6.2: Propiedades de Sturm-Liouville Eigenvalue Problemas

Hay varias propiedades que se pueden probar para el problema de valor propio de SturmLiouville (regular). Sin embargo, aquí no vamos a probarlos todos. Simplemente enumeraremos algunos de los hechos importantes y nos centraremos en algunas de las propiedades.

1. Los valores propios son reales, contables, ordenados y hay un valor propio más pequeño. Así, podemos escribirlos como\(\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots\) Sin embargo, no hay mayor valor propio y\(n \rightarrow \infty, \lambda_{n} \rightarrow \infty\)
2. Para cada valor propio\(\lambda_{n}\) existe una función propia\(\phi_{n}\) con\(n-1\) ceros encendidos\((a, b)\).
3. Las funciones propias correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales con respecto a la función weight,\(\sigma(x)\). Definir el producto interno de\(f(x)\) y\(g(x)\) como\[\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) \sigma(x) d x \label{6.11} \] entonces la ortogonalidad de las funciones propias se puede escribir en la forma\[\langle \phi_{n}, \phi_{m}\rangle =\langle \phi_{n}, \phi_{n} \rangle \delta_{n m}, \quad n, m=1,2, \ldots \label{6.12} \]
4. El conjunto de funciones propias está completo; es decir, cualquier función suave por partes puede ser representada por una expansión generalizada de la serie de Fourier de las funciones propias,\[f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \phi_{n}(x) \nonumber \] donde\[c_{n}=\dfrac{\langle f, \phi_{n} \rangle}{\langle \phi_{n}, \phi_{n} \rangle }. \nonumber \] En realidad, uno necesita\(f(x) \in L_{\sigma}^{2}[a, b]\), el conjunto de funciones integrables cuadradas sobre\([a, b]\) con la función de peso \(\sigma(x)\). Por cuadrado integrable, queremos decir eso\(\langle f, f \rangle < \infty\). Se puede demostrar que tal espacio es isomórfico a un espacio de Hilbert, un espacio de producto interno completo.
5. Multiplique el problema del valor propio
   \[\mathcal{L} \phi_{n}=-\lambda_{n} \sigma(x) \phi_{n} \nonumber \] por\(\phi_{n}\) e integre. Resuelve este resultado para\(\lambda_{n}\), para encontrar el cociente Rayleigh\[\lambda_{n}=\dfrac{-\left.p \phi_{n} \dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b}\left[p\left(\dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right)^{2}-q \phi_{n}^{2}\right] d x}{\langle \phi_{n}, \phi_{n} \rangle}\nonumber \]

El cociente Rayleigh es útil para obtener estimaciones de valores propios y probar algunas de las otras propiedades.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Buscamos las funciones propias del operador que se encuentran en el Ejemplo 6.2. A saber, queremos resolver el problema del valor propio

\[\mathcal{L} y=\left(x y^{\prime}\right)^{\prime}+\dfrac{2}{x} y=-\lambda \sigma y \label{6.13} \]

sujeto a un conjunto de condiciones de contorno.

Solución

Vamos a usar las condiciones de contorno

\[y^{\prime}(1)=0, \quad y^{\prime}(2)=0 . \nonumber \]

[Tenga en cuenta que\(\sigma(x)\) aún no lo sabemos, pero elegiremos una función adecuada para obtener soluciones.]

Ampliando el derivado, tenemos

\[x y^{\prime \prime}+y^{\prime}+\dfrac{2}{x} y=-\lambda \sigma y. \nonumber \]

Multiplicar por\(x\) para obtener

\[x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+(2+\lambda x \sigma) y=0. \nonumber \]

Observe que si elegimos\(\sigma(x)=x^{-1}\), entonces esta ecuación se puede hacer una ecuación de tipo Cauchy-Euler. Así, tenemos

\[x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+(\lambda+2) y=0 . \nonumber \]

La ecuación característica es

\[r^{2}+\lambda+2=0 \nonumber \]

Para soluciones oscilatorias, necesitamos\(\lambda+2>0\). Así, la solución general es

\[y(x)=c_{1} \cos (\sqrt{\lambda+2} \ln |x|)+c_{2} \sin (\sqrt{\lambda+2} \ln |x|) . \label{6.14} \]

