8.4: Representaciones en serie de las funciones de Green
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Hay momentos en los que tal vez no sea tan sencillo encontrar la función del Verde en la simple forma cerrada que hemos visto hasta ahora. Sin embargo, existe un método para determinar las funciones de Green de los problemas de valor límite de Sturm-Liouville en forma de expansión de función propia. Terminaremos nuestra discusión sobre las funciones de Green para ecuaciones diferenciales ordinarias mostrando cómo se obtienen tales representaciones en serie. (Tenga en cuenta que en realidad solo estamos repitiendo los pasos hacia el desarrollo de la expansión de la función propia que habíamos visto en el Capítulo 6.)
Haremos uso del conjunto completo de funciones propias del operador diferencial\(\mathcal{L}\), satisfaciendo las condiciones de contorno homogéneas:
\[\mathcal{L}\left[\phi_{n}\right]=-\lambda_{n} \sigma \phi_{n}, \quad n=1,2, \ldots \nonumber \]
Queremos encontrar la solución particular\(y\) satisfactoria\(\mathcal{L}[y]=f\) y homogénea en condiciones de contorno. Suponemos que
\[y(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \phi_{n}(x) . \nonumber \]
Insertando esto en la ecuación diferencial, obtenemos
\[\mathcal{L}[y]=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathcal{L}\left[\phi_{n}\right]=-\sum_{n=1}^{\infty} \lambda_{n} a_{n} \sigma \phi_{n}=f . \nonumber \]
Esto ha resultado en la expansión generalizada de Fourier
\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \sigma \phi_{n}(x) \nonumber \]
con coeficientes
\[c_{n}=-\lambda_{n} a_{n} . \nonumber \]
Hemos visto cómo computar estos coeficientes antes en el texto. Multiplicamos ambos lados por\(\phi_{k}(x)\) e integramos. Usando la ortogonalidad de las funciones propias,
\[\int_{a}^{b} \phi_{n}(x) \phi_{k}(x) \sigma(x) d x=N_{k} \delta_{n k}, \nonumber \]
se obtienen los coeficientes de expansión (si\(\lambda_{k} \neq 0\))
\[a_{k}=-\dfrac{\left(f, \phi_{k}\right)}{N_{k} \lambda_{k}}, \nonumber \]
donde\(\left(f, \phi_{k}\right) \equiv \int_{a}^{b} f(x) \phi_{k}(x) d x\).
Como antes, podemos reorganizar la solución para obtener la función de Green. A saber, tenemos
\[y(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\left(f, \phi_{n}\right)}{-N_{n} \lambda_{n}} \phi_{n}(x)=\int_{a}^{b} \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\phi_{n}(x) \phi_{n}(\xi)}{-N_{n} \lambda_{n}}}_{G(x, \xi)} f(\xi) d \xi \nonumber \]
Por lo tanto, hemos encontrado la función de Green como una expansión en las funciones propias:
\[G(x, \xi)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\phi_{n}(x) \phi_{n}(\xi)}{-\lambda_{n} N_{n}} . \label{8.72} \]
propia
Concluiremos esta discusión con un ejemplo. Considerar el problema del valor límite
\[y^{\prime \prime}+4 y=x^{2}, \quad x \in(0,1), \quad y(0)=y(1)=0 . \nonumber \]
La función de Green para este problema se puede construir con bastante rapidez para este problema una vez que se resuelve el problema del valor propio. Vamos a resolver este problema de tres formas distintas para resumir los métodos que hemos utilizado en el texto.
El problema del valor propio es
\[\phi^{\prime \prime}(x)+4 \phi(x)=-\lambda \phi(x), \nonumber \]
dónde\(\phi(0)=0\) y\(\phi(1)=0\). La solución general se obtiene reescribiendo la ecuación como
\[\phi^{\prime \prime}(x)+k^{2} \phi(x)=0 \nonumber \]
donde
\[k^{2}=4+\lambda . \nonumber \]
Las soluciones que satisfacen la condición límite en\(x=0\) son de la forma
\[\phi(x)=A \sin k x . \nonumber \]
Forzar\(\phi(1)=0\) da
\[0=A \sin k \Rightarrow k=n \pi, \quad k=1,2,3 \ldots \nonumber \]
Entonces, los valores propios son
\[\lambda_{n}=n^{2} \pi^{2}-4, \quad n=1,2, \ldots \nonumber \]
y las funciones propias son
\[\phi_{n}=\sin n \pi x, \quad n=1,2, \ldots \nonumber \]
Necesitamos la constante de normalización,\(N_{n}\). Tenemos eso
\[N_{n}=\left\|\phi_{n}\right\|^{2}=\int_{0}^{1} \sin ^{2} n \pi x=\dfrac{1}{2} . \nonumber \]
Ahora podemos construir la función de Green para este problema usando la Ecuación (8.72).
