3.2: Teorema del Valor Intermedio

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Teorema$\PageIndex{1}$ Intermediate value theorem

Dejar$f: [a, b] \to \mathbb{R}$ ser una función continua. Asumir$f(a)$ y$f(b)$ tener signos opuestos, entonces$f(t_0) = 0$ para algunos$t_0 \in [a,b]$.

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Se supone que el teorema del valor intermedio es conocido; debe ser cubierto en cualquier curso de cálculo. Usaremos solo el siguiente corolario:

Corolario$\PageIndex{1}$

Supongamos que para cualquiera$t \in [0, 1]$ tenemos tres puntos en el plano$O_t$,$A_t$, y$B_t$, tal que

Cada función$t \mapsto O_t$,$t \mapsto A_t$, y$t \mapsto B_t$ es continua.
Para cualquiera$t \in [0, 1]$, los puntos$O_t, A_t$, y$B_t$ no se encuentran en una línea. Entonces$\angle A_0 O_0 B_0$ y$\angle A_1 O_1 B_1$ tener la misma señal.

Prueba

Considera la función$f(t) = \measuredangle A_tO_tB_t$.

Dado que los puntos$O_t, A_t$, y$B_t$ no se alinean en una línea, el Teorema 2.4.1 implica que$f(t) = \measuredangle A_tO_tB_t \ne 0$ ni$\pi$ para ninguna$t \in [0, 1]$.

Por lo tanto, por Axioma IIIc y Ejercicio 1.9.2,$f$ es una función continua. Por el teorema del valor intermedio,$f(0)$ y$f(1)$ tienen el mismo signo; de ahí sigue el resultado.