A continuación aplicamos las condiciones de contorno. \(y^{\prime}(1)=0\)fuerzas\(c_{2}=0\). Esto deja

\[y(x)=c_{1} \cos (\sqrt{\lambda+2} \ln x). \nonumber \]

La segunda condición,\(y^{\prime}(2)=0\), rinde

\[\sin (\sqrt{\lambda+2} \ln 2)=0. \nonumber \]

Esto dará soluciones no triviales cuando

\[\sqrt{\lambda+2} \ln 2=n \pi, \quad n=0,1,2,3 \ldots \nonumber \]

En resumen, las funciones propias para este problema de valor propio son

\[y_{n}(x)=\cos \left(\dfrac{n \pi}{\ln 2} \ln x\right), \quad 1 \leq x \leq 2 \nonumber \]

y los valores propios son\(\lambda_{n}=2+\left(\dfrac{n \pi}{\ln 2}\right)^{2}\) para\(n=0,1,2, \ldots\)

Nota: Incluimos el\(n=0\) caso porque\(y(x)=\) constante es una solución del\(\lambda=-2\) caso. Más específicamente, en este caso la ecuación característica se reduce a\(r^{2}=0\). Así, la solución general de esta ecuación de Cauchy-Euler es

\[y(x)=c_{1}+c_{2} \ln |x|. \nonumber \]

Ajuste\(y^{\prime}(1)=0\), las fuerzas\(c_{2}=0 \cdot y^{\prime}(2)\) se desvanece automáticamente, dejando la solución en este caso como\(y(x)=c_{1}\).

Observamos que algunas de las propiedades listadas al inicio de la sección se mantienen para este ejemplo. Los valores propios son vistos como reales, contables y ordenados. Hay al menos uno,\(\lambda=2\). A continuación, se pueden encontrar los ceros de cada función propia encendida\([1,2]\). Entonces el argumento del coseno,\(\dfrac{n \pi}{\ln 2} \ln x\), toma valores 0 a\(n \pi\) for\(x \in[1,2]\). La función coseno tiene\(n-1\) raíces en este intervalo.

También se puede verificar la ortogonalidad. Configuramos la integral y usamos la sustitución\(y=\pi \ln x / \ln 2\). Esto da

\ [\ begin {alineado &=
<y_ {n}, y_ {m} >\ int_ {1} ^ {2}\ cos\ izquierda (\ dfrac {n\ pi} {\ ln 2}\ ln x\ derecha)\ cos\ izquierda (\ dfrac {m\ pi} {\ ln 2}\ ln x\ derecha)\ dfrac {d x} {x}\\ &=
\ dfrac {\ ln 2}\ pi}\ int_ {0} ^ {\ pi}\ cos n y\ cos m y d y\\ &=
\ dfrac {\ ln 2} {2}\ delta_ {n, m}
\ end {alineado}\ etiqueta {6.15}\]

Operador Adjoint

En el estudio de la teoría espectral de las matrices, se aprende sobre lo colindante de la matriz\(A^{\dagger}\), y el papel que juegan las matrices autoagregantes, o hermitianas, en la diagonalización. Además, se necesita el concepto de adjunto para discutir la existencia de soluciones al problema de la matriz \(\mathbf{y}=A \mathbf{x}\). En el mismo espíritu, uno está interesado en la existencia de soluciones de la ecuación operadora\(L u=f\) y soluciones del problema del valor propio correspondiente. El estudio del operador lineal en espacios Hilbert es una generalización de lo que el lector había visto en un curso de álgebra lineal.

Así como se puede encontrar una base de vectores propios y diagonalizar matrices hermitianas, o autoadjoint, (o, simétricas reales en el caso de matrices reales), veremos que el operador de Sturm-Liouville es autoadjoint. En esta sección definiremos el dominio de un operador e introduciremos la noción de operadores anexos. En la última sección discutimos el papel que juega el adjepunto en la existencia de soluciones a la ecuación del operador\(L u=f\).

Primero introducimos algunas definiciones.

Definición: Dominio

El dominio de un operador diferencial\(L\) es el conjunto de todos que\(u \in\)\(L_{\sigma}^{2}[a, b]\) satisfacen un conjunto dado de condiciones de límite homogéneas.

