}\right). \nonumber \]

Aquí hemos utilizado la relación\(g=L \omega^{2}\).
Por lo tanto, hemos encontrado que

\[\dfrac{1}{2} \dot{\theta}^{2}-\omega^{2} \cos \theta=\omega^{2}\left(1-\cos \theta_{0}\right) \label{3.57} \]

Usando la fórmula de medio ángulo,

\[\sin ^{2} \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}(1-\cos \theta) \nonumber \]

podemos reescribir la Ecuación (3.57) como

\[\dfrac{1}{2} \dot{\theta}^{2}=2 \omega^{2}\left[\sin ^{2} \dfrac{\theta_{0}}{2}-\sin ^{2} \dfrac{\theta}{2}\right] \label{3.58} \]

Resolviendo para\(\theta^{\prime}\), tenemos

\[\dfrac{d \theta}{d t}=2 \omega\left[\sin ^{2} \dfrac{\theta_{0}}{2}-\sin ^{2} \dfrac{\theta}{2}\right]^{1 / 2} \label{3.59} \]

Ahora se puede aplicar la separación de variables y obtener una integral similar a la solución que habíamos obtenido anteriormente. Observando que un movimiento de $\ theta=0$ a\(\theta=\theta_{0}\) es un cuarto de ciclo, entonces tenemos que

\[T=\dfrac{2}{\omega} \int_{0}^{\theta_{0}} \dfrac{d \phi}{\sqrt{\sin ^{2} \dfrac{\theta_{0}}{2}-\sin ^{2} \dfrac{\theta}{2}}} \label{3.60} \]

Este resultado no es muy diferente a nuestro resultado anterior, pero ahora podemos transformar fácilmente la integral en una integral elíptica. Definimos

\[z=\dfrac{\sin \dfrac{\theta}{2}}{\sin \dfrac{\theta_{0}}{2}} \nonumber \]

y

\[k=\sin \dfrac{\theta_{0}}{2}. \nonumber \]

Entonces la Ecuación (3.60) se convierte

\[T=\dfrac{4}{\omega} \int_{0}^{1} \dfrac{d z}{\sqrt{\left(1-z^{2}\right)\left(1-k^{2} z^{2}\right)}} \label{3.61} \]

Esto se hace al señalar eso\(d z=\dfrac{1}{2 k} \cos \dfrac{\theta}{2} d \theta=\dfrac{1}{2 k}\left(1-k^{2} z^{2}\right)^{1 / 2} d \theta\) y aquello\(\sin ^{2} \dfrac{\theta_{0}}{2}-\sin ^{2} \dfrac{\theta}{2}=k^{2}\left(1-z^{2}\right)\). La integral en este resultado es una integral elíptica de primer tipo. En particular, la integral elíptica del primer tipo se define como

\[F(\phi, k) \equiv=\int_{0}^{\phi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}}=\int_{0}^{\sin \phi} \dfrac{d z}{\sqrt{\left(1-z^{2}\right)\left(1-k^{2} z^{2}\right)}} \nonumber \]

En algunos contextos, esto se conoce como la integral elíptica incompleta del primer tipo y\(K(k)=F\left(\dfrac{\pi}{2}, k\right)\) se llama la integral completa del primer tipo.
Hay tablas de valores para integrales elípticas. Históricamente, así es como se encontraron valores de integrales elípticas. Sin embargo, ahora tenemos acceso a sistemas informáticos de álgebra que pueden ser utilizados para calcular valores de tales integrales. Para ángulos pequeños, tenemos que\(k\) es pequeño. Entonces, podemos desarrollar una expansión en serie para el periodo,\(T\), para pequeños\(k\). Esto se hace expandiendo primero

\[\left(1-k^{2} z^{2}\right)^{-1 / 2}=1+\dfrac{1}{2} k^{2} z^{2}+\dfrac{3}{8} k^{2} z^{4}+O\left((k z)^{6}\right) \nonumber \]

Sustituyendo esto en el término integrando y integrando término por término, se encuentra que

\[T=2 \pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}\left[1+\dfrac{1}{4} k^{2}+\dfrac{9}{64} k^{4}+\ldots\right] \label{3.62} \]

Esta expresión da más correcciones al resultado lineal, que sólo proporciona el primer término. En la Figura 3.37 se muestran los errores relativos incurridos al mantener los\(k^{4}\) términos\(k^{2}\) y versus no conservarlos. Se pide al lector que explore esto más a fondo en el Problema 3.8.

Figura 3.37. El error relativo en porcentaje al aproximar el periodo exacto de un péndulo no lineal con uno, dos o tres términos en la Ecuación (3.62).