8.1: El Método de Variación de Parámetros

Estamos interesados en resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden no homogéneas de la forma

\[a_{2}(x) y^{\prime \prime}(x)+a_{1}(x) y^{\prime}(x)+a_{0}(x) y(x)=f(x) \label{8.1} \]

La solución general de esta ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea se encuentra como una suma de la solución general de la ecuación homogénea,

\[a_{2}(x) y^{\prime \prime}(x)+a_{1}(x) y^{\prime}(x)+a_{0}(x) y(x)=0, \label{8.2} \]

y una solución particular de la ecuación no homogénea. Recordemos del Capítulo 1 que existen varios enfoques para encontrar soluciones particulares de ecuaciones no homogéneas. Cualquier conjetura sería suficiente. Una conjetura inteligente, basada en el Método de Coeficientes Indeterminados, se revisó previamente en el Capítulo 1. Sin embargo, un método más metódico, que se ve por primera vez en un primer curso en ecuaciones diferenciales, es el Método de Variación de Parámetros. Además, se exploró la versión matricial de este método en la Sección 2.8. Revisaremos este método en esta sección y lo extenderemos a la solución de problemas de valor límite.

Si bien es suficiente derivar el método para la ecuación diferencial general anterior, consideraremos resolver ecuaciones que estén en forma SturmLiouville, o autoadjoint. Por lo tanto, aplicaremos el Método de Variación de Parámetros a la ecuación

\[\dfrac{d}{d x}\left(p(x) \dfrac{d y(x)}{d x}\right)+q(x) y(x)=f(x) \label{8.3} \]

Obsérvese que\(f(x)\) en esta ecuación no se encuentra la misma función que en la ecuación general planteada al inicio de esta sección.

Comenzamos asumiendo que hemos determinado dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea. La solución general es dada entonces por

\[y(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x) . \label{8.4} \]

Para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea, variamos los parámetros\(c_{1}\) y\(c_{2}\) en la solución del problema homogéneo haciéndolos funciones de la variable independiente. Así, buscamos una solución particular de la ecuación no homogénea en la forma

\[y_{p}(x)=c_{1}(x) y_{1}(x)+c_{2}(x) y_{2}(x) \label{8.5} \]

Para que esto sea una solución, necesitamos demostrar que satisface la ecuación diferencial. Primero calculamos las derivadas de\(y_{p}(x)\). La primera derivada es

\[y_{p}^{\prime}(x)=c_{1}(x) y_{1}^{\prime}(x)+c_{2}(x) y_{2}^{\prime}(x)+c_{1}^{\prime}(x) y_{1}(x)+c_{2}^{\prime}(x) y_{2}(x) \nonumber \]

Sin pérdida de generalidad, pondremos a cero la suma de los dos últimos términos. (Se puede demostrar que se obtendrían los mismos resultados si no lo hiciéramos. Ver Problema 8.2.) Entonces, tenemos

\[c_{1}^{\prime}(x) y_{1}(x)+c_{2}^{\prime}(x) y_{2}(x)=0 \text {. } \label{8.6} \]

Ahora, tomamos la segunda derivada de los términos restantes para obtener

\[y_{p}^{\prime \prime}(x)=c_{1}(x) y_{1}^{\prime \prime}(x)+c_{2}(x) y_{2}^{\prime \prime}(x)+c_{1}^{\prime}(x) y_{1}^{\prime}(x)+c_{2}^{\prime}(x) y_{2}^{\prime}(x) . \nonumber \]

Expandiendo el término derivado en la Ecuación (8.3),

\[p(x) y_{p}^{\prime \prime}(x)+p^{\prime}(x) y_{p}^{\prime}(x)+q(x) y_{p}(x)=f(x), \nonumber \]

e insertando las expresiones para\(y_{p}, y_{p}^{\prime}(x)\), y\(y_{p}^{\prime \prime}(x)\), tenemos

\ begin {alineado}
f (x) =& p (x)\ left [c_ {1} (x) y_ {1} ^ {\ prime\ prime} (x) +c_ {2} (x) y_ {2} ^ {\ prime\ prime} (x) +c_ {1} ^ {\ prime} (x) y_ {1} ^ {\ prime} (x) +c_ _ {2} ^ {\ prime} (x) y_ {2} ^ {\ prime} (x)\ derecha]\\
&+p^ {\ prime} (x)\ izquierda [c_ {1} (x) y_ {1} ^ {\ prime} (x) +c_ {2} (x) y_ {2} ^ {\ prime} (x)\ derecha] +q (x) y_ {2} ^ {\ prime} (x)\ derecha] +q (x))\ left [c _ {1} (x) y_ {1} (x) +c_ {2} (x) y_ {2} (x)\ derecha].
\ end {alineado}

