4.3: Triángulos de isóselas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 114617

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Un triángulo con dos lados iguales se llama isósceles; el lado restante se llama base.

Teorema$\PageIndex{1}$

Supongamos que$\triangle ABC$ es un triángulo isósceles con la base$[AB]$. Entonces

$\measuredangle ABC \equiv - \measuredangle BAC.$

Además, lo contrario se mantiene si no$\triangle ABC$ es degenerado.

La siguiente prueba se debe a Pappus de Alejandría.

Prueba

$2021-02-03 10.59.25.png$

Tenga en cuenta que

$CA = CB$,$CB = CA$,$\measuredangle ACB \equiv -\measuredangle BCA$.

Por Axioma IV,

$\triangle CAB \cong \triangle CBA.$

Aplicando el teorema sobre los signos de ángulos de triángulos (Teorema 3.3.1) Y Axioma IV de nuevo, obtenemos que

$\measuredangle BAC \equiv -\measuredangle ABC.$

Para probar lo contrario, asumimos eso$\measuredangle CAB \equiv - \measuredangle CBA$. Por condición ASA (Teorema 4.2.1),$\triangle CAB \cong \triangle CBA$. Por lo tanto,$CA = CB$.

Un triángulo con tres lados iguales se llama equilátero.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dejar$\triangle ABC$ ser un triángulo equilátero. Demostrar que

$\measuredangle ABC = \measuredangle BCA = \measuredangle CAB.$

Sugerencia: Aplicar Teorema 4.3.1 dos veces