12.9: Trigonometría hiperbólica

En esta sección damos fórmulas para h-distancia usando funciones hiperbólicas. Una de estas fórmulas se utilizará en la prueba del teorema hiperbólico de Pitágoras (Teorema 13.6.1).

Recordemos que$\cosh$$\sinh$, y$\tanh$ denotan coseno hiperbólico, seno hiperbólico y tangente hiperbólica; es decir, las funciones definidas por

$\cosh x := \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$,$\sinh x := \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$,

$\tanh x := \dfrac{\sinh x}{\cosh x}.$

Estas funciones hiperbólicas son análogas a seno y coseno y tangente.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Demostrar las siguientes identidades:

$\cosh' x=\sinh x$;$\sinh'x=\cosh x$;$(\cosh x)^2-(\sinh x)^2=1.$

Teorema$\PageIndex{1}$ Double-argument identities

Las identidades

$\cosh (2 \cdot x) = (\cosh x)^2 + (\sinh x)^2$y$\sinh (2 \cdot x) = 2 \cdot \sinh x \cdot \cosh x$

mantener por cualquier valor real$x$.

Prueba

$\begin{array} {rcl} {(\sinh x)^2 + (\cosh x)^2} & = & {(\dfrac{e^x - e^{-x}}{2})^2 + (\dfrac{e^x + e^{-x}}{2})^2 =} \\ {} & = & {\dfrac{e^{2 \cdot x} + e^{-2 \cdot x}}{2} =} \\ {} & = & {\cosh (2 \cdot x);} \end{array}$

$\begin{array} {rcl} {2 \cdot \sinh x \cdot cosh x} & = & {2 \cdot (\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}) \cdot (\dfrac{e^x + e^{-x}}{2})} \\ {} & = & {\dfrac{e^{2 \cdot x} - e^{-2 \cdot x}}{2}} \\ {} & = & {\cosh (2 \cdot x).} \end{array}$

Ejercicio Avanzado$\PageIndex{2}$

Dejar$P$ y$Q$ ser dos h-poins distintos del centro de absoluto. Denotar por$P'$ y$Q'$ las inversas de$P$ y$Q$ en lo absoluto.

(a)$\cosh [\dfrac{1}{2} \cdot PQ_h] = \sqrt{\dfrac{PQ' \cdot P'Q}{PP' \cdot QQ'}};$

b)$\sinh [\dfrac{1}{2} \cdot PQ_h] = \sqrt{\dfrac{PQ \cdot P'Q'}{PP' \cdot QQ'}};$

c)$\tanh [\dfrac{1}{2} \cdot PQ_h] = \sqrt{\dfrac{PQ \cdot P'Q'}{PQ' \cdot P'Q}};$

d)$\cosh PQ_h = \dfrac{PQ \cdot P'Q' + PQ' \cdot P'Q}{PP' \cdot QQ'}$.

Insinuación

Por Corolario 10.6.1 y Teorema 10.2.1, los lados derechos en las identidades sobreviven bajo una inversión en un círculo perpendicular a lo absoluto.

Como de costumbre suponemos que el absoluto es un círculo unitario. Supongamos que$O$ denota el punto medio h de$[PQ]_h$. Por la observación principal (Teorema 12.3.1) podemos suponer que$O$ es el centro de lo absoluto. En este caso también$O$ es el punto medio euclidiano de$[P Q]$. (En cambio, podemos movernos$Q$ al centro de lo absoluto. En este caso las derivaciones son más sencillas. Pero desde entonces$Q'Q = Q'P = QP = \infty$, uno tiene que justificar eso$\dfrac{\infty}{\infty} = 1$ cada vez.)

Set$a = OP = OQ$; en este caso tenemos

$\begin{array} {rcl} {PQ} & = & {2 \cdot a,} \\ {P'Q'} & = & {2 \cdot \dfrac{1}{a},} \end{array}$$\begin{array} {l} {PP' = QQ' = \dfrac{1}{a} - a,} \\ {PQ' = QP' = \dfrac{1}{a} + a.} \end{array}$

y

$PQ_h = \ln \dfrac{(1 + a)^2}{(1 - a)^2} = 2 \cdot \ln \dfrac{1 + a}{1 - a}.$

Por lo tanto

$\begin{array} {rcl} {\cosh [\dfrac{1}{2} \cdot PQ_h]} & = & {\dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{1 + a}{1 - a} + \dfrac{1 - a}{1 + a})=} \\ {} & = & {\dfrac{1 + a^2}{1 - a^2};} \end{array}$$\begin{array} {rcl} {\sqrt{\dfrac{PQ' \cdot P'Q}{PP' \cdot QQ'}}} & = & {\dfrac{\dfrac{1}{a} + a}{\dfrac{1}{a} - a} =} \\ {} & = & {\dfrac{1 + a^2}{1 - a^2}.} \end{array}$

De ahí que siga la parte a). Del mismo modo,

$\begin{array} {rcl} {\sinh [\dfrac{1}{2} \cdot PQ_h]} & = & {\dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{1 + a}{1 - a} - \dfrac{1 - a}{1 + a}) =} \\ {} & = & {\dfrac{2 \cdot a}{1 - a^2};} \end{array}$$\begin{array} {rcl} {\sqrt{\dfrac{PQ \cdot P'Q'}{PP' \cdot QQ'}}} & = & {\dfrac{2}{\dfrac{1}{a} - a} =} \\ {} & = & {\dfrac{2 \cdot a}{1 - a^2}.} \end{array}$

De ahí que siga la parte b).

Las partes (c) y (d) siguen de (a), (b), la definición de tangente hiperbólica, y la identidad de doble argumento para el coseno hiperbólico, ver Teorema$\PageIndex{1}$.