8.2: Funciones del Verde del Valor Inicial y Límite

Comenzamos con la solución particular (8.13) de nuestra ecuación diferencial no homogénea (8.3). Esto se puede combinar con la solución general del problema homogéneo para dar la solución general de la ecuación diferencial no homogénea:

\[y(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)+y_{2}(x) \int_{x_{1}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}(x) \int_{x_{0}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.19} \]

Como se ve en el último apartado, se\(x_{1}\) pudo encontrar una elección adecuada de\(x_{0}\) y para que no sea necesario escribir explícitamente la solución al problema homogéneo,\(c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)\). Sin embargo, establecer la solución en esta forma nos permitirá utilizar\(x_{0}\) y\(x_{1}\) determinar soluciones particulares que satisfagan ciertas condiciones homogéneas.

Ahora consideraremos problemas de valor inicial y valor límite. Cada tipo de problema conducirá a una solución de la forma

\[y(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)+\int_{a}^{b} G(x, \xi) f(\xi) d \xi, \label{8.20} \]

donde la función se\(G(x, \xi)\) identificará como la función del Verde y los límites de integración se encontrarán en la integral. Habiendo identificado la función de Green, veremos otros métodos en la última sección para determinar la función del Green.

8.2.1 Función del valor inicial del verde

Comenzamos por considerar la solución del problema de valor inicial

\ [\ begin {array} {r}
\ dfrac {d} {d x}\ izquierda (p (x)\ dfrac {d y (x)} {d x}\ derecha) +q (x) y (x) =f (x)\\
y (0) =y_ {0},\ quad y^ {\ prime} (0) =v_ {0}
\ end {array}\ etiqueta {8.21}\]

Por supuesto, podríamos haber estudiado la forma original de nuestra ecuación diferencial sin escribirla en forma autoadjoint. Sin embargo, esta forma es útil cuando se estudian problemas de valor límite. Volveremos a este punto más adelante.

Primero notamos que podemos resolver este problema de valor inicial resolviendo dos problemas de valor inicial separados. Suponemos que la solución del problema homogéneo satisface las condiciones iniciales originales:

\ [\ begin {alineado}
\ dfrac {d} {d x}\ izquierda (p (x)\ dfrac {d y_ {h} (x)} {d x}\ derecha) +q (x) y_ {h} (x) &=0\\ y_ {h} (0)
=y_ {0},\ quad y_ {h} ^ {\ prime} (0) =y_ {0},\ quad y_ {h} ^ {\ prime} (0) &=v_ {0}
\ end {alineado}\ etiqueta {8.22}\]

Entonces asumimos que la solución particular satisface el problema

\ [\ begin {array} {r}
\ dfrac {d} {d x}\ izquierda (p (x)\ dfrac {d y_ {p} (x)} {d x}\ derecha) +q (x) y_ {p} (x) =f (x)\
y_ {p} (0) =0,\ quad y_ {p} ^ {prime\} (0) =0
\ end {array}\ label {8.23}\]

Dado que la ecuación diferencial es lineal, entonces sabemos que\(y(x)=y_{h}(x)+ y_{p}(x)\) es una solución de la ecuación no homogénea. Sin embargo, esta solución satisface las condiciones iniciales:

\ begin {reunió}
y (0) =y_ {h} (0) +y_ {p} (0) =y_ {0} +0=y_ {0}\\
y^ {\ prime} (0) =y_ {h} ^ {\ prime} (0) +y_ {p} ^ {\ prime} (0) =v_ {0} +0=v_ {0}
\ end {reunidos}

Por lo tanto, solo necesitamos enfocarnos en resolver para la solución particular que satisfaga condiciones iniciales homogéneas.

Recuérdese la ecuación (8.13) de la última sección,

\[y_{p}(x)=y_{2}(x) \int_{x_{1}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}(x) \int_{x_{0}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.24} \]

Ahora buscamos valores para\(x_{0}\) y\(x_{1}\) que satisfaga las condiciones iniciales homogéneas,\(y_{p}(0)=0\) y\(y_{p}^{\prime}(0)=0\).

