3.11: Problemas

3.1. Encuentre las soluciones de equilibrio y determine su estabilidad para los siguientes sistemas. Para cada caso dibuje soluciones representativas y líneas de fase.

a.\(y^{\prime}=y^{2}-6 y-16\)

b.\(y^{\prime}=\cos y\)

c.\(y^{\prime}=y(y-2)(y+3)\)

d.\(y^{\prime}=y^{2}(y+1)(y-4)\)

3.2. Para\(y^{\prime}=y-y^{2}\), encuentre la solución general correspondiente a\(y(0)=y_{0}\). Proporcionar soluciones específicas para las siguientes condiciones iniciales y esbozarlas:

a.\(y(0)=0.25\), b.\(y(0)=1.5\), y c.\(y(0)=-0.5\)

3.3. Para cada problema determinar puntos de equilibrio, puntos de bifurcación y construir un diagrama de bifurcación. Discutir los diferentes comportamientos en cada sistema.

a.\(y^{\prime}=y-\mu y^{2}\)

b.\(y^{\prime}=y(\mu-y)(\mu-2 y)\)

c.\(x^{\prime}=\mu-x^{3}\)

d.\(x^{\prime}=x-\dfrac{\mu x}{1+x^{2}}\)

3.4. Considera la familia de ecuaciones diferenciales\(x^{\prime}=x^{3}+\delta x^{2}-\mu x\).

a. Dibuje un diagrama de bifurcación en el\(x \mu\) plano -para\(\delta=0\).

b. Dibuje un diagrama de bifurcación en el\(x \mu\) plano -para\(\delta>0\).

Pista: Elija algunos valores de\(\delta\) y\(\mu\) para tener una idea de cómo se comporta este sistema.

3.5. Considerar el sistema

\ begin {alineado}
x^ {\ prime} &=-y+x\ izquierda [\ mu-x^ {2} -y^ {2}\ derecha]\\
y^ {\ prime} &=x+y\ izquierda [\ mu-x^ {2} -y^ {2}\ derecha]
\ end {alineado}

Reescribir este sistema en forma polar. Observa el comportamiento de la\(r\) ecuación y construye un diagrama de bifurcación en el\(\mu\) espacio. ¿Cómo podría ser este diagrama en el\(\mu x y\) espacio tridimensional? (Piense en la simetría en este problema.) Esto lleva a lo que se llama una bifurcación Hopf.

3.6. Encuentra los puntos fijos de los siguientes sistemas. Linealizar el sistema alrededor de cada punto fijo y determinar la naturaleza y estabilidad en la vecindad de cada punto fijo, cuando sea posible. Verifique sus hallazgos trazando retratos de fase usando una computadora.

a.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =x (100-x-2 y)\\
&y^ {\ prime} =y (150-x-6 y)
\ end {alineado}

b.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =x+x^ {3}\\
&y^ {\ prime} =y+y^ {3}
\ end {alineado}

c.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =x-x^ {2} +x y\\
&y^ {\ prime} =2 y-x y-6 y^ {2}
\ end {alineado}

d.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =-2 x y\\
&y^ {\ prime} =-x+y+x y-y^ {3}
\ end {alineado}

3.7. Trazar retratos de fase para el sistema Lienard

\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =y-\ mu\ izquierda (x^ {3} -x\ derecha)\\
&y^ {\ prime} =-x
\ end {alineado}

por un valor pequeño y no tan pequeño de\(\mu\). Describir lo que sucede a medida que uno varía\(\mu\).

3.8. Considera el periodo de un péndulo no lineal. Deja que la longitud sea\(L=1.0 \mathrm{m}\) y\(g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\). Esbozar\(T\) vs el ángulo inicial\(\theta_{0}\) y comparar los valores lineales y no lineales para el periodo. ¿Para qué ángulos puedes usar la aproximación lineal con confianza?

3.9. Otro modelo poblacional es aquel en el que las especies compiten por recursos, como un suministro limitado de alimentos. Tal modelo viene dado por

\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =a x-b x^ {2} -c x y\\
&y^ {\ prime} =d y-e y^ {2} -f x y
\ end {alineado}

En este caso, supongamos que todas las constantes son positivas.

a. Describir los efectos/propósito de cada término.
b. Encontrar los puntos fijos del modelo.
c. Linealizar el sistema alrededor de cada punto fijo y determinar la estabilidad.
d. De lo anterior, describa los tipos de comportamiento de solución que podría esperar, en términos del modelo.

3.10. Considerar un modelo de una cadena alimentaria de tres especies. Supongamos que cada población por sí sola puede ser modelada por el crecimiento logístico. Que la especie sea etiquetada por\(x(t), y(t)\), y\(z(t)\). Supongamos que la población\(x\) se encuentra en la parte inferior de la cadena. Esa población se agotará por población\(y\). \(y\)La población es sostenida por\(x\)'s, pero consumida por\(z\)'s. Un modelo simple, pero escalado, para este sistema puede ser dado por el sistema

\ begin {alineado}
x^ {\ prime} &=x (1-x) -x y\\
y^ {\ prime} &=y (1-y) +x y-y z\\
z^ {\ prime} &=z (1-z) +y z
\ end {alineado}

a. Encontrar los puntos de equilibrio del sistema.
b. Encontrar la matriz jacobiana para el sistema y evaluarla en los puntos de equilibrio.
c. Encuentra los valores propios y los vectores propios.
d. Describir el comportamiento de la solución cerca de cada punto de equilibrio.
f. cuáles de estos equilibrios son importantes en el estudio del modelo poblacional y describen las interacciones de las especies en la vecindad de estos puntos\((\mathrm{s})\)

3.11. Demostrar que el sistema\(x^{\prime}=x-y-x^{3}, y^{\prime}=x+y-y^{3}\), tiene un ciclo límite único escogiendo un apropiado\(\psi(x, y)\) en Criterios de Dulac.