Definición: Adjoint

El colindante\(L^{\dagger}\),, de operador\(L\) satisface

\[<u, L v>=<L^{\dagger} u, v> \nonumber \]

para todos\(v\) en el dominio de\(L\) y\(u\) en el dominio de\(L^{\dagger}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

A modo de ejemplo, encontramos el operador adjunto de diferencial lineal de segundo orden\(L=a_{2}(x) \dfrac{d^{2}}{d x^{2}}+a_{1}(x) \dfrac{d}{d x}+a_{0}(x)\).

Solución

Para encontrar el adjunto, colocamos al operador bajo una integral. Entonces, consideramos que el producto interno

\[<u, L v>=\int_{a}^{b} u\left(a_{2} v^{\prime \prime}+a_{1} v^{\prime}+a_{0} v\right) d x \nonumber \]

Tenemos que mover al operador\(L\)\(v\) y determinar\(u\) en qué operador está actuando para preservar formalmente el producto interno. Para un operador simple como\(L=\dfrac{d}{d x}\), esto se hace fácilmente usando la integración por partes. Para el operador dado, necesitaremos aplicar varias integraciones por partes a los términos individuales. Consideraremos los términos individuales.

Primero consideramos el\(a_{1} v^{\prime}\) término. Integración por rendimientos de piezas

\[\int_{a}^{b} u(x) a_{1}(x) v^{\prime}(x) d x=\left.a_{1}(x) u(x) v(x)\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b}\left(u(x) a_{1}(x)\right)^{\prime} v(x) d x \label{6.16} \]

Ahora, consideramos el\(a_{2} v^{\prime \prime}\) término. En este caso se necesitarán dos integraciones por partes:

\ [\ begin {alineado}
\ int_ {a} ^ {b} u (x) a_ {2} (x) v^ {\ prime\ prime} (x) d x=&\ izquierda.a_ {2} (x) u (x) v^ {\ prime} (x)\ derecha|_ {a} ^ {b} -\ int_ {a} ^ {b}\ izquierda (u (x) a_ {2} (x)\ derecha) ^ {\ prime} v (x) ^ {\ prime} d x\\
=& {\ izquierda. \ izquierda [a_ {2} (x) u (x) v^ {\ prime} (x) -\ izquierda (a_ {2} (x) u (x)\ derecha) ^ {\ prime} v (x)\ derecha]\ derecha|_ {a} ^ {b}}\\
&+\ int_ {a} ^ {b}\ izquierda (u (x) a_ {2} (x)\ derecha) ^ {\ prime\ prime} v (x) d x.
\ end {alineado}\ etiqueta {6.17}\]

Combinando estos resultados, obtenemos

\ [\ begin {alineado =&
<u, L v>\ int_ {a} ^ {b} u\ left (a_ {2} v^ {\ prime\ prime} +a_ {1} v^ {\ prime} +a_ {0} v\ derecha) d x\\ =&
{\ izquierda. \ left [a_ {1} (x) u (x) v (x) +a_ {2} (x) u (x) v^ {\ prime} (x) -\ izquierda (a_ {2} (x) u (x)\ derecha) ^ {\ prime} v (x)\ derecha]\ derecha|_ {a} ^ {b}}\\
&+\ int_ {a} ^ {b}\ izquierda [\ izquierda (a_ {2} u\ derecha) ^ {\ prime\ prime} -\ izquierda (a_ {1} u\ derecha) ^ {\ prime} +a_ {0} u\ derecha] v d x.
\ end {alineado}\ etiqueta {6.18}\]

Insertando las condiciones de contorno para\(v\), uno tiene que determinar las condiciones de contorno para\(u\) tal que

\[\left.\left[a_{1}(x) u(x) v(x)+a_{2}(x) u(x) v^{\prime}(x)-\left(a_{2}(x) u(x)\right)^{\prime} v(x)\right]\right|_{a} ^{b}=0. \nonumber \]

Esto deja

\[<u, L v>=\int_{a}^{b}\left[\left(a_{2} u\right)^{\prime \prime}-\left(a_{1} u\right)^{\prime}+a_{0} u\right] v d x \equiv<L^{\dagger} u, v> \nonumber \]

Por lo tanto,

\[L^{\dagger}=\dfrac{d^{2}}{d x^{2}} a_{2}(x)-\dfrac{d}{d x} a_{1}(x)+a_{0}(x) \label{6.19} \]

Cuando\(L^{\dagger}=L\), al operador se le llama formalmente autoadjoint. Cuando el dominio de\(L\) es el mismo que el dominio de\(L^{\dagger}\), se utiliza el término autoadjoint. Como el dominio es importante para establecer la autounión, necesitamos hacer un ejemplo completo en el que se encuentre el dominio de lo contiguo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Determine\(L^{\dagger}\) y su dominio para operador\(L u=\dfrac{d u}{d x}\) donde\(u\) satisfaga las condiciones de contorno\(u(0)=2 u(1)\) en\([0,1]\).

