5.2: Bisectriz perpendicular
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La línea\(\ell\) que pasa a través\(M\) y perpendicular a\((AB)\), se llama la bisectriz perpendicular al segmento\([AB]\).
Dados distintos puntos\(A\) y\(B\), todos los puntos equidistantes de\(A\)\(B\) y no otros se encuentran en la bisectriz perpendicular a\([AB]\).
- Prueba
-
Dejar\(M\) ser el punto medio de\([AB]\).
Asumir\(PA = PB\) y\(P \ne M\). Según SSS (Teorema 4.4.1),\(\triangle AMP \cong \triangle BMP\). De ahí
\(\measuredangle AMP = \pm \measuredangle BMP.\)
Ya que\(A \ne B\), tenemos “-” en la fórmula anterior. Además,
\[\begin{array} {rcl} {\pi} & = & {\measuredangle AMB \equiv} \\ {} & \equiv & {\measuredangle AMP + \measuredangle PMB \equiv} \\ {} & \equiv & {2 \cdot \measuredangle AMP.} \end{array}\]
Es decir,\(\measuredangle AMP = \pm \dfrac{\pi}{2}\). Por lo tanto,\(P\) se encuentra en la bisectriz perpendicular.
Para probar lo contrario, supongamos que\(P\) es cualquier punto en la bisectriz perpendicular a\([AB]\) y\(P \ne M\). Entonces\(\measuredangle AMP = \pm \dfrac{\pi}{2}\),\(\measuredangle BMP = \pm \dfrac{\pi}{2}\) y\(AM = BM\). Por SAS,\(\triangle AMP \cong \triangle BMP\); en particular,\(AP = BP\).
Dejar\(\ell\) ser la bisectriz perpendicular al segmento\([AB]\) y\(X\) ser un punto arbitrario en el plano.
Demostrar que\(AX < BX\) si y sólo si\(X\) y\(A\) se encuentran en el mismo lado de\(\ell\).
- Pista
-
Asumir\(X\) y\(A\) acostarse del mismo lado de\(\ell\).
Tenga en cuenta que\(A\) y\(B\) se encuentran en el lado opuesto de\(\ell\). Por lo tanto, por Corolario 3.4.1,\([AX]\) no se cruza\(\ell\) y se\([BX]\) cruza\(\ell\); supongamos que\(Y\) denota el punto de intersección.
Tenga en cuenta que\(BX = AY + YX \ge AX\). Ya que\(X \not\in \ell\), por Teorema\(\PageIndex{1}\) tenemos\(BX \ne BA\). Por lo tanto\(BX > AX\).
De esta manera probamos la parte del “si”. Para probar la parte de “sólo si”, es necesario cambiar\(A\)\(B\) y repetir el argumento anterior.
Dejar\(ABC\) ser un triángulo no degenerado. Demostrar que
\(AC > BC \Leftrightarrow |\measuredangle ABC| > |\measuredangle CAB|.\)
- Pista
-
Aplicar Ejercicio\(\PageIndex{1}\), Teorema 4.2.1 y Ejercicio 3.1.2.