2.1.E: Curvas (Ejercicios)

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Trazar las curvas parametrizadas por las siguientes funciones a lo largo de los intervalos especificados$I$.

(a)$f(t)=(3 t+1,2 t-1), I=[-5,5]$

b)$g(t)=\left(t, t^{2}\right), I=[-3,3]$

c)$f(t)=(3 \cos (t), 3 \sin (t)), I=[0,2 \pi]$

d)$h(t)=(3 \cos (t), 3 \sin (t)), I=[0, \pi]$

(e)$f(t)=(4 \cos (2 t), 2 \sin (2 t), I=[0, \pi]$

f)$g(t)=(-4 \cos (t), 2 \sin (t)), I=[0, \pi]$

g)$h(t)=(t \sin (3 t), t \cos (3 t)), I=[-\pi, \pi]$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Trazar las curvas parametrizadas por las siguientes funciones a lo largo de los intervalos especificados$I$.

(a)$f(t)=(t+1,2 t-1,3 t), I=[-4,4]$

b)$g(t)=(\cos (t), t, \sin (t)), I=[0,4 \pi]$

c)$f(t)=(t \cos (2 t), t \sin (2 t), t), I=[-10,10]$

d)$h(t)=(\cos (2 t), \sin (2 t), \sqrt{t}), I=[0,9]$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Trazar las curvas parametrizadas por las siguientes funciones a lo largo de los intervalos especificados$I$.

(a)$f(t)=(\cos (4 \pi t), \sin (5 \pi t)), I=[-0.5,0.5]$

b)$f(t)=(\cos (6 \pi t), \sin (7 \pi t)), I=[-0.5,0.5]$

c)$h(t)=\left(\cos ^{3}(t), \sin ^{3}(t)\right), I=[0,2 \pi]$

d)$g(t)=(\cos (2 \pi t), \sin (2 \pi t), \sin (4 \pi t)), I=[0,1]$

(e)$f(t)=(\sin (4 t) \cos (t), \sin (4 t) \sin (t)), I=[0,2 \pi]$

f)$h(t)=((1+2 \cos (t)) \cos (t),(1+2 \cos (t)) \sin (t)), I=[0,2 \pi]$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Supongamos$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y definimos$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ por$f(t)=(t, g(t))$. Describir la curva parametrizada por$f$.

Contestar

La curva parametrizada por$f$ es la gráfica de$g$.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Para cada una de las siguientes, compute$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{n}$

(a)$\mathbf{x}_{n}=\left(\frac{n+1}{2 n+3}, 3-\frac{1}{n}\right)$

b)$\mathbf{x}_{n}=\left(\sin \left(\frac{n-1}{n}\right), \cos \left(\frac{n-1}{n}\right), \frac{n-1}{n}\right)$

c)$\mathbf{x}_{n}=\left(\frac{2 n-1}{n^{2}+1}, \frac{3 n+4}{n+1}, 4-\frac{6}{n^{2}}, \frac{6 n+1}{2 n^{2}+5}\right)$

Contestar

(a)$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{n}=\left(\frac{1}{2}, 3\right)$

b)$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{n}=(\sin (1), \cos (1), 1)$

c)$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_{n}=(0,3,4,0)$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Dejar$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ ser definido por

$$f(t)=\left(\frac{\sin (t)}{t}, \cos (t), 3 t^{2}\right). \nonumber$$

Evalúe lo siguiente.

(a)$\lim _{t \rightarrow \pi} f(t)$

b)$\lim _{t \rightarrow 1} f(t)$

c)$\lim _{t \rightarrow 0} f(t)$

Contestar

(a)$\lim _{t \rightarrow \pi} f(t)=\left(0,-1,3 \pi^{2}\right)$

b)$\lim _{t \rightarrow 1} f(t)=(\sin (1), \cos (1), 3)$

c)$\lim _{t \rightarrow 0} f(t)=(1,1,0)$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Discutir la continuidad de cada una de las siguientes funciones.

(a)$f(t)=\left(t^{2}+1, \cos (2 t), \sin (3 t)\right. )$

b)$g(t)=(\sqrt{t+1}, \tan (t))$

c)$f(t)=\left(\frac{1}{t^{2}-1}, \sqrt{1-t^{2}}, \frac{1}{t}\right)$

d)$g(t)=(\cos (4 t), 1-\sqrt{3 t+1}, \sin (5 t), \sec (t))$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Dejar$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ ser definido por$f(t)=\left(t^{2}, 3 t, 2 t+1\right)$. Encuentra

$$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h} .\nonumber$$

Contestar

$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=(2 t, 3,2)$