Solución

Necesitamos encontrar al operador adjunto satisfactorio\(<v, L u>=<L^{\dagger} v, u>\). Por lo tanto, reescribimos la integral

\[<v, L u>=\int_{0}^{1} v \dfrac{d u}{d x} d x=\left.u v\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} u \dfrac{d v}{d x} d x=<L^{\dagger} v, u>. \nonumber \]

De esto tenemos el problema adjunto que consiste en un operador contiguo y la condición límite asociada:

1. \(L^{\dagger}=-\dfrac{d}{d x}\).
2. \(\left.u v\right|_{0} ^{1}=0 \Rightarrow 0=u(1)[v(1)-2 v(0)] \Rightarrow v(1)=2 v(0)\)

Identidades de Lagrange y Green

Antes de pasar a las pruebas de que los valores propios de un problema de Sturm-Liouville son reales y las funciones propias asociadas ortogonales, primero necesitaremos introducir dos identidades importantes. Para el operador de Sturm-Liouville,

\(\mathcal{L}=\dfrac{d}{d x}\left(p \dfrac{d}{d x}\right)+q\),

tenemos las dos identidades:

Identidad de Lagrange\(u \mathcal{L} v-v \mathcal{L} u=\left[p\left(u v^{\prime}-v u^{\prime}\right)\right]^{\prime}\).
Identidad de Green\(\int_{a}^{b}(u \mathcal{L} v-v \mathcal{L} u) d x=\left.\left[p\left(u v^{\prime}-v u^{\prime}\right)\right]\right|_{a} ^{b}\).

Prueba. La prueba de identidad de Lagrange sigue por una simple manipulación del operador:

\ [\ begin {alineado}
u\ mathcal {L} v-v\ mathcal {L} u &=u\ izquierda [\ dfrac {d} {d x}\ izquierda (p\ dfrac {d v} {d x}\ derecha) +q v\ derecha] -v\ izquierda [\ dfrac {d} {d} {d x}\ izquierda (p\ dfrac {d u} d x}\ derecha) +q u\ derecha]\\
&=u\ dfrac {d} {d x}\ izquierda (p\ dfrac {d v} {d x}\ derecha) -v\ dfrac {d} {d x}\ izquierda (p\ dfrac {d u} {d x}\ derecha)\\
&=u\ dfrac {d} {d x}\ izquierda (p\ dfrac {d v} {d x}\ derecha) +p\ dfrac {d u} {d x}\ dfrac {d v} {d x} -v\ dfrac {d} {d x}\ izquierda (p\ dfrac {d u} {d x} derecha) -p\ dfrac {d u} {d x}\ dfrac {d v} {d x}\\
&=\ dfrac {d} {d x}\ izquierda [p u\ dfrac {d v} {d x} -p v\ dfrac {d u} {d x}\ derecha]
\ final { alineado}\ etiqueta {6.20}\]

La identidad de Green simplemente se prueba integrando la identidad de Lagrange.

Ortogonalidad y Realidad

Ahora estamos listos para demostrar que los valores propios de un problema de Sturm-Liouville son reales y las funciones propias correspondientes son ortogonales. Estos se establecen fácilmente utilizando la identidad de Green, que a su vez es una declaración sobre el operador de Sturm-Liouville siendo autoadjoint.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Los valores propios del problema de Sturm-Liouville son reales.

