8: Funciones de Green
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En este capítulo investigaremos la solución de ecuaciones diferenciales no homogéneas utilizando las funciones de Green. Nuestro objetivo es resolver la ecuación diferencial no homogénea
\[L[u]=f, \nonumber \]
donde\(L\) es un operador diferencial. La solución es dada formalmente por
\[u=L^{-1}[f] \nonumber \]
La inversa de un operador diferencial es un operador integral, que buscamos escribir en la forma
\[u=\int G(x, \xi) f(\xi) d \xi \nonumber \]
La función\(G(x, \xi)\) se conoce como el núcleo del operador integral y se llama la función de Green.
La historia de la función de los Verdes se remonta a 1828, cuando George Green publicó un trabajo en el que buscó soluciones de la ecuación de Poisson\(\nabla^{2} u=f\) para el potencial eléctrico\(u\) definido dentro de un volumen acotado con condiciones de límite especificadas en la superficie del volumen. Introdujo una función ahora identificada como lo que Riemann luego acuñó la “función del verde”.
Restringiremos nuestra discusión a las funciones de Green para ecuaciones diferenciales ordinarias. Las extensiones a ecuaciones diferenciales parciales suelen ser uno de los temas de un curso de PDE. Comenzaremos nuestras investigaciones examinando soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden no homogéneas utilizando el Método de Variación de Parámetros, el cual se ve típicamente en un primer curso sobre ecuaciones diferenciales. Identificaremos la función de Green tanto para problemas de valor inicial como de valor límite. Luego nos centraremos en el valor límite de las funciones de Green y sus propiedades. La determinación de las funciones de Green también es posible utilizando la teoría de Sturm-Liouville. Esto lleva a una representación en serie de las funciones de Green, que estudiaremos en la última sección de este capítulo.