1.6: Líneas medias y segmentos

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Supongamos que hay una línea\(l\) que pasa a través de dos puntos distintos\(P\) y\(Q\). En este caso podríamos denotar\(l\) como\((PQ)\). Puede haber más de una línea a través\(P\) y\(Q\), pero si\((PQ)\) escribimos asumimos que hicimos una elección de tal línea.

Vamos a denotar por\([PQ)\) la media línea que comienza en\(P\) y contiene\(Q\). Formalmente hablando,\([PQ)\) es un subconjunto del\((PQ)\) cual corresponde a\([0,\infty)\) bajo una isometría\(f: (PQ) \to \mathbb{R}\) tal que\(f(P) = 0\) y\(f(Q) > 0\).

El subconjunto de línea\((PQ)\) entre\(P\) y\(Q\) se llama el segmento entre\(P\) y\(Q\) y denotado por\([PQ]\). Formalmente, el segmento se puede definir como la intersección de dos medias líneas:\([PQ] = [PQ) \cap [QP)\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que

a) si\(X \in [PQ)\), entonces\(QX = |PX - PQ|\);

b) si\(X \in [PQ]\), entonces\(QX + XQ = PQ\).

Pista

Fijar una isometría\(f: (PQ) \to \mathbb{R}\) tal que\(f(P) = 0\) y\(f(Q) = q > 0\).

Supongamos que\(f(X) = x\). Por la definición de la media línea\(X \in [PQ)\) si y sólo si\(x \ge 0\). Demostrar que este último sostiene si y sólo si\(|x - q| = ||x| - |q||\). De ahí que a) sigue.

Para probar (b), observar que\(X \in [PQ]\) si y sólo si\(0 \le x \le q\). Demostrar que este último sostiene si y sólo si\(|x - q| + |x| = |q|\).