Prueba. \(\phi_{n}(x)\)Sea una solución al problema del valor propio asociado a\(\lambda_{n}\):

\[\mathcal{L} \phi_{n}=-\lambda_{n} \sigma \phi_{n} \nonumber \]

El complejo conjugado de esta ecuación es

\[\mathcal{L} \bar{\phi}_{n}=-\bar{\lambda}_{n} \sigma \bar{\phi}_{n} \nonumber \]

Ahora, multiplica la primera ecuación por\(\bar{\phi}_{n}\) y la segunda ecuación por\(\phi_{n}\) y luego resta los resultados. Obtenemos

\[\bar{\phi}_{n} \mathcal{L} \phi_{n}-\phi_{n} \mathcal{L} \bar{\phi}_{n}=\left(\bar{\lambda}_{n}-\lambda_{n}\right) \sigma \phi_{n} \bar{\phi}_{n}. \nonumber \]

Integrar ambos lados de esta ecuación:

\[\int_{a}^{b}\left(\bar{\phi}_{n} \mathcal{L} \phi_{n}-\phi_{n} \mathcal{L} \bar{\phi}_{n}\right) d x=\left(\bar{\lambda}_{n}-\lambda_{n}\right) \int_{a}^{b} \sigma \phi_{n} \bar{\phi}_{n} d x \nonumber \]

Aplica la identidad de Green al lado izquierdo para encontrar

\[\left.\left[p\left(\bar{\phi}_{n} \phi_{n}^{\prime}-\phi_{n} \bar{\phi}_{n}^{\prime}\right)\right]\right|_{a} ^{b}=\left(\bar{\lambda}_{n}-\lambda_{n}\right) \int_{a}^{b} \sigma \phi_{n} \bar{\phi}_{n} d x \nonumber \]

Usando las condiciones de contorno homogéneas para un operador autocontiguo, el lado izquierdo se desvanece para dar

\[0=\left(\bar{\lambda}_{n}-\lambda_{n}\right) \int_{a}^{b} \sigma\left\|\phi_{n}\right\|^{2} d x \nonumber \]

La integral no es negativa, por lo que debemos tener\(\bar{\lambda}_{n}=\lambda_{n}\). Por lo tanto, los valores propios son reales.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Las funciones propias correspondientes a diferentes valores propios del problema de Sturm-Liouville son ortogonales.

Prueba. Esto se demuestra similar al último teorema. \(\phi_{n}(x)\)Sea una solución al problema del valor propio asociado con\(\lambda_{n}\),

\[\mathcal{L} \phi_{n}=-\lambda_{n} \sigma \phi_{n} \nonumber \]

y dejar de\(\phi_{m}(x)\) ser una solución del problema del valor propio asociado con\(\lambda_{m} \neq\)\(\lambda_{n}\),

\(\mathcal{L} \phi_{m}=-\lambda_{m} \sigma \phi_{m}\),

Ahora, multiplica la primera ecuación por\(\phi_{m}\) y la segunda por\(\phi_{n}\). Restando los resultados, obtenemos

\[\phi_{m} \mathcal{L} \phi_{n}-\phi_{n} \mathcal{L} \phi_{m}=\left(\lambda_{m}-\lambda_{n}\right) \sigma \phi_{n} \phi_{m} \nonumber \]

De manera similar a la prueba anterior, integramos ambos lados de la ecuación y utilizamos la identidad de Green y las condiciones de contorno para un operador autoadjunto. Esto deja

\[0=\left(\lambda_{m}-\lambda_{n}\right) \int_{a}^{b} \sigma \phi_{n} \phi_{m} d x \nonumber \]

Como los valores propios son distintos, podemos dividirlos por\(\lambda_{m}-\lambda_{n}\), dejando el resultado deseado,

\[\int_{a}^{b} \sigma \phi_{n} \phi_{m} d x=0. \nonumber \]

Por lo tanto, las funciones propias son ortogonales con respecto a la función de peso\(\sigma(x)\).

El cociente de Rayleigh

El cociente Rayleigh es útil para obtener estimaciones de valores propios y probar algunas de las otras propiedades asociadas con problemas de valores propios de Sturm-Liouville. Comenzamos multiplicando el problema del valor propio

\[\mathcal{L} \phi_{n}=-\lambda_{n} \sigma(x) \phi_{n} \nonumber \]

por\(\phi_{n}\) e integrando. Esto da

\[\int_{a}^{b}\left[\phi_{n} \dfrac{d}{d x}\left(p \dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right)+q \phi_{n}^{2}\right] d x=-\lambda \int_{a}^{b} \phi_{n}^{2} d x. \nonumber \]

Uno puede resolver la última ecuación\(\lambda\) para encontrar

\[\lambda=\dfrac{-\int_{a}^{b}\left[\phi_{n} \dfrac{d}{d x}\left(p \dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right)+q \phi_{n}^{2}\right] d x}{\int_{a}^{b} \phi_{n}^{2} \sigma d x}. \nonumber \]

Parece que hemos resuelto por el valor propio y no hemos necesitado la maquinaria que habíamos desarrollado en el Capítulo 4 para estudiar problemas de valor límite. Sin embargo, realmente no podemos evaluar esta expresión porque\(\phi n(x)\) aún no conocemos las funciones propias. Sin embargo, veremos qué podemos determinar.

