11.4: Defecto
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
El defecto del triángulo△ABC se define como
defect(△ABC):=π−|∡ABC|−|∡BCA|−|∡CAB|.
Obsérvese que el Teorema 11.3.1 establece que el defecto de cualquier triángulo en un plano neutro tiene que ser no negativo. Según el Teorema 7.4.1, cualquier triángulo en el plano euclidiano tiene defecto cero.
Dejar△ABC ser un triángulo no degenerado en el plano neutro. AsumirD mentiras entreA yB. Demostrar que
defect(△ABC)=defect(△ADC)+defect(△DBC).
- Pista
-
Tenga en cuenta que|∡ADC|+|∡CDB|=π. A continuación, aplicar la definición del defecto.
DejarABC ser un triángulo no degenerado en el plano neutro. Supongamos queX es el reflejo deC a través del punto medioM de[AB]. Demostrar que
defect(△ABC)=defect(△AXC).
- Pista
-
△AMX≅△BMCDemuéstralo. Aplicar Ejercicio11.4.1 a△ABC y△AXC.
Supongamos queABCD es un rectángulo en un plano neutro; es decir,ABCD es un cuadriángulo con todos los ángulos rectos. AB=CDDemuéstralo.
- Pista
-
BDemuéstralo yD acuéstate en los lados opuestos de(AC). Concluir que
defect(△ABC)+defect(△CDA)=0.
Aplicar Teorema11.4.1 para demostrar que
defect(△ABC)=defect(△CDA=0
Úselo para mostrar eso\meauredangleCAB=∡ACD y∡ACB=∡CAD. Por ASA,△ABC≅△CDA, y, en particular,AB=CD.
(Alternativamente, puede aplicar el Ejercicio 11.3.1)
Mostrar que si un plano neutro tiene un rectángulo, entonces todos sus triángulos tienen defecto cero.