Reordenando términos, encontramos

\ [\ begin {alineado}
f (x) =& c_ {1} (x)\ izquierda [p (x) y_ {1} ^ {\ prime\ prime} (x) +p^ {\ prime} (x) y_ {1} ^ {\ prime} (x) +q (x) y_ {1} (x)\ derecha]\\
&+c_ {2} (x)\ left [p (x) y_ {2} ^ {\ prime\ prime} (x) +p^ {\ prime} (x) y_ {2} ^ {\ prime} (x) +q (x) y_ {2} (x)\ derecha]\\
&+p (x)\ izquierda [c_ {1} ^ {\ prime} (x) y_ {1} ^ {\ prime} (x) +c_ {2} ^ {\ prime} (x) y_ {2} ^ {\ prime} (x)\ derecha]
\ final {alineado}\ etiqueta {8.7}\]

Dado que\(y_{1}(x)\) y\(y_{2}(x)\) son ambas soluciones de la ecuación homogénea. Las dos primeras expresiones entre paréntesis desaparecen. Dividiendo por\(p(x)\), tenemos que

\[c_{1}^{\prime}(x) y_{1}^{\prime}(x)+c_{2}^{\prime}(x) y_{2}^{\prime}(x)=\dfrac{f(x)}{p(x)} \label{8.8} \]

Nuestro objetivo es determinar\(c_{1}(x)\) y\(c_{2}(x)\). En este análisis, hemos encontrado que las derivadas de estas funciones satisfacen un sistema lineal de ecuaciones (en los\(c_{i}\)'s):

Sistema Lineal para Variación de Parámetros

\ [\ begin {alineado}
&c_ {1} ^ {\ prime} (x) y_ {1} (x) +c_ {2} ^ {\ prime} (x) y_ {2} (x) =0\\
&c_ {1} ^ {\ prime} (x) y_ {1} ^ {\ prime} (x) +c_ {2} ^ {prime\} (x) y_ {2} ^ {\ prime} (x) =\ dfrac {f (x)} {p (x)}
\ final {alineado}\ etiqueta {8.9}\]

Este sistema se resuelve fácilmente para dar

\ [\ begin {alineado}
c_ {1} ^ {\ prime} (x) &=-\ dfrac {f (x) y_ {2} (x)} {p (x)\ izquierda [y_ {1} (x) y_ {2} ^ {\ prime} (x) -y_ {1} ^ {\ prime} (x) y_ {2} (x)\ derecha]}\\
c_ {2} ^ {\ prime} (x) &=\ dfrac {f (x) y_ {1} (x)} {p (x)\ left [y_ {1} (x) y_ {2} ^ {\ prime} (x) -y_ {1} ^ {\ prime} (x) y_ {2} (x)\ derecha]}.
\ end {alineado}\ etiqueta {8.10}\]

Observamos que el denominador en estas expresiones involucra al Wronskian de las soluciones al problema homogéneo. Recordemos que

\ (W\ izquierda (y_ {1}, y_ {2}\ derecha) (x) =\ izquierda|\ begin {array} {ll}
y_ {1} (x) & y_ {2} (x)\\
y_ {1} ^ {\ prime} (x) & y_ {2} ^ {\ prime} (x)
\ end {array}\ derecha|\)

Además, podemos demostrar que el denominador,\(p(x) W(x)\), es constante. Diferenciar esta expresión y usar la forma homogénea de la ecuación diferencial demuestra esta afirmación.

\ [\ begin {alineado}
\ dfrac {d} {d} {d x} (p (x) W (x)) =&\ dfrac {d} {d} {d x}\ left [p (x)\ left (y_ {1} (x) y_ {2} ^ {\ prime} (x) -y_ {1} ^ {\ prime} (x) y_ {2} (x)\ derecha)\ derecha]\\
=&\ izquierda.y_ {1} (x)\ dfrac {d} {d} {d x}\ izquierda (p (x) y_ {2} ^ {\ prime} (x)\ derecha)\ derecha) +p (x) y_ {2} ^ {\ prime} (x) y_ {1} ^ {\ prime} (x)\
&\ izquierda. -y_ {2} (x)\ dfrac {d} {d x}\ izquierda (p (x) y_ {1} ^ {\ prime} (x)\ derecha)\ derecha) -p (x) y_ {1} ^ {\ prime} (x) y_ {2} ^ {\ prime} (x)\\
=&-y_ {1} (x) q (x) y_ {2} (x) +y_ {2} (x) q (x) y_ {1} (x) =0
\ final {alineado}\ etiqueta {8.11}\]