Se puede reescribir este resultado realizando una integración por partes en el primer término en el numerador. A saber, pick\(u=\phi_{n}\) y\(d v=\dfrac{d}{d x}\left(p \dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right) d x\) para la integración estándar por fórmula de piezas. Entonces, tenemos

\[\int_{a}^{b} \phi_{n} \dfrac{d}{d x}\left(p \dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right) d x=\left.p \phi_{n} \dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b}\left[p\left(\dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right)^{2}-q \phi_{n}^{2}\right] d x. \nonumber \]

Insertar la nueva fórmula en la expresión for\(\lambda\), conduce al cociente de Rayleigh

\[\lambda_{n}=\dfrac{-\left.p \phi_{n} \dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right|_{a} ^{b}+\int_{a}^{b}\left[p\left(\dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right)^{2}-q \phi_{n}^{2}\right] d x}{\int_{a}^{b} \phi_{n}^{2} \sigma d x} \label{6.21} \]

En muchas aplicaciones es importante el signo del valor propio. Como habíamos visto en la solución de la ecuación del calor,\(T^{\prime}+k \lambda T=0\). Como esperamos que la energía térmica se difunda, las soluciones deberían decairse con el tiempo. Así, esperaríamos\(\lambda>0\). Al estudiar la ecuación de onda, se esperan vibraciones y éstas sólo son posibles con el signo correcto del valor propio (positivo otra vez). Así, para tener valores propios no negativos, vemos en (6.21) que

a.\(q(x) \leq 0\), y
b\(-\left.p \phi_{n} \dfrac{d \phi_{n}}{d x}\right|_{a} ^{b} \geq 0\).

Además, si\(\lambda\) es un valor propio cero, entonces\(q(x) \equiv 0\) y\(\alpha_{1}=\alpha_{2}=0\) en las condiciones de límite homogéneas. Esto se puede ver estableciendo el numerador igual a cero. Entonces,\(q(x)=0\) y\(\phi_{n}^{\prime}(x)=0\). La segunda de estas condiciones insertada en las condiciones límite obliga a la restricción sobre el tipo de condiciones de límite.

Una de las propiedades (no comprobadas aquí) de los problemas de valores propios de Sturm-Liouville con condiciones de límite homogéneas es que los valores propios están ordenados,\(\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots\) por lo tanto, hay un valor propio más pequeño. Resulta que para cualquier función continua,\(y(x)\),

\[\lambda_{1}=\min _{y(x)} \dfrac{-\left.p y \dfrac{d y}{d x}\right|_{a} ^{b}+\int_{a}^{b}\left[p\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}-q y^{2}\right] d x}{\int_{a}^{b} y^{2} \sigma d x} \label{6.22} \]

y este mínimo se obtiene cuando\(y(x)=\phi_{1}(x)\). Este resultado se puede utilizar para obtener estimaciones del valor propio mínimo mediante el uso de funciones de prueba que son continuas y satisfacen las condiciones límite, pero no necesariamente satisfacen la ecuación diferencial.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ya hemos resuelto el problema del valor propio\(\phi^{\prime \prime}+\lambda \phi=0\),\(\phi(0)=0, \phi(1)=0\). En este caso, el valor propio más bajo es\(\lambda_{1}=\pi^{2}\). Podemos escoger una función agradable que satisfaga las condiciones de contorno, digamos\(y(x)=x-x^{2}\). Insertando esto en la Ecuación (6.22), encontramos

\[\lambda_{1} \leq \dfrac{\int_{0}^{1}(1-2 x)^{2} d x}{\int_{0}^{1}\left(x-x^{2}\right)^{2} d x}=10 \nonumber \]

Efectivamente,\(10 \geq \pi^{2}\).