5.6: Problemas

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5.1. Encuentra la Serie de Fourier de cada función\(f(x)\) de periodo\(2 \pi\). Para cada serie, trazar\(N\) la suma parcial,

\[S_{N}=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\left[a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right] \nonumber \]

para\(N=5,10,50\) y describir la convergencia (¿es rápida? a qué está convergiendo, etc.) [A continuación se muestra un código simple de Maple para calcular sumas parciales.]

a\(f(x)=x,|x|<\pi\).
b\(f(x)=\dfrac{x^{2}}{4},|x|<\pi\).
\(f(x)=\pi-|x|,|x|<\pi\)c.
d.\(f(x)=\left\{\begin{array}{c}\dfrac{\pi}{2}, \quad 0<x<\pi \\ -\dfrac{\pi}{2}, \pi<x<2 \pi\end{array}\right.\)
e.\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,-\pi<x<0 \\ 1,0<x<\pi\end{array}\right.\)

A continuación se muestra un simple conjunto de comandos en Maple, donde rellenas los coeficientes de Fourier que has calculado a mano y\(f(x)\) para que puedas comparar tus resultados. Por supuesto, pueden ser necesarias otras modificaciones.

> restart: 
> f:=x: 
> F:=a0/2+sum(an*cos(n*x)+bn*sin(n*x),n=1..N): 
> N:=10: plot({f,F},x=-Pi..Pi,color=black);

5.2. Considera la función\(f(x)=4 \sin ^{3} 2 x\)

a. Derivar una identidad relativa\(\sin ^{3} \theta\) en términos de\(\sin \theta\)\(\sin 3 \theta\) y expresar\(f(x)\) en términos de funciones sinusoidales simples.
b. Determinar los coeficientes de Fourier\(f(x)\) en una expansión en serie de Fourier\([0,2 \pi]\) sin calcular ninguna integral!

5.3. Encuentra la serie de Fourier\(f(x)=x\) en el intervalo dado con el periodo dado\(T\). Traza\(N\) las sumas parciales y describe lo que ves.

a\(0<x<2, T=2\).
b\(-2<x<2, T=4\).

5.4. El resultado en el problema\(5.1 \mathrm{~b}\) anterior da una representación en serie de Fourier de\(\dfrac{x^{2}}{4}\). Al elegir el valor correcto para\(x\) y un poco de arreglo de la serie, demuestre que [Ver Ejemplo 5.8.]

a.\(\dfrac{\pi^{2}}{6}=1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+\dfrac{1}{4^{2}}+\cdots\)

b.\(\dfrac{\pi^{2}}{8}=1+\dfrac{1}{3^{2}}+\dfrac{1}{5^{2}}+\dfrac{1}{7^{2}}+\cdots\)

5.5. Esboce (a mano) las gráficas de cada una de las siguientes funciones en cuatro periodos. A continuación, esboce las extensiones de cada una de las funciones como una función periódica par e impar. Determinar las series de seno y coseno de Fourier correspondientes y verificar la convergencia a la función deseada usando Maple.

a.\(f(x)=x^{2}, 0<x<1\)
b\(f(x)=x(2-x), 0<x<2\).
c.\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,0<x<1 \\ 1,1<x<2\end{array}\right.\)
d.\(f(x)=\left\{\begin{array}{c}\pi, \quad 0<x<\pi, \\ 2 \pi-x, \pi<x<2 \pi\end{array}\right.\)