1.8: Reales módulo 2π

Considere tres medias líneas a partir del mismo punto,$[OA)$,$[OB)$, y$[OC)$. Hacen tres ángulos$AOB$,$BOC$, y$AOC$, así el valor$\measuredangle AOC$ debe coincidir con la suma$\measuredangle AOB + \measuredangle BOC$ hasta la rotación completa. Esta propiedad se expresará por la fórmula

$$\measuredangle AOB + \measuredangle BOC \equiv \measuredangle AOC,$$

donde "$\equiv$" es una nueva notación que estamos a punto de introducir. La última identidad pasará a formar parte de los axiomas.

Escribiremos$\alpha \equiv \beta$ (mod$2 \cdot \pi$), o brevemente

$$\alpha \equiv \beta$$

si$\alpha = \beta + 2 \cdot \pi \cdot n$ para algún entero$n$. En este caso decimos

“$\alpha$es igual a$\beta$ módulo$2 \cdot \pi$”.

Por ejemplo

$-\pi \equiv \pi \equiv 3 \cdot \pi$y$\dfrac{1}{2} \cdot \pi \equiv -\dfrac{3}{2} \cdot \pi$.

La relación introducida "$\equiv$" se comporta como un signo de igualdad, pero

$\cdots \equiv \alpha - 2\cdot \pi \cdots \alpha \cdots \alpha + 2 \cdot \pi \equiv \alpha + 4 \cdot \pi \equiv \cdots$;

es decir, si las medidas de ángulo difieren por giro completo, entonces se consideran iguales.

Con "$\equiv$“, podemos hacer suma, resta y multiplicación con números enteros sin meternos en problemas. Es decir, si

$\alpha \equiv \beta$y$\alpha' \equiv \beta'$,

entonces

$\alpha + \alpha' \equiv \beta + \beta'$,$\alpha - \alpha' \equiv \beta - \beta'$ y$n \cdot \alpha \equiv n \cdot \beta$

para cualquier entero$n$. Pero "$\equiv$" no respeta en general la multiplicación con números no enteros; por ejemplo

$\pi \equiv -\pi$pero$\dfrac{1}{2} \cdot \pi \not \equiv -\dfrac{1}{2} \cdot \pi$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Demostrar que$2 \cdot \alpha \equiv 0$ si y sólo si$\alpha \equiv 0$ o$\alpha \equiv \pi$.

Pista

La cuación$2 \cdot \alpha \equiv 0$ significa que$2 \cdot \alpha = 2 \cdot k \cdot \pi$ para algún entero$k$. Por lo tanto,$a = k\cdot \pi$ para algún entero$k$.

Equivalentemente,$\alpha = 2 \cdot n \cdot \pi$ o$\alpha = (2 \cdot n + 1) \cdot \pi$ para algún entero$n$. La primera identidad significa eso$\alpha \equiv 0$ y la segunda significa eso$\alpha \equiv \pi$.