Primero, consideramos\(y_{p}(0)=0\). Tenemos

\[y_{p}(0)=y_{2}(0) \int_{x_{1}}^{0} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}(0) \int_{x_{0}}^{0} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.25} \]

Aquí,\(y_{1}(x)\) y\(y_{2}(x)\) se toman como cualquier solución de la ecuación diferencial homogénea. Supongamos que\(y_{1}(0)=0\) y\(y_{2} \neq(0)=0\). Entonces tenemos

\[y_{p}(0)=y_{2}(0) \int_{x_{1}}^{0} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.26} \]

Podemos forzar\(y_{p}(0)=0\) si nos fijamos\(x_{1}=0\).

Ahora, consideramos\(y_{p}^{\prime}(0)=0\). Primero diferenciamos la solución y encontramos que

\[y_{p}^{\prime}(x)=y_{2}^{\prime}(x) \int_{0}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}^{\prime}(x) \int_{x_{0}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.27} \]

ya que las contribuciones de diferenciar las integrales se cancelarán. Evaluando este resultado en\(x=0\), tenemos

\[y_{p}^{\prime}(0)=-y_{1}^{\prime}(0) \int_{x_{0}}^{0} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.28} \]

Asumiendo eso\(y_{1}^{\prime}(0) \neq 0\), podemos establecer\(x_{0}=0\).
Por lo tanto, hemos encontrado que

\ [\ begin {alineado}
y_ {p} (x) &=y_ {2} (x)\ int_ {0} ^ {x}\ dfrac {f (\ xi) y_ {1} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} d\ xi-y_ {1} (x)\ int_ {0} ^ {x}\ dfrac {f (\ xi) y_ {2} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} d\ xi\\
&=\ int_ {0} ^ {x}\ izquierda [\ dfrac {y_ {1} (\ xi) y_ {2} (x) -y_ {1} (x) y_ {2} (\ xi)} {p (\ xi) W\ xi)}\ derecha] f (\ xi) d\ xi
\ end {alineado}\ etiqueta {8.29}\]

Este resultado está en la forma correcta y podemos identificar el valor temporal, o inicial, la función de Green. Entonces, la solución particular se da como

\[y_{p}(x)=\int_{0}^{x} G(x, \xi) f(\xi) d \xi \label{8.30} \]

donde el valor inicial La función de Green se define como

\[G(x, \xi)=\dfrac{y_{1}(\xi) y_{2}(x)-y_{1}(x) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W \xi)} \nonumber \]

Resumimos

Solución del problema de valor inicial (8.21)

La solución del problema de valor inicial (8.21) toma la forma

\[y(x)=y_{h}(x)+\int_{0}^{x} G(x, \xi) f(\xi) d \xi \label{8.31} \]

donde

\[G(x, \xi)=\dfrac{y_{1}(\xi) y_{2}(x)-y_{1}(x) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W \xi)} \nonumber \]

y la solución del problema homogéneo satisface las condiciones iniciales,

\[y_{h}(0)=y_{0}, \quad y_{h}^{\prime}(0)=v_{0} . \nonumber \]

Ejemplo 8.3. Resolver el problema del oscilador forzado

\[x^{\prime \prime}+x=2 \cos t, \quad x(0)=4, \quad x^{\prime}(0)=0 . \nonumber \]

Este problema se resolvió en el Capítulo 2 utilizando la teoría de sistemas no homogéneos. Primero resolvemos el problema homogéneo con condiciones iniciales no homogéneas:

\[x_{h}^{\prime \prime}+x_{h}=0, \quad x_{h}(0)=4, \quad x_{h}^{\prime}(0)=0 . \nonumber \]

Se ve fácilmente que la solución es\(x_{h}(t)=4 \cos t\).