\[G(x, \xi)=2 \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin n \pi x \sin n \pi \xi}{\left(4-n^{2} \pi^{2}\right)} . \label{8.73} \]
Podemos usar esta función de Green para determinar la solución del problema del valor límite. Por lo tanto, tenemos
\ [\ begin {alineado}
y (x) &=\ int_ {0} ^ {1} G (x,\ xi) f (\ xi) d\ xi\\
&=\ int_ {0} ^ {1}\ izquierda (2\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ dfrac {\ sin n\ pi x\ sin n\ pi\ xi} {\ izquierda (4-n^ {2}\ pi^ {2}\ derecha)}\ derecha)\ xi^ {2} d\ xi\\
&=2\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ dfrac {\ sin n\ pi x} {\ izquierda (4-n^ {2}\ pi^ {2}\ derecha)}\ int_ {0} ^ {1}\ xi^ {2}\ sin n\ pi\ xi d\ xi\ xi\
&=2\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ dfrac {\ sin n\ pi x} {\ izquierda (4-n^ {2}\ pi^ {2}\ derecha)}\ izquierda [\ dfrac\ izquierda (2-n^ {2}\ pi^ {2}\ derecha) (-1) ^ {n} -2} {n^ {3}\ pi^ {3}}\ derecha]
\ final {alineado}\ etiqueta {8.74}\]
Podemos comparar esta solución con la que se obtendría si no empleáramos directamente las funciones de Green. El método de expansión de función propia para resolver problemas de valor límite, que vimos anteriormente procede de la siguiente manera. Asumimos que nuestra solución está en la forma
\[y(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \phi_{n}(x) . \nonumber \]
Insertar esto en la ecuación diferencial\(\mathcal{L}[y]=x^{2}\) da
\ [\ begin {alineado}
x^ {2} &=\ mathcal {L}\ izquierda [\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}\ sin n\ pi x\ derecha]\\
&=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}\ izquierda [\ dfrac {d^ {2}} {d x^ {2}\ sin n\ pi x+4\ sin n\ pi x\ derecha]\\
&=\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}\ izquierda [4-n^ {2}\ pi^ {2}\ derecha]\ sin n\ pi x
\ end {alineado}\ etiqueta {8.75}\]
Necesitamos la expansión de la serie sinusoidal de Fourier de\(x^{2}\) on\([0,1]\) para determinar\(c_{n}\) los 's. así, necesitamos
\ [\ begin {alineado}
b_ {n} &=\ dfrac {2} {1}\ int_ {0} ^ {1} x^ {2}\ sin n\ pi x\\
&=2\ izquierda [\ dfrac {\ izquierda (2-n^ {2}\ pi^ {2}\ pi^ {2}\ derecha) (-1) ^ {n} -2} {n^ {3}\ pi^ {3}}\ derecha],\ quad n=1,2,\ lpuntos
\ final {alineado}\ etiqueta {8.76}\]
Por lo tanto,
\[x^{2}=2 \sum_{n=1}^{\infty}\left[\dfrac{\left(2-n^{2} \pi^{2}\right)(-1)^{n}-2}{n^{3} \pi^{3}}\right] \sin n \pi x . \nonumber \]
Insertando esto en la Ecuación (8.75), encontramos
\[2 \sum_{n=1}^{\infty}\left[\dfrac{\left(2-n^{2} \pi^{2}\right)(-1)^{n}-2}{n^{3} \pi^{3}}\right] \sin n \pi x=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}\left[4-n^{2} \pi^{2}\right] \sin n \pi x . \nonumber \]
Debido a la independencia lineal de las funciones propias, podemos resolver los coeficientes desconocidos para obtener
\[c_{n}=2 \dfrac{\left(2-n^{2} \pi^{2}\right)(-1)^{n}-2}{\left(4-n^{2} \pi^{2}\right) n^{3} \pi^{3}} . \nonumber \]
Por lo tanto, la solución que utiliza el método de expansión de función propia es
\ [\ begin {alineado}
y (x) &=\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} c_ {n}\ phi_ {n} (x)\\
&=2\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ dfrac {\ sin n\ pi x} {\ izquierda (4-n^ {2}\ pi^ {2}\ derecha)}\ izquierda [dfrac {\ izquierda (2-n^ {2}\ pi^ {2}\ derecha) (-1) ^ {n} -2} {n^ {3}\ pi^ {3}}\ derecha].
\ end {alineado}\ etiqueta {8.77}\]
Observamos que esta es la misma solución que habíamos obtenido usando la función de Green obtenida en forma de serie.
