3.1: Signo de un ángulo

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Los ángulos positivo y negativo se pueden visualizar en sentido antihorario y en sentido horario; formalmente, se definen de la siguiente manera:

El ángulo\(AOB\) se llama positivo si\(0 < \measuredangle AOB < \pi\);
El ángulo\(AOB\) se llama negativo si\(\measuredangle AOB < 0\).

Obsérvese que de acuerdo con las definiciones anteriores el ángulo recto así como el ángulo cero no son ni positivos ni negativos.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Zapato que\(\angle AOB\) es positivo si y solo si\(\angle BOA\) es negativo.

Pista: Establecer\(\alpha = \measuredangle AOB\) y\(\beta = \measuredangle BOA\). Tenga en cuenta que\(\alpha = \pi\) si y solo si\(\beta = \pi\). De lo contrario\(\alpha = -\beta\). De ahí el resultado.

Lema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(\angle AOB\) ser recto. Entonces\(\angle AOX\) es positivo si y sólo si\(\angle BOX\) es negativo.

Prueba

Establecer\(\alpha = \measuredangle AOX\) y\(\beta = \measuredangle BOX\). Dado que\(\angle AOB\) es recto,

\[\alpha - \beta \equiv \pi.\]

De ello se deduce que\(\alpha = \pi \Leftrightarrow \beta = 0\) y\(\alpha = 0 \Leftrightarrow \beta = \pi\). En estos dos casos el signo de\(\angle AOX\) y\(\angle BOX\) son indefinidos.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que los ángulos\(ABC\) y\(A'B'C'\) tienen el mismo signo y

\(2 \cdot \measuredangle ABC \equiv 2 \cdot \measuredangle A'B'C'.\)

\(\measuredangle ABC = \measuredangle A'B'C'\)Demuéstralo.

Pista

Establecer\(\alpha = \measuredangle ABC\),\(\beta = \measuredangle A'B'C'\). Ya que\(2 \cdot \alpha \equiv 2 \cdot \beta\), Ejercicio 1.8.1 implica que\(\alpha \equiv \beta\) o\(\alpha \equiv \beta + \pi\). En este último caso los ángulos tienen signos opuestos lo cual es imposible.

Ya que\(\alpha, \beta \in (-\pi, \pi]\), la igualdad\(\alpha \equiv \beta\) implica\(\alpha = \beta\).