A continuación, construimos la función del Verde. Necesitamos dos soluciones linealmente independientes,\(y_{1}(x), y_{2}(x)\), a la ecuación diferencial homogénea satisfactoria\(y_{1}(0)=0\) y\(y_{2}^{\prime}(0)=0\). Entonces, elegimos\(y_{1}(t)=\sin t\) y\(y_{2}(t)=\cos t\). El Wronskian se encuentra como

\[W(t)=y_{1}(t) y_{2}^{\prime}(t)-y_{1}^{\prime}(t) y_{2}(t)=-\sin ^{2} t-\cos ^{2} t=-1 . \nonumber \]

Ya que\(p(t)=1\) en este problema, tenemos

\ [\ begin {alineado}
G (t,\ tau) &=\ dfrac {y_ {1} (\ tau) y_ {2} (t) -y_ {1} (t) y_ {2} (\ tau)} {p (\ tau) W\ tau)}\\
&=\ sin t\ cos\ tau-\ sin\ tau\ cos\ tau\ cos t\
&=\ sin (t-\ tau)
\ final {alineado}\ etiqueta {8.32}\]

Tenga en cuenta que la función del Verde depende de\(t-\tau\). Si bien esto es útil en algunos contextos, utilizaremos la forma expandida.

Ahora podemos determinar la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea. Tenemos

\ [\ begin {alineado}
x_ {p} (t) &=\ int_ {0} ^ {t} G (t,\ tau) f (\ tau) d\ tau\\
&=\ int_ {0} ^ {t} (\ sin t\ cos\ tau-\ sin\ tau\ cos t) (2\ cos\ tau) d\ tau\
&=2\ sin t\ int_ {0} ^ {t}\ cos ^ {2}\ tau d\ tau-2\ cos t\ int_ {0} ^ {t}\ sin\ tau\ cos\ tau d\ tau\\ tau\
&=2\ sin t\ izquierda [\ dfrac {\ tau} {2} +\ dfrac {1} {2}\ sin 2\ tau\ derecha] _ {0} ^ {t} -2\ cos t\ izquierda [\ dfrac {1} {2}\ sin ^ {2}\ tau\ derecha] _ {0} ^ {t}\\
&=t\ sin t
\ fin alineado}\ etiqueta {8.33}\]

Por lo tanto, la solución particular es\(x(t)=4 \cos t+t \sin t\). Esta es la misma solución que habíamos encontrado anteriormente en el Capítulo 2.

Como se señaló en la última sección, generalmente no se nos da la ecuación diferencial en forma autoadjoint. Generalmente, toma la forma

\[a_{2}(x) y^{\prime \prime}(x)+a_{1}(x) y^{\prime}(x)+a_{0}(x) y(x)=g(x) . \label{8.34} \]

El término de conducción se convierte

\[f(x)=\dfrac{1}{a_{2}(x)} p(x) g(x) \nonumber \]

Insertando esto en la forma de función de Green de la solución particular, obtenemos lo siguiente:

Solución usando la función de Green

La solución del problema del valor inicial,

\[a_{2}(x) y^{\prime \prime}(x)+a_{1}(x) y^{\prime}(x)+a_{0}(x) y(x)=g(x) \nonumber \]

toma la forma

\[y(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)+\int_{0}^{t} G(x, \xi) g(\xi) d \xi \label{8.35} \]

donde la función de Green es la función definida por tramos

\[G(x, \xi)=\dfrac{y_{1}(\xi) y_{2}(x)-y_{1}(x) y_{2}(\xi)}{a_{2}(\xi) W(\xi)} \label{8.36} \]

\(y_{1}(x)\)y\(y_{2}(x)\) son soluciones de la ecuación homogénea satisfaciendo

\[y_{1}(0)=0, y_{2}(0) \neq 0, y_{1}^{\prime}(0) \neq 0, y_{2}^{\prime}(0)=0 . \nonumber \]

8.2.2 Función del valor límite del verde

Pasamos ahora a los problemas de valor límite. Nos centraremos en el problema

\ [\ begin {array} {r}
\ dfrac {d} {d x}\ izquierda (p (x)\ dfrac {d y (x)} {d x}\ derecha) +q (x) y (x) =f (x),\ quad a<x<b\\
y (a) =0,\ quad y (b) =0
\ end {array}\ label {37}\]

Sin embargo, la teoría general funciona para otras formas de condiciones de límite homogéneas.

