6.5: Problemas

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6.1. Encuentre el operador adjunto y su dominio para\(L u=u^{\prime \prime}+4 u^{\prime}-3 u, u^{\prime}(0)+ 4 u(0)=0, u^{\prime}(1)+4 u(1)=0\)

6.2. Demostrar que un operador de Sturm-Liouville con condiciones de límite periódicas encendido\([a, b]\) es autounido si y solo si\(p(a)=p(b)\). [Recordemos, las condiciones de límite periódicas se dan como\(u(a)=u(b)\) y\(u^{\prime}(a)=u^{\prime}(b)\).]

6.3. La ecuación diferencial de Hermite viene dada por\(y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+\lambda y=0\). Reescribe esta ecuación en forma autoadjoint. A partir de la forma Sturm-Liouville obtenida, verificar que el operador diferencial esté auto adjunto en\((-\infty, \infty)\). Dar la forma integral para la ortogonalidad de las funciones propias.

6.4. Encuentra los valores propios y las funciones propias de los problemas dados de Sturm-Liouville.

a\(y^{\prime \prime}+\lambda y=0, y^{\prime}(0)=0=y^{\prime}(\pi)\).
b\(\left(x y^{\prime}\right)^{\prime}+\dfrac{\lambda}{x} y=0, y(1)=y\left(e^{2}\right)=0\).

6.5. El problema del valor propio\(x^{2} y^{\prime \prime}-\lambda x y^{\prime}+\lambda y=0\) con no\(y(1)=y(2)=0\) es un problema de valor propio de Sturm-Liouville. Demostrar que ninguno de los valores propios es real resolviendo este problema de autovalor.

6.6. En el Ejemplo 6.10 encontramos un límite en el valor propio más bajo para el problema de autovalor dado.

a. Verificar el cómputo en el ejemplo.

b. Aplicar el método utilizando

\ (y (x) =\ left\ {\ begin {array} {cc}
x, & 0<x<\ dfrac {1} {2}\\
1-x, &\ dfrac {1} {2} <x<1
\ end {array}\ right.\)

¿Es este un límite superior en\(\lambda_{1}\)

c. Utilice el cociente Rayleigh para obtener un buen límite superior para el valor propio más bajo del problema del valor propio:\(\phi^{\prime \prime}+\left(\lambda-x^{2}\right) \phi=0, \phi(0)=0\),\(\phi^{\prime}(1)=0\)

6.7. Utilice el método de expansiones de función propia para resolver el problema:

\[y^{\prime \prime}+4 y=x^{2}, \quad y(0)=y(1)=0 \nonumber \]

6.8. Determine las condiciones de solvabilidad para el problema del valor límite no homogéneo:\(u^{\prime \prime}+4 u=f(x), u(0)=\alpha, u^{\prime}(1)=\beta\)