5.3: Unicidad de una perpendicular

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Teorema$\PageIndex{1}$

Hay una y sólo una línea que pasa a través de un punto dado$P$ y es perpendicular a una línea dada$\ell$.

Según el teorema anterior, hay un punto único$Q \in \ell$ tal que$(QP) \perp \ell$. A este punto$Q$ se le llama el punto del pie de$P$ on$\ell$.

Prueba

Si$P \in \ell$, entonces tanto la existencia como la singularidad siguen de Axioma III.

$2021-02-04 9.20.39.png$

Existencia para$P \not\in \ell$. Dejar$A$ y$B$ ser dos puntos distintos de$\ell$. Elige$P'$ para que$AP' = AP$ y$\meauredangle BAP' \equiv - \measuredangle BAP$. Según Axioma IV,$\triangle AP'B \cong \triangle APB$. En particular,$AP = AP'$ y$BP = BP'$.

Según el Teorema 5.2.1,$A$ y se$B$ encuentran sobre la bisectriz perpendicular a$[PP']$. En particular,$(PP') \perp (AB) = \ell$.

Singularidad para$P \not\in \ell$. Desde arriba podemos elegir un punto de tal$P'$ manera que$\ell$ forme la bisectriz perpendicular a$[PP']$.

$2021-02-04 9.28.00.png$

Asumir$m \perp \ell$ y$P \in m$. Entonces$m$ es una bisectriz perpendicular a algún segmento$[QQ']$ de$\ell$; en particular,$PQ = PQ'$.

Ya que$\ell$ es la bisectriz perpendicular a$[PP']$, obtenemos eso$PQ = P'Q$ y$PQ' = P'Q'$. Por lo tanto,

$P'Q = PQ = PQ' = P'Q'$.

Por Teorema 5.2.1,$P'$ se encuentra sobre la bisectriz perpendicular a$[QQ']$, que es$m$. Por Axioma II,$m = (PP')$.