Una vez más, buscamos\(x_{0}\) y\(x_{1}\) en la forma

\[y(x)=y_{2}(x) \int_{x_{1}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}(x) \int_{x_{0}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \nonumber \]

de manera que la solución al problema del valor límite pueda escribirse como una sola integral que involucre una función de Green. Aquí\(y_{h}(x)\) absorbimos en las integrales con una elección adecuada de límites inferiores en las integrales.

Primero elegimos soluciones de la ecuación diferencial homogénea de tal manera que\(y_{1}(a)=0, y_{2}(b)=0\) y\(y_{1}(b) \neq 0, y_{2}(a) \neq 0\). Entonces, tenemos

\ [\ begin {alineado}
y (a) &=y_ {2} (a)\ int_ {x_ {1}} ^ {a}\ dfrac {f (\ xi) y_ {1} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} d\ xi-y_ {1} (a)\ int_ {x_ {0}} ^ {a}\ dfrac {f (\ xi) y_ {2} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} d\ xi\\
&=y_ {2} (a)\ int_ {x_ {1}} ^ {a}\ dfrac {f (\ xi) y_ {1} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} d\ xi
\ end {alineado }\ etiqueta {8.38}\]

Esta expresión es cero si\(x_{1}=a\).
En\(x=b\) nos encontramos con que

\ [\ begin {alineado}
y (b) &=y_ {2} (b)\ int_ {x_ {1}} ^ {b}\ dfrac {f (\ xi) y_ {1} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} d\ xi-y_ {1} (b)\ int_ {x_ {0}} ^ {b}\ dfrac {f (\ xi) y_ {2} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} d\ xi\\
&=-y_ {1} (b)\ int_ {x_ {0}} ^ {b}\ dfrac {f (\ xi) y_ {2} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)}\ xi
\ fin { alineado}\ etiqueta {8.39}\]

Esto se desvanece para\(x_{0}=b\).
Entonces, hemos encontrado que

\[y(x)=y_{2}(x) \int_{a}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}(x) \int_{b}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi . \label{8.40} \]

Estamos buscando una función de Green para que la solución pueda escribirse como una integral. Podemos mover las funciones de\(x\) debajo de la integral. También, ya que\(a<x<b\), podemos voltear los límites en la segunda integral. Esto da

\[y(x)=\int_{a}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi) y_{2}(x)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi+\int_{x}^{b} \dfrac{f(\xi) y_{1}(x) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi . \label{8.41} \]

Este resultado se puede escribir en una forma compacta:

Función del Verde del Valor Límite

La solución del problema del valor límite toma la forma

\[y(x)=\int_{a}^{b} G(x, \xi) f(\xi) d \xi, \label{8.42} \]

donde la función de Green es la función definida por tramos

\ [G (x,\ xi) =\ izquierda\ {\ comenzar {matriz} {l}
\ dfrac {y_ {1} (\ xi) y_ {2} (x)} {p W}, a\ leq\ xi\ leq x\
\ dfrac {y_ {1} (x) y_ {2} (\ xi)} {p W}, x leq\ xi\ leq b
\ end {array}\ right. \ label {8.43}\]

La función de Green satisface varias propiedades, que exploraremos más a fondo en la siguiente sección. Por ejemplo, la función del Verde satisface las condiciones de contorno en\(x=a\) y\(x=b\). Por lo tanto,

\ begin {alineado}
&G (a,\ xi) =\ dfrac {y_ {1} (a) y_ {2} (\ xi)} {p W} =0\\
&G (b,\ xi) =\ dfrac {y_ {1} (\ xi) y_ {2} (b)} {p W} =0.
\ end {alineado}

Además, la función del Verde es simétrica en sus argumentos. Intercambiar los argumentos da

