1.8: Reales módulo 2π

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Considere tres medias líneas a partir del mismo punto,\([OA)\),\([OB)\), y\([OC)\). Hacen tres ángulos\(AOB\),\(BOC\), y\(AOC\), así el valor\(\measuredangle AOC\) debe coincidir con la suma\(\measuredangle AOB + \measuredangle BOC\) hasta la rotación completa. Esta propiedad se expresará por la fórmula

\[\measuredangle AOB + \measuredangle BOC \equiv \measuredangle AOC,\]

donde "\(\equiv\)" es una nueva notación que estamos a punto de introducir. La última identidad pasará a formar parte de los axiomas.

Escribiremos\(\alpha \equiv \beta\) (mod\(2 \cdot \pi\)), o brevemente

\[\alpha \equiv \beta\]

si\(\alpha = \beta + 2 \cdot \pi \cdot n\) para algún entero\(n\). En este caso decimos

“\(\alpha\)es igual a\(\beta\) módulo\(2 \cdot \pi\)”.

Por ejemplo

\(-\pi \equiv \pi \equiv 3 \cdot \pi\)y\(\dfrac{1}{2} \cdot \pi \equiv -\dfrac{3}{2} \cdot \pi\).

La relación introducida "\(\equiv\)" se comporta como un signo de igualdad, pero

\(\cdots \equiv \alpha - 2\cdot \pi \cdots \alpha \cdots \alpha + 2 \cdot \pi \equiv \alpha + 4 \cdot \pi \equiv \cdots\);

es decir, si las medidas de ángulo difieren por giro completo, entonces se consideran iguales.

Con "\(\equiv\)“, podemos hacer suma, resta y multiplicación con números enteros sin meternos en problemas. Es decir, si

\(\alpha \equiv \beta\)y\(\alpha' \equiv \beta'\),

entonces

\(\alpha + \alpha' \equiv \beta + \beta'\),\(\alpha - \alpha' \equiv \beta - \beta'\) y\(n \cdot \alpha \equiv n \cdot \beta\)

para cualquier entero\(n\). Pero "\(\equiv\)" no respeta en general la multiplicación con números no enteros; por ejemplo

\(\pi \equiv -\pi\)pero\(\dfrac{1}{2} \cdot \pi \not \equiv -\dfrac{1}{2} \cdot \pi\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que\(2 \cdot \alpha \equiv 0\) si y sólo si\(\alpha \equiv 0\) o\(\alpha \equiv \pi\).

Pista

La cuación\(2 \cdot \alpha \equiv 0\) significa que\(2 \cdot \alpha = 2 \cdot k \cdot \pi\) para algún entero\(k\). Por lo tanto,\(a = k\cdot \pi\) para algún entero\(k\).

Equivalentemente,\(\alpha = 2 \cdot n \cdot \pi\) o\(\alpha = (2 \cdot n + 1) \cdot \pi\) para algún entero\(n\). La primera identidad significa eso\(\alpha \equiv 0\) y la segunda significa eso\(\alpha \equiv \pi\).