5.2: Bisectriz perpendicular

Supongamos que$M$ es el punto medio del segmento$[AB]$; es decir,$M \in (AB)$ y$AM = MB$.

La línea$\ell$ que pasa a través$M$ y perpendicular a$(AB)$, se llama la bisectriz perpendicular al segmento$[AB]$.

Teorema$\PageIndex{1}$

Dados distintos puntos$A$ y$B$, todos los puntos equidistantes de$A$$B$ y no otros se encuentran en la bisectriz perpendicular a$[AB]$.

Prueba

Dejar$M$ ser el punto medio de$[AB]$.

Asumir$PA = PB$ y$P \ne M$. Según SSS (Teorema 4.4.1),$\triangle AMP \cong \triangle BMP$. De ahí

$\measuredangle AMP = \pm \measuredangle BMP.$

Ya que$A \ne B$, tenemos “-” en la fórmula anterior. Además,

$$\begin{array} {rcl} {\pi} & = & {\measuredangle AMB \equiv} \\ {} & \equiv & {\measuredangle AMP + \measuredangle PMB \equiv} \\ {} & \equiv & {2 \cdot \measuredangle AMP.} \end{array}$$

Es decir,$\measuredangle AMP = \pm \dfrac{\pi}{2}$. Por lo tanto,$P$ se encuentra en la bisectriz perpendicular.

Para probar lo contrario, supongamos que$P$ es cualquier punto en la bisectriz perpendicular a$[AB]$ y$P \ne M$. Entonces$\measuredangle AMP = \pm \dfrac{\pi}{2}$,$\measuredangle BMP = \pm \dfrac{\pi}{2}$ y$AM = BM$. Por SAS,$\triangle AMP \cong \triangle BMP$; en particular,$AP = BP$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dejar$\ell$ ser la bisectriz perpendicular al segmento$[AB]$ y$X$ ser un punto arbitrario en el plano.

Demostrar que$AX < BX$ si y sólo si$X$ y$A$ se encuentran en el mismo lado de$\ell$.

Pista

Asumir$X$ y$A$ acostarse del mismo lado de$\ell$.

Tenga en cuenta que$A$ y$B$ se encuentran en el lado opuesto de$\ell$. Por lo tanto, por Corolario 3.4.1,$[AX]$ no se cruza$\ell$ y se$[BX]$ cruza$\ell$; supongamos que$Y$ denota el punto de intersección.

Tenga en cuenta que$BX = AY + YX \ge AX$. Ya que$X \not\in \ell$, por Teorema$\PageIndex{1}$ tenemos$BX \ne BA$. Por lo tanto$BX > AX$.

De esta manera probamos la parte del “si”. Para probar la parte de “sólo si”, es necesario cambiar$A$$B$ y repetir el argumento anterior.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Dejar$ABC$ ser un triángulo no degenerado. Demostrar que

$AC > BC \Leftrightarrow |\measuredangle ABC| > |\measuredangle CAB|.$

Pista

Aplicar Ejercicio$\PageIndex{1}$, Teorema 4.2.1 y Ejercicio 3.1.2.