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LibreTexts Español

11.4: Defecto

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

El defecto del triánguloABC se define como

defect(ABC):=π|ABC||BCA||CAB|.

Obsérvese que el Teorema 11.3.1 establece que el defecto de cualquier triángulo en un plano neutro tiene que ser no negativo. Según el Teorema 7.4.1, cualquier triángulo en el plano euclidiano tiene defecto cero.

Ejercicio11.4.1

DejarABC ser un triángulo no degenerado en el plano neutro. AsumirD mentiras entreA yB. Demostrar que

defect(ABC)=defect(ADC)+defect(DBC).

2021-02-23 10.49.18.png

Pista

Tenga en cuenta que|ADC|+|CDB|=π. A continuación, aplicar la definición del defecto.

Ejercicio11.4.2

DejarABC ser un triángulo no degenerado en el plano neutro. Supongamos queX es el reflejo deC a través del punto medioM de[AB]. Demostrar que

defect(ABC)=defect(AXC).

2021-02-23 10.50.45.png

Pista

AMXBMCDemuéstralo. Aplicar Ejercicio11.4.1 aABC yAXC.

Ejercicio11.4.3

Supongamos queABCD es un rectángulo en un plano neutro; es decir,ABCD es un cuadriángulo con todos los ángulos rectos. AB=CDDemuéstralo.

Pista

2021-02-23 10.55.37.png

BDemuéstralo yD acuéstate en los lados opuestos de(AC). Concluir que

defect(ABC)+defect(CDA)=0.

Aplicar Teorema11.4.1 para demostrar que

defect(ABC)=defect(CDA=0

Úselo para mostrar eso\meauredangleCAB=ACD yACB=CAD. Por ASA,ABCCDA, y, en particular,AB=CD.

(Alternativamente, puede aplicar el Ejercicio 11.3.1)

Ejercicio Avanzado11.4.4

Mostrar que si un plano neutro tiene un rectángulo, entonces todos sus triángulos tienen defecto cero.


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