6.3: El método de expansión de la función propia
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En la sección 4.3.2 vimos en general cómo se pueden usar las funciones propias de un operador diferencial para resolver un problema de valor límite no homogéneo. En este capítulo hemos visto que los problemas de valores propios de Sturm-Liouville tienen el conjunto requerido de funciones propias ortogonales. En esta sección aplicaremos el método de expansión de función propia para resolver un problema particular de valor límite no homogéneo.
Recordemos que uno comienza con una ecuación diferencial no homogénea
\[\mathcal{L} y=f \nonumber \]
donde\(y(x)\) es satisfacer determinadas condiciones de contorno homogéneas. El método hace uso de las funciones propias que satisfacen el problema del valor propio
\[\mathcal{L} \phi_{n}=-\lambda_{n} \sigma \phi_{n} \nonumber \]
sujeto a las condiciones de límite dadas. Entonces, se asume que se\(y(x)\) puede escribir como una expansión en las funciones propias,
\[y(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \phi_{n}(x) \nonumber \]
e inserta la expansión en la ecuación no homogénea. Esto da
\[f(x)=\mathcal{L}\left(\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \phi_{n}(x)\right)=-\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \lambda_{n} \sigma(x) \phi_{n}(x). \nonumber \]
Los coeficientes de expansión se encuentran entonces haciendo uso de la ortogonalidad de las funciones propias. A saber, multiplicamos la última ecuación por\(\phi_{m}(x)\) e integramos. Obtenemos
\[\int_{a}^{b} f(x) \phi_{m}(x) d x=-\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \lambda_{n} \int_{a}^{b} \phi_{n}(x) \phi_{m}(x) \sigma(x) d x \nonumber \]
Rendimientos de ortogonalidad
\[\int_{a}^{b} f(x) \phi_{m}(x) d x=-c_{m} \lambda_{m} \int_{a}^{b} \phi_{m}^{2}(x) \sigma(x) d x \nonumber \]
Resolviendo para\(c_{m}\), tenemos
\[c_{m}=-\dfrac{\int_{a}^{b} f(x) \phi_{m}(x) d x}{\lambda_{m} \int_{a}^{b} \phi_{m}^{2}(x) \sigma(x) d x} \nonumber \]
Como ejemplo, consideramos la solución del problema del valor límite
\[\left(x y^{\prime}\right)^{\prime}+\dfrac{y}{x} =\dfrac{1}{x}, \quad x \in[1, e], \label{6.23} \]
\[y(1) =0=y(e) . \label{6.24} \]
Solución
Esta ecuación ya está en forma autoadjoint. Entonces, sabemos que el problema asociado de valores propios de Sturm-Liouville tiene un conjunto ortogonal de funciones propias. Primero determinamos este conjunto. A saber, necesitamos resolver
\[\left(x \phi^{\prime}\right)^{\prime}+\dfrac{\phi}{x}=-\lambda \sigma \phi, \quad \phi(1)=0=\phi(e) . \label{6.25} \]
Reordenando los términos y multiplicando por\(x\), tenemos que
\[x^{2} \phi^{\prime \prime}+x \phi^{\prime}+(1+\lambda \sigma x) \phi=0 . \nonumber \]
Esta es casi una ecuación del tipo Cauchy-Euler. Escogiendo la función de peso\(\sigma(x)=\dfrac{1}{x}\), tenemos
\[x^{2} \phi^{\prime \prime}+x \phi^{\prime}+(1+\lambda) \phi=0 . \nonumber \]
Esto se resuelve fácilmente. La ecuación característica es
\[r^{2}+(1+\lambda)=0 . \nonumber \]
Se obtienen soluciones no triviales del problema del valor propio satisfaciendo las condiciones límite cuando\(\lambda>-1\). Las soluciones son
\[\phi_{n}(x)=A \sin (n \pi \ln x), \quad n=1,2, \ldots \nonumber \]
donde\(\lambda_{n}=n^{2} \pi^{2}-1\)
A menudo es útil normalizar las funciones propias. Esto significa que uno elige\(A\) para que la norma de cada función propia sea una. Así, tenemos
\ [\ begin {alineado}
1 &=\ int_ {1} ^ {e}\ phi_ {n} (x) ^ {2}\ sigma (x) d x\\
&=A^ {2}\ int_ {1} ^ {e}\ sin (n\ pi\ ln x)\ dfrac {1} {x} d x\\
&=A^ {2}\ int_ {0} ^ {1}\ sin (n\ pi y) d y=\ dfrac {1} {2} A^ {2}
\ final {alineado}\ etiqueta {6.26}\]
Así, ahora\(A=\sqrt{2}\)
nos volvemos hacia la solución del problema no homogéneo,\(\mathcal{L} y=\dfrac{1}{x}\). Primero ampliamos la solución desconocida en términos de las funciones propias,
\[y(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \sqrt{2} \sin (n \pi \ln x) \nonumber \]
Insertando esta solución en la ecuación diferencial, tenemos
\[\dfrac{1}{x}=\mathcal{L} y=-\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \lambda_{n} \sqrt{2} \sin (n \pi \ln x) \dfrac{1}{x} \nonumber \]
A continuación, hacemos uso de la ortogonalidad. Multiplicando ambos lados por\(\phi_{m}(x)= \sqrt{2} \sin (m \pi \ln x)\) e integrando, da
\[\lambda_{m} c_{m}=\int_{1}^{e} \sqrt{2} \sin (m \pi \ln x) \dfrac{1}{x} d x=\dfrac{\sqrt{2}}{m \pi}\left[(-1)^{m}-1\right] \nonumber \]
Resolviendo para\(c_{m}\), tenemos
\[c_{m}=\dfrac{\sqrt{2}}{m \pi} \dfrac{\left[(-1)^{m}-1\right]}{m^{2} \pi^{2}-1} . \nonumber \]
Finalmente, insertamos nuestros coeficientes en la expansión para\(y(x)\). La solución es entonces
\[y(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2}{n \pi} \dfrac{\left[(-1)^{n}-1\right]}{n^{2} \pi^{2}-1} \sin (n \pi \ln (x)) . \nonumber \]