3.5.E: Valores Extremos (Ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra los valores máximos y mínimos de\(f(x, y)=x y\) en el conjunto\(D=\{(x, y): \left.x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} . \)

Contestar

Valor máximo de\(\frac{1}{2}\) at\(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) y\(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\);

valor mínimo de\(-\frac{1}{2}\) at\(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) y\(\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentra los valores máximos y mínimos de\(f(x, y)=8-x^{2}-y^{2}\) en el conjunto\(D = \left\{(x, y): x^{2}+9 y^{2} \leq 9\right\} . \)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra los valores máximos y mínimos de\(f(x, y)=x^{2}+3 x y+y^{2}\) en el conjunto\(D= \left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 4\right\} \).

Contestar

Valor máximo de 10 a\((\sqrt{2}, \sqrt{2})\) y\((-\sqrt{2},-\sqrt{2})\);

valor mínimo de -2 en\((-\sqrt{2}, \sqrt{2})\) y\((\sqrt{2},-\sqrt{2})\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra todos los valores extremos locales de\(f(x, y)=x e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra todos los valores extremos locales de\(g(x, y)=x^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\).

Contestar

Mínimo local de 0 en todos los puntos del formulario\((0,y)\),\(-\infty<y<\infty\); máximo local de\(e^{-1}\) en (1,0) y (-1,0)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Encuentra todos los valores extremos locales de\(g(x, y)=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Encuentra todos los valores extremos locales de\(f(x, y)=4 x y-2 x^{2}-y^{4}\).

Contestar

Máximo local de 1 en (1,1) y (−1, −1); punto de sillín en (0,0)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Encuentra todos los valores extremos locales de\(h(x, y)=2 x^{4}+y^{4}-x^{2}-2 y^{2} .\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Encuentra todos los valores extremos locales de\(f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\).

Contestar

Mínimo local de 0 en (0,0,0)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Encuentra todos los valores extremos locales de\(g(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z^{2} .\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Un agricultor desea construir una papelera rectangular, con una parte superior, para contener un volumen de 1000 metros cúbicos. Encuentre las dimensiones del contenedor que minimizarán la cantidad de material necesario en su construcción.

Contestar

10 metros\(\times\) 10 metros\(\times\) 10 metros

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Un agricultor desea construir una papelera rectangular, con una tapa, utilizando 600 metros cuadrados de material. Encuentra las dimensiones de la papelera que maximizarán el volumen.

Contestar

8.43 metros\(\times\) 8.43 metros\(\times\) 8.43 metros

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Encuentra los valores extremos de\(f(x, y, z)=x+y+z\) en la esfera con ecuación\(x^{2}+y^{2}+z^2 = 1\)

Contestar

Valor máximo de\(\sqrt{3}\) at\(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\); valor mínimo de\(-\sqrt{3}\) at\(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Encuentra la distancia mínima en\(\mathbb{R}^2\) desde el origen hasta la línea con ecuación\(3 x+2 y=4\).

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Encuentra la distancia mínima en\(\mathbb{R}^3\) desde el origen hasta el plano con ecuación\(2x+4y+z=6\).

Contestar

Distancia mínima de\(\frac{2 \sqrt{21}}{7}\) a\(\frac{2}{7}(2,4,1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Encuentra la distancia mínima en\(\mathbb{R}^2\) desde el origen hasta la curva con ecuación\(xy=1\).

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

El elipsoide con ecuación\(x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4\) se calienta de manera que su temperatura a\((x,y,z)\) es dada por\(T(x, y, z)=70+10(x-z)\). Encuentra los puntos más calientes y fríos en el elipsoide.

Contestar

Punto más caliente:\(98.28^{\circ}\) en\((\sqrt{2}, 0,-\sqrt{2})\); punto más frío:\(41.72^{\circ}\) en\((-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Supongamos que una aerolínea requiere que la suma de la longitud, anchura y altura del equipaje de mano no pueda superar las 45 pulgadas (suponiendo que el equipaje tenga la forma de una caja rectangular). Encuentra las dimensiones de una pieza de equipaje de mano que tenga el volumen máximo.

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Vamos\(f(x, y)=\left(y-4 x^{2}\right)\left(y-x^{2}\right)\).

(a) Verificar que (0, 0) sea un punto crítico de\(f\).

(b) Demostrar que\(Hf(0,0)\) es indefinido.

(c) Demostrar que a lo largo de cualquier línea a través del origen,\(f\) tiene un mínimo local en (0, 0).

(d) Encontrar una curva a través del origen tal que, a lo largo de la curva,\(f\) tenga un máximo local en (0, 0). Tenga en cuenta que esto demuestra que (0, 0) es un punto de sillín.

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Vamos\(f(x, y)=(x-y)^{2}\). Encuentre todos los puntos críticos de\(f\) y categorizarlos de acuerdo ya que son puntos de silla de montar o la ubicación de valores extremos locales. ¿Es útil en este caso la segunda prueba derivada?

Contestar

Mínimo local de 0 en todos los puntos del formulario\((x,x)\),\(-\infty<x<\infty\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Vamos\(g(x, y)=\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\). Encuentra todos los puntos críticos de\(g\). ¿Qué puntos críticos son la ubicación de los máximos locales? ¿Mínimos locales? ¿Hay algún punto de sillín?

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Cómo se ve una gráfica de los vectores de gradiente alrededor de un punto de silla de montar de una función\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} ?\) Podrías mirar algunos ejemplos, como\(f(x, y)=x^{2}-y^{2}, f(x, y)=x y\), o incluso\(f(x, y)=x y e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\).

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Dados\(n\) puntos\(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right)\) en\(\mathbb{R}^2\), la línea con ecuación\(y=mx+b\) que minimiza

\[ L(m, b)=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{1}-\left(m x_{i}+b\right)\right)^{2} \nonumber \]

se llama la línea de mínimos cuadrados.

(a) Dar una interpretación geométrica para\(L(m,b)\).

(b) Demostrar que los parámetros de la línea de mínimos cuadrados son

\[ m=\frac{n \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}\right)}{n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}} \nonumber \]

y

\[ b=\bar{y}-m \bar{x} , \nonumber \]

donde

\[ \bar{y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i} \nonumber \]

y

\[ \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} . \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

La siguiente tabla se toma de un informe elaborado en la década de 1960 para estudiar el efecto de las fugas de desechos radiactivos de los depósitos de almacenamiento en las instalaciones nucleares de Hanford, Washington, sobre las tasas de cáncer en nueve condados de Oregón que bordean el río Columbia. En la tabla se da un índice de exposición, que toma en cuenta cosas como la distancia a las instalaciones de Hanford y la distancia de la población al río, junto con la tasa de mortalidad por cáncer por cada 100 mil personas.

Condado	Índice de exposición	Tasa de mortalidad por cáncer
Umatilla	2.49	147.1
Morrow	2.57	130.1
Gilliam	3.41	129.9
Sherman	1.25	113.5
Wasco	1.62	137.5
Río Hood	3.83	162.3
Portland	11.64	207.5
Columbia	6.41	177.9
Clatsop	8.34	210.3

Usando el Ejercicio 22, encuentra la línea de mínimos cuadrados para estos datos (deja que el índice de exposición sean los\(x\) datos). Trazar los puntos junto con la línea.

Contestar

\(y=9.23 x+114.72\)