1.7: Ángulos

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Nuestro siguiente objetivo es introducir ángulos y medidas angulares; después de eso, la afirmación “podemos medir ángulos” se volverá rigurosa; véase (iii) en la Sección 1.1.

Un par ordenado de medias líneas que comienzan en el mismo punto se llama ángulo. El ángulo$AOB$ (también denotado por$\angle AOB$) es el par de medias líneas$[OA)$ y$[OB)$. En este caso el punto$O$ se llama el vértice del ángulo.

Intuitivamente, la medida del ángulo indica cuánto se tiene que girar la primera media línea en sentido contrario a las agujas del reloj, por lo que obtiene la posición de la segunda media línea del ángulo. Se supone que el giro completo es$2 \cdot \pi$; corresponde a la medida del ángulo en radianes. (Por un tiempo se puede pensar que$\pi$ es un número real positivo que mide el tamaño de un medio giro en ciertas unidades. Su valor concreto no$\pi \approx 3.14$ será importante por mucho tiempo.

La medida del ángulo de$\angle AOB$ se denota por$\measuredangle AOB$; es un número real en el intervalo$(-\pi, \pi]$.

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Las notaciones$\angle AOB$ y$\measuredangle AOB$ se ven similares; también tienen significados cercanos pero diferentes que mejor no se confunden. Por ejemplo, la igualdad$\angle AOB = \angle A'O'B'$ significa eso$[OA) = [O'A')$ y$[OB) = [O'B')$; en particular,$O = O'$. Por otro lado la igualdad$\measuredangle AOB = \measuredangle A'O'B'$ significa sólo igualdad de dos números reales; en este caso$O$ puede ser distinto de$O'$.

Aquí está la primera propiedad de la medida del ángulo que pasará a formar parte del axioma.

Dada una media línea$[OA)$ y$\alpha \in (-\pi, \pi]$ hay una media línea única$[OB)$ tal que$\measuredangle AOB = \alpha$.