11.5: Cómo probar que algo no se puede probar
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Se hicieron muchos intentos para demostrar que cualquier teorema en la geometría euclidiana se mantiene en geometría neutra. Este último equivale a la afirmación de que el Axioma V es un teorema en geometría neutra.
Algunos de estos intentos fueron aceptados como prueba por largos periodos de tiempo, hasta que se encontró un error.
Hay una serie de enunciados en geometría neutra que son equivalentes al Axioma V. Significa que si intercambiamos el Axioma V por alguno de estos enunciados, entonces obtendremos un sistema axiomático equivalente.
El siguiente teorema proporciona una breve lista de tales declaraciones. No lo vamos a demostrar en el libro.
Un plano neutro es euclidiano si y solo si se mantiene una de las siguientes condiciones equivalentes:
(a) Hay una línea\(\ell\) y un punto\(P \not\in \ell\) tal que sólo hay una línea que pasa a través\(P\) y paralela a\(\ell\).
(b) Todo triángulo no degenerado puede ser circunscrito.
(c) Existe un par de líneas distintas que se encuentran a una distancia delimitada entre sí.
d) Hay un triángulo con un inradio arbitrariamente grande.
(e) Hay un triángulo no degenerado con defecto cero.
(f) Existe un cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos.
Es difícil imaginar un plano neutro que no satisfaga algunas de las propiedades anteriores. Esa es en parte la razón del gran número de pruebas falsas; cada una utilizó una de tales declaraciones por accidente.
Formulemos la negación de (a) anterior como un nuevo axioma; lo etiquetamos H-v como una versión hiperbólica del Axioma V.
Para cualquier línea\(\ell\) y cualquier punto\(P \not\in \ell\) hay al menos dos líneas que pasan a través\(P\) y paralelas a\(\ell\).
Por Teorema 7.1.1, un plano neutro que satisface el Axioma H-v no es euclidiano. Además, según el Teorema\(\PageIndex{1}\) (que no probamos) en ningún plano neutro no euclídeo, el Axioma H-v sostiene.
Abre una manera de buscar una prueba por contradicción. Simplemente intercambia Axioma V a Axioma H-v y comienza a probar teoremas en el sistema ax- iomático obtenido. En el caso si llegamos a una contradicción, probamos el Axioma V en un plano neutro. Esta idea fue creciendo desde el siglo V; los resultados más notables los obtuvo Saccheri en [16].
El sistema de axiomas I-IV y H-v define una nueva geometría que ahora se llama geometría hiperbólica o lobachevskiana. Cuanto más se desarrollaba este geoma-intento, se hacía cada vez más creíble que no hay contradicción; es decir, el sistema de axiomas I-IV, y H-v es consistente. De hecho, el siguiente teorema es cierto:
La geometría hiperbólica es consistente si y sólo si es así es la geometría euclidiana.
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Las afirmaciones de que la geometría hiperbólica no tiene contradicción se pueden encontrar en letras privadas de Gauss, Schweikart y Taurinus. (Las cartas más antiguas que sobrevivieron fueron la carta de Gauss a Gerling en 1816 y aún más convincente carta fechada en 1818 de Schweikart enviada a Gauss vía Gerling.) Todos parecen tener miedo de decirlo en público. Por ejemplo, en 1818 Gauss escribe a Gerling:
... Estoy feliz de que tengas el coraje de expresarte como si reconocieras la posibilidad de que nuestra teoría de paralelismos junto con toda nuestra geometría pudiera ser falsa. Pero las avispas cuyo nido molestes volarán alrededor de tu cabeza.
Lobachevsky llegó a la misma conclusión de forma independiente. A diferencia de los demás, tuvo el coraje de manifestarlo en público y en forma impresa (ver [13]). Eso le costó serios problemas. Un par de años después, también de manera independiente, Bolyai publicó su obra (ver [6]).
Parece que Lobachevsky fue el primero que tuvo una prueba de Teorema\(\PageIndex{2}\) aunque su formulación requirió axiomáticos rigurosos que no fueron desarrollados en su momento. Posteriormente, Beltrami dio una prueba más limpia de la parte “si” del teorema. Se realizó modelando puntos, líneas, distancias y medidas de ángulo de una geometría usando algunos otros objetos en otra geometría. La misma idea fue utilizada anteriormente por Lobachevsky; en [14, §34] modeló el plano euclidiano en el espacio hiperbólico.
La prueba de Beltrami es el tema del siguiente capítulo.