Por lo tanto,

\[p(x) W(x)=\text { constant. } \nonumber \]

Entonces, después de una integración, encontramos los parámetros como

\ [\ begin {alineado}
&c_ {1} (x) =-\ int_ {x_ {0}} ^ {x}\ dfrac {f (\ xi) y_ {2} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} d\ xi\
&c_ {2} (x) =\ int_ {x_ {1}} ^ {x}\ dfrac {f (\ xi) y_ {1} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} d\ xi
\ final {alineado}\ etiqueta {8.12}\]

donde\(x_{0}\) y\(x_{1}\) son constantes arbitrarias que se determinarán posteriormente.

Por lo tanto, la solución particular de (8.3) puede escribirse como

\[y_{p}(x)=y_{2}(x) \int_{x_{1}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}(x) \int_{x_{0}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.13} \]

Como nota adicional, por lo general no reescribimos nuestros problemas de valor inicial en forma autocomplementaria. Recordemos que para una ecuación de la forma

\[a_{2}(x) y^{\prime \prime}(x)+a_{1}(x) y^{\prime}(x)+a_{0}(x) y(x)=g(x) . \label{8.14} \]

obtuvimos la forma autoadjoint multiplicando la ecuación por

\[\dfrac{1}{a_{2}(x)} e^{\int \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} d x}=\dfrac{1}{a_{2}(x)} p(x) \nonumber \]

Esto da la forma estándar

\[\left(p(x) y^{\prime}(x)\right)^{\prime}+q(x) y(x)=f(x) \nonumber \]

donde

\[f(x)=\dfrac{1}{a_{2}(x)} p(x) g(x) \nonumber \]

Con esto en mente, la Ecuación (8.13) se convierte en

\[y_{p}(x)=y_{2}(x) \int_{x_{1}}^{x} \dfrac{g(\xi) y_{1}(\xi)}{a_{2}(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}(x) \int_{x_{0}}^{x} \dfrac{g(\xi) y_{2}(\xi)}{\left.a_{(} \xi\right) W(\xi)} d \xi \label{8.15} \]

Ejemplo 8.1. Considerar la ecuación diferencial no homogénea

\[y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=20 e^{-2 x}. \nonumber \]

Buscamos una solución particular a esta ecuación. Primero, observamos que dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación son

\[y_{1}(x)=e^{3 x}, \quad y_{2}(x)=e^{-2 x} . \nonumber \]

Entonces, la solución particular toma la forma

\[y_{p}(x)=c_{1}(x) e^{3 x}+c_{2}(x) e^{-2 x} . \nonumber \]

Solo tenemos que determinar los\(c_{i}\)'s Dado que este problema no está en forma autoadconjunta, usaremos

\[\dfrac{f(x)}{p(x)}=\dfrac{g(x)}{a_{2}(x)}=20 e^{-2 x} \nonumber \]

como se ha visto anteriormente. Entonces el sistema lineal que tenemos que resolver es

\ [\ begin {alineado}
c_ {1} ^ {\ prime} (x) e^ {3 x} +c_ {2} ^ {\ prime} (x) e^ {-2 x} &=0\\
3 c_ {1} ^ {\ prime} (x) e^ {3 x} -2 c_ {2} ^ {\ prime} (x) e^ {-2 x} &=20 e^ {-2 x}
\ final {alineado}\ etiqueta {8.16}\]

Multiplicar la primera ecuación por 2 y sumar las ecuaciones rinde

\[5 c_{1}^{\prime}(x) e^{3 x}=20 e^{-2 x} \nonumber \]

o

\[c_{1}^{\prime}(x)=4 e^{-5 x} . \nonumber \]

Insertando esto de nuevo en la primera ecuación del sistema, tenemos

\[4 e^{-2 x}+c_{2}^{\prime}(x) e^{-2 x}=0 \nonumber \]

lo que lleva a

\[c_{2}^{\prime}(x)=-4 . \nonumber \]

Estas ecuaciones se integran fácilmente para dar

\[c_{1}(x)=-\dfrac{4}{5} e^{-5 x}, \quad c_{2}(x)=-4 x \nonumber \]

Por lo tanto, la solución particular se ha encontrado como

\ [\ begin {alineado}
y_ {p} (x) &=c_ {1} (x) e^ {3 x} +c_ {2} (x) e^ {-2 x}\\
&=-\ dfrac {4} {5} e^ {-5 x} e^ {3 x} -4 x e^ {-2 x}\\
&=-\ dfrac {4} 5} e^ {-2 x} -4 x e^ {-2 x}
\ final {alineado}\ etiqueta {8.17}\]

Señalando que el primer término puede ser absorbido en la solución del problema homogéneo. Entonces, la solución particular puede escribirse simplemente como

\[y_{p}(x)=-4 x e^{-2 x} \nonumber \]

Esta es la respuesta que habrías encontrado si hubieras utilizado el Método Modificado de Coeficientes Indeterminados.

