8.5: Problemas

8.1. Utilice el Método de Variación de Parámetros para determinar la solución general para los siguientes problemas.

a\(y^{\prime \prime}+y=\tan x\).
b.\(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=6 x e^{2 x}\)

8.2. En lugar de suponer que\(c_{1}^{\prime} y_{1}+c_{2}^{\prime} y_{2}=0\) en la derivación de la solución usando Variación de Parámetros, asuma que\(c_{1}^{\prime} y_{1}+c_{2}^{\prime} y_{2}=h(x)\) para una función arbitraria\(h(x)\) y mostrar que uno obtiene la misma solución particular.

8.3. Encuentre la solución de cada problema de valor inicial utilizando la función de valor inicial apropiado de Green.

a\(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=20 e^{-2 x}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=6\).
b\(y^{\prime \prime}+y=2 \sin 3 x, \quad y(0)=5, \quad y^{\prime}(0)=0\).
\(y^{\prime \prime}+y=1+2 \cos x, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0\)c.
d\(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=3 x^{2}-x, \quad y(1)=\pi, \quad y^{\prime}(1)=0\).

8.4. Considera el problema\(y^{\prime \prime}=\sin x, y^{\prime}(0)=0, y(\pi)=0\).

a. Resolver por integración directa.
b. Determinar la función del Verde.
c. Resolver el problema del valor límite utilizando la función de Green.
d. Cambiar las condiciones de contorno a\(y^{\prime}(0)=5, y(\pi)=-3\).

i. Resolver por integración directa.
ii. Resuelve usando la función de Green.

8.5. Considera el problema:

\[\dfrac{\partial^{2} G}{\partial x^{2}}=\delta\left(x-x_{0}\right), \quad \dfrac{\partial G}{\partial x}\left(0, x_{0}\right)=0, \quad G\left(\pi, x_{0}\right)=0 \nonumber \]

a. Resolver por integración directa.
b. Comparar este resultado con la función de Green en la parte b del último problema.
c. Verificar que\(G\) sea simétrico en sus argumentos.

8.6. En este problema demostrarás que la secuencia de funciones

\[f_{n}(x)=\dfrac{n}{\pi}\left(\dfrac{1}{1+n^{2} x^{2}}\right) \nonumber \]

enfoques\(\delta(x)\) como\(n \rightarrow \infty\). Utilice lo siguiente para apoyar su argumento:

a. demuéstralo\(\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=0\) para\(x \neq 0\).
b. Demostrar que el área bajo cada función es una.

8.7. Verificar que la secuencia de funciones\(\left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}\), definida por\(f_{n}(x)= \dfrac{n}{2} e^{-n|x|}\), se aproxime a una función delta.

8.8. Evalúe las siguientes integrales:

a\(\int_{0}^{\pi} \sin x \delta\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) d x\).
b.\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(\dfrac{x-5}{3} e^{2 x}\right)\left(3 x^{2}-7 x+2\right) d x\)
\(\int_{0}^{\pi} x^{2} \delta\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) d x\) c.
d\(\int_{0}^{\infty} e^{-2 x} \delta\left(x^{2}-5 x+6\right) d x\). [Ver Problema 8.10.]
e\(\int_{-\infty}^{\infty}\left(x^{2}-2 x+3\right) \delta\left(x^{2}-9\right) d x\). [Ver Problema 8.10.]

8.9. Encuentre una representación en serie de Fourier de la función delta de Dirac,\(\delta(x)\), on\([-L, L]\)

8.10. Para el caso de que una función tenga múltiples raíces simples\(f\left(x_{i}\right)=0\),\(f^{\prime}\left(x_{i}\right) \neq 0, i=1,2, \ldots\),, se puede demostrar que

\[\delta(f(x))=\sum_{i=1}^{n} \dfrac{\delta\left(x-x_{i}\right)}{\left|f^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|} . \nonumber \]

Utilice este resultado para evaluar\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(x^{2}-5 x+6\right)\left(3 x^{2}-7 x+2\right) d x\).

8.11. Considerar el problema del valor límite:\(y^{\prime \prime}-y=x, x \in(0,1)\), con condiciones de límite\(y(0)=y(1)=0\).

a. Encuentre una solución de formulario cerrado sin usar las funciones de Green.
b. Determinar la función de forma cerrada Green usando las propiedades de las funciones de Green. Utilice esta función de Green para obtener una solución del problema del valor límite.
c. Determinar una representación en serie de la función del Verde. Utilice esta función de Green para obtener una solución del problema del valor límite.
d. Confirmar que todas las soluciones obtenidas dan los mismos resultados.