11.3: Tres ángulos de triángulo
- Page ID
- 114340
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Dejar\(\triangle ABC\) y\(\triangle A'B'C'\) ser dos triángulos en el plano neutro tal que\(AC = A'C'\) y\(BC = B'C'\). Entonces
\(AB < A'B'\)si y sólo si\(|\measuredangle ACB| < |\measuredangle A'C'B'|\).
- Prueba
-
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que\(A = A'\),\(C = C'\), y\(\measuredangle ACB\),\(\measuredangle ACB' \ge 0\). En este caso tenemos que demostrar que
\(AB < AB' \Leftrightarrow \measuredangle ACB < \measuredangle ACB'.\)
Elige un punto\(X\) para que
\(\measuredangle ACX = \dfrac{1}{2} \cdot (\measuredangle ACB + \measuredangle ACB').\)
Tenga en cuenta que
- \((CX)\)bisectos\(\angle BCB'\).
- \((CX)\)es la bisectriz perpendicular de\([BB']\).
- \(A\)y\(B\) se encuentran en el mismo lado de\((CX)\) si y solo si
\(\measuredangle ACB < \measuredangle ACB'\).
Del Ejercicio 5.2.1,\(A\) y\(B\) acostarse del mismo lado de\((CX)\) si y solo si\(AB < AB'\). De ahí el resultado.
Dejar\(\triangle ABC\) ser un triángulo en el plano neutro. Entonces
\(|\measuredangle ABC| + |\measuredangle BCA| + |\measuredangle CAB| \le \pi.\)
La siguiente prueba se debe a Legendre [12], las pruebas de los ganadores se debieron a Saccheri [16] y Lambert [11].
- Prueba
-
Set
\(\begin{array} {rclcrclcrcl} {a} & = & {BC,} & \ \ \ \ \ & {b} & = & {CA,} & \ \ \ \ \ & {c} & = & {AB,} \\ {\alpha} & = & {\measuredangle CAB,} & \ \ \ \ \ & {\beta} & = & {\measuredangle ABC,} & \ \ \ \ \ & {\gamma} & = & {\measuredangle BCA.} \end{array}\)
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer eso\(\alpha, \beta, \gamma \ge 0\).
Arreglar un entero positivo\(n\). Considera los puntos\(A_0, A_1, ..., A_n\) en la media línea\([BA)\), tal que\(BA_i = i \cdot c\) para cada uno\(i\). (En particular,\(A_0 = B\) y\(A_1 = A\).) Construyamos los puntos\(C_1, C_2, ..., C_n\), para eso\(\measuredangle A_iA_{i-1}C_i = \beta\) y\(A_{i-1} C_i = a\) para cada uno\(i\).
Por SAS, hemos construido n triángulos congruentes
\(\triangle ABC = \triangle A_1A_0C_1 \cong \triangle A_2A_1C_2 \cong ... \cong \triangle A_nA_{n-1} C_n.\)
Establecer\(d = C_1C_2\) y\(\delta = \measuredangle C_2A_1C_1\). Tenga en cuenta que
\[\alpha + \beta + \delta = \pi.\]
Por la Proposición 11.2.1, lo conseguimos\(\Delta \ge 0\).
Por construcción
\(\triangle A_1C_1C_2 \cong \triangle A_2C_2C_3 \cong ... \cong \triangle A_{n - 1} C_{n - 1} C_n.\)
En particular,\(C_i C_{i + 1} = d\) para cada uno\(i\).
Por la aplicación repetida de la desigualdad triangular, obtenemos que
\(\begin{array} {rcl} {n \cdot c} & = & {A_0A_n \le} \\ {} & \le & {A_0 C_1 + C_1 C_2 + \cdots + C_{n - 1} C_n + C_n A_n =} \\ {} & = & {a + (n - 1) \cdot d + b.} \end{array}\)
En particular,
\(c \le d + \dfrac{1}{n} \cdot (a + b - d).\)
Dado que\(n\) es un entero positivo arbitrario, este último implica\(c \le d\). Por Proposición\(\PageIndex{1}\), es equivalente a
\(\gamma \le \delta.\)
A partir del 11.3.1, sigue el teorema.
Dejar\(ABCD\) ser un cuadriángulo en el plano neutro. Supongamos que los ángulos\(DAB\) y\(ABC\) son correctos. \(AB \le CD\)Demuéstralo.
- Pista
-
Set\(a = AB, b = BC, c = CD\), y\(d = DA\); nned para mostrar eso\(c \ge a\).
Imita la prueba de Teorema\(\PageIndex{1}\) para la barda mostrada hecha a partir de copias de cuadriángulo\(ABCD\).