Ejemplo 8.2. Revisando el último ejemplo,\(y'' - y' - 6y = 20e^{-2x}\).

La solución formal en la Ecuación (8.13) no se utilizó en el último ejemplo. En cambio, procedimos del Sistema Lineal para Variación de Parámetros anteriormente en esta sección. Este es el enfoque más natural para encontrar la solución particular de la ecuación no homogénea. Dado que usaremos la Ecuación (8.13) para obtener soluciones a problemas de valor inicial y valor límite, podría ser útil usarla para resolver este problema.

Del último ejemplo tenemos

\[y_{1}(x)=e^{3 x}, \quad y_{2}(x)=e^{-2 x} \nonumber \]

Tenemos que computar el Wronskian:

\ (W (x) =W\ izquierda (y_ {1}, y_ {2}\ derecha) (x) =\ izquierda|\ begin {array} {cc}
e^ {3 x} & e^ {-2 x}\\
3 e^ {3 x} & -2 e^ {-2 x}
\ end {array}\ derecha|=-5 e^ {x}\)

Además, necesitamos\(p(x)\), lo que viene dado por

\[p(x)=\exp \left(-\int d x\right)=e^{-x} \nonumber \]

Entonces, eso lo vemos\(p(x) W(x)=-5\). En efecto, es constante, tal y como habíamos demostrado antes.

Por último, necesitamos\(f(x)\). Aquí es donde hay que tener cuidado ya que el problema original no estaba en forma autoadconjunta. Tenemos de la ecuación original que\(g(x)=20 e^{-2 x}\) y\(a_{2}(x)=1\). Entonces

\[f(x)=\dfrac{p(x)}{a_{2}(x)} g(x)=20 e^{-3 x} \nonumber \]

Ahora estamos listos para construir la solución.

\ [\ begin {alineado}
y_ {p} (x) &=y_ {2} (x)\ int_ {x_ {1}} ^ {x}\ dfrac {f (\ xi) y_ {1} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} d\ xi-y_ {1} (x)\ int_ {x_ {0}} {x}\ dfrac {f (\ xi) y_ {2} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} d\ xi\\
&=e^ {-2 x}\ int_ {x_ {1}} ^ {x}\ dfrac {20 e^ {-3\ xi} e^ {3\ xi}} {-5} d\ xi-e^ {3\ xi} x}\ int_ {x_ {0}} ^ {x}\ dfrac {20 e^ {-3\ xi} e^ {-2\ xi}} {-5} d\ xi\
&=-4 e^ {-2 x}\ int_ {x_ {1}} ^ {x} d\ xi+4 e^ {3 x}\ int_ {x_ {0}} ^ {x} e^ {-5 x} d\ xi\\
&=- izquierda.4\ xi e^ {-2 x}\ derecha|_ {x_ {1}} ^ {x} -\ izquierda. \ dfrac {4} {5} e^ {3 x} e^ {-5\ xi}\ derecha|_ {x_ {0}} ^ {x}\\
&=-4 x e^ {-2 x} -\ dfrac {4} {5} e^ {-2 x} +4 x_ {1} e^ {-2 x} +\ dfrac {4} {5} e^ {-5} x_ {0}} e^ {3 x}
\ final {alineado}\ etiqueta {8.18}\]

Tenga en cuenta que los dos primeros términos que habíamos encontrado en el último ejemplo. Los dos términos restantes son simplemente combinaciones lineales de\(y_{1}\) y\(y_{2}\). Así, realmente tenemos la solución al problema homogéneo contenido dentro de la solución cuando utilizamos los límites constantes arbitrarios en las integrales. En la siguiente sección haremos uso de estas constantes a la hora de resolver problemas de valor inicial y valor límite.

En la siguiente sección determinaremos las constantes desconocidas sujetas ya sea a condiciones iniciales o a condiciones de límite. Esto nos permitirá combinar las dos integrales y luego determinar las funciones apropiadas de Green.