Una pregunta restante es la siguiente: ¿Existe un formulario cerrado para la función del Verde y la solución a este problema? ¡La respuesta es sí! Observamos que el operador diferencial es un caso especial del ejemplo hecho es la sección 8.2.2. A saber, elegimos\(\omega=2\). La función del Verde ya se encontró en esa sección. Para este caso especial, tenemos
\ [G (x,\ xi) =\ izquierda\ {\ comenzar {matriz} {l}
-\ dfrac {\ sin 2 (1-\ xi)\ sin 2 x} {2\ sin 2}, 0\ leq x\ leq\ xi\
-\ dfrac {\ sin 2 (1-x)\ sin 2\ xi} {2\ sin 2},\ xi\ leq x\ leq 1
\ end {array}\ right. \ label {8.78}\]
¿Qué pasa con la solución al problema del valor límite? Esta solución viene dada por
\ [\ begin {alineado}
y (x) &=\ int_ {0} ^ {1} G (x,\ xi) f (\ xi) d\ xi\\
&=-\ int_ {0} ^ {x}\ dfrac {\ sin 2 (1-x)\ sin 2\ xi} {2\ sin 2}\ xi^ {2} d\ xi+\ int_ {x} {1}\ dfrac {\ sin 2 (\ xi-1)\ sin 2 x} {2\ sin 2}\ xi^ {2} d\ xi\
&=-\ dfrac {1} {4\ sin 2}\ left [-x^ {2}\ sin 2-\ sin 2\ cos ^ {2} x+\ sin 2+\ cos 2\ sin x\ cos x+\ sin x\ cos x\ derecho]. \\
&=-\ dfrac {1} {4\ sin 2}\ izquierda [-x^ {2}\ sin 2+\ izquierda (1-\ cos ^ {2} x\ derecha)\ sin 2+\ sin x\ cos x (1+\ cos 2)\ derecha]. \\
&\ izquierda. =-\ dfrac {1} {4\ sin 2}\ izquierda [-x^ {2}\ sin 2+2\ sin ^ {2} x\ sin 1\ cos 1+2\ sin x\ cos x\ cos ^ {2} 1\ derecha)\ derecha]. \\
&=-\ dfrac {1} {8\ sin 1\ cos 1}\ izquierda [-x^ {2}\ sin 2+2\ sin x\ cos 1 (\ sin x\ sin 1+\ cos x\ cos 1)\ derecha]. \\
&=\ dfrac {x^ {2}} {4} -\ dfrac {\ sin x\ cos (1-x)} {4\ sin 1}.
\ end {alineado}\ etiqueta {8.79}\]
En la Figura 8.4 se muestra una gráfica de esta solución junto con los cinco primeros términos de la solución en serie. La solución en serie converge rápidamente.
Como última comprobación, resolvemos el problema del valor límite directamente, como lo habíamos hecho en el Capítulo 4. Nuevamente, el problema es
\[y^{\prime \prime}+4 y=x^{2}, \quad x \in(0,1), \quad y(0)=y(1)=0 . \nonumber \]
El problema tiene la solución general
\[y(x)=c_{1} \cos 2 x+c_{2} \sin 2 x+y_{p}(x) \nonumber \]
donde\(y_{p}\) es una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea. Usando el Método de Coeficientes Indeterminados, asumimos una solución de la forma
\[y_{p}(x)=A x^{2}+B x+C . \nonumber \]
Insertando esto en la ecuación no homogénea, tenemos
\[2 A+4\left(A x^{2}+B x+C\right)=x^{2}, \nonumber \]
Así,\(B=0,4 A=1\) y\(2 A+4 C=0\). La solución de este sistema es
\[A=\dfrac{1}{4}, \quad B=0, \quad C=-\dfrac{1}{8} . \nonumber \]
Entonces, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea es
\[y(x)=c_{1} \cos 2 x+c_{2} \sin 2 x+\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{1}{8} . \nonumber \]
Ahora determinamos las constantes arbitrarias usando las condiciones de límite.
Tenemos
\ [\ begin {alineado}
0 &=y (0)\\
&=c_ {1} -\ dfrac {1} {8}\\
0 &=y (1)\\
&=c_ {1}\ cos 2+c_ {2}\ sin 2+\ dfrac {1} {8}
\ end {alineado}\ label {8.80}\]
Así,\(c_{1}=\dfrac{1}{8}\) y
\[c_{2}=-\dfrac{\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8} \cos 2}{\sin 2} . \nonumber \]
Insertando estas constantes en la solución encontramos la misma solución que antes.
\ [\ begin {alineado}
y (x) &=\ dfrac {1} {8}\ cos 2 x-\ izquierda [\ dfrac {\ dfrac {1} {8} +\ dfrac {1} {8}\ cos 2} {\ sin 2}\ derecha]\ sin 2 x+\ dfrac {x^ {2}} {4} -\ dfrac {1} {8}\\
&=\ dfrac {\ cos 2 x\ sin 2-\ sin 2 x\ cos 2-\ sin 2 x} {8\ sin 2} +\ dfrac {x^ {2}} {4} -\ dfrac {1} {8}\\
&=\ dfrac {\ izquierda (1-2\ sin ^ {2} x\ derecha)\ sin 1\ cos 1-\ sin x\ cos x\ izquierda (2\ cos ^ {2} 1-1\ derecha) -\ sin x\ cos x-\ sin 1\ cos 1} {8\ sin 1\ cos 1} +\ dfrac {x^ {2}} {4}\\
&=-\ dfrac {\ sin ^ {2}} x\ sin 1+\ sin x\ cos x\ cos 1} {4\ sin 1} +\ dfrac {x^ {2}} {4}\\
&=\ dfrac {x^ {2}} {4} -\ dfrac {\ sin x\ cos (1-x)} { 4\ sin 1}.
\ end {alineado}\ etiqueta {8.81}\]