\ [G (\ xi, x) =\ izquierda\ {\ comenzar {matriz} {l}
\ dfrac {y_ {1} (x) y_ {2} (\ xi)} {p W}, a\ leq x\ leq\ xi\
\ dfrac {y_ {1} (\ xi) y_ {2} (x)} {p W}\ xi leq x\ leq b
\ end {array}. \ derecho. \ label {8.44}\]

Pero una mirada cuidadosa a la forma original demuestra que

\[G(x, \xi)=G(\xi, x) . \nonumber \]

Haremos uso de estas propiedades en la siguiente sección para determinar rápidamente las funciones del Green para otros problemas de valor límite.

Ejemplo 8.4. Resolver el problema del valor límite\(y'' = x^2, \quad y(0)=0=y(1)\) using the boundary value Green's function. 

Primero resolvemos la ecuación homogénea,\(y^{\prime \prime}=0\). Después de dos integraciones, tenemos\(y(x)=A x+B\), para\(A\) y\(B\) constantes por determinar.

Necesitamos una solución satisfactoria\(y_{1}(0)=0\) Así,\(0=y_{1}(0)=B\). Entonces, podemos escoger\(y_{1}(x)=x\), ya que\(A\) es arbitrario.

La otra solución tiene que satisfacer\(y_{2}(1)=0\). Entonces,\(0=y_{2}(1)=A+B\). Esto se puede resolver para\(B=-A\). Nuevamente,\(A\) es arbitrario y vamos a elegir\(A=-1\). Así,\(y_{2}(x)=1-x\).
Por este problema\(p(x)=1\). Por lo tanto, para\(y_{1}(x)=x\) y\(y_{2}(x)=1-x\),

\[p(x) W(x)=y_{1}(x) y_{2}^{\prime}(x)-y_{1}^{\prime}(x) y_{2}(x)=x(-1)-1(1-x)=-1 . \nonumber \]

Tenga en cuenta que\(p(x) W(x)\) es una constante, como debe ser.

Ahora construimos la función del Verde. Tenemos

\ [G (x,\ xi) =\ left\ {\ begin {array} {l}
-\ xi (1-x), 0\ leq\ xi\ leq x\\
-x (1-\ xi), x\ leq\ xi\ leq 1
\ end {array}\ right. \ label {8.45}\]

Observe la simetría entre las dos ramas de la función del Verde. Además, la función del Verde satisface condiciones de límite homogéneas:\(G(0, \xi)=0\), desde la rama inferior y\(G(1, \xi)=0\), desde la rama superior.

Finalmente, insertamos la función de Green en la forma integral de la solución:

\ [\ begin {alineado}
y (x) &=\ int_ {0} ^ {1} G (x,\ xi) f (\ xi) d\ xi\\
&=\ int_ {0} ^ {1} G (x,\ xi)\ xi^ {2} d\ xi\
&=-\ int_ {0} ^ {x}\ xi (1-x)\ xi^ {2}} d\ xi-\ int_ {x} ^ {1} x (1-\ xi)\ xi^ {2} d\ xi\\
&=- (1-x)\ int_ {0} ^ {x}\ xi^ {3} d\ xi-x\ int_ {x} ^ {1}\ izquierda (\ xi^ {2} -\ xi^ {3}\ derecha) d\ xi\
&=- (1-x)\ izquierda [\ dfrac {\ xi^ {4}} {4}\ derecha] _ {0} ^ {x} -x\ izquierda [\ dfrac {\ xi^ {3}} {3} -\ dfrac {\ xi^ {4}} {4}}\ derecha] _ {x} ^ {1}\\
&=-\ dfrac {1} {4} (1-x) x^ {4} -\ dfrac {1} {12} x (4-3) +\ dfrac {1} {12} x\ izquierda (4 x^ {3} -3 x^ {4}\ derecha)\\
&=\ dfrac {1} 12 }\ izquierda (x^ {4} -x\ derecha)
\ final {alineado}\ etiqueta {8.46}\]