12.9: Trigonometría hiperbólica
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En esta sección damos fórmulas para h-distancia usando funciones hiperbólicas. Una de estas fórmulas se utilizará en la prueba del teorema hiperbólico de Pitágoras (Teorema 13.6.1).
Recordemos quecoshsinh, ytanh denotan coseno hiperbólico, seno hiperbólico y tangente hiperbólica; es decir, las funciones definidas por
coshx:=ex+e−x2,sinhx:=ex−e−x2,
tanhx:=sinhxcoshx.
Estas funciones hiperbólicas son análogas a seno y coseno y tangente.
Demostrar las siguientes identidades:
cosh′x=sinhx;sinh′x=coshx;(coshx)2−(sinhx)2=1.
Las identidades
cosh(2⋅x)=(coshx)2+(sinhx)2ysinh(2⋅x)=2⋅sinhx⋅coshx
mantener por cualquier valor realx.
- Prueba
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(sinhx)2+(coshx)2=(ex−e−x2)2+(ex+e−x2)2==e2⋅x+e−2⋅x2==cosh(2⋅x);
2⋅sinhx⋅coshx=2⋅(ex−e−x2)⋅(ex+e−x2)=e2⋅x−e−2⋅x2=cosh(2⋅x).
DejarP yQ ser dos h-poins distintos del centro de absoluto. Denotar porP′ yQ′ las inversas deP yQ en lo absoluto.
(a)cosh[12⋅PQh]=√PQ′⋅P′QPP′⋅QQ′;
b)sinh[12⋅PQh]=√PQ⋅P′Q′PP′⋅QQ′;
c)tanh[12⋅PQh]=√PQ⋅P′Q′PQ′⋅P′Q;
d)coshPQh=PQ⋅P′Q′+PQ′⋅P′QPP′⋅QQ′.
- Insinuación
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Por Corolario 10.6.1 y Teorema 10.2.1, los lados derechos en las identidades sobreviven bajo una inversión en un círculo perpendicular a lo absoluto.
Como de costumbre suponemos que el absoluto es un círculo unitario. Supongamos queO denota el punto medio h de[PQ]h. Por la observación principal (Teorema 12.3.1) podemos suponer queO es el centro de lo absoluto. En este caso tambiénO es el punto medio euclidiano de[PQ]. (En cambio, podemos movernosQ al centro de lo absoluto. En este caso las derivaciones son más sencillas. Pero desde entoncesQ′Q=Q′P=QP=∞, uno tiene que justificar eso∞∞=1 cada vez.)
Seta=OP=OQ; en este caso tenemos
PQ=2⋅a,P′Q′=2⋅1a,PP′=QQ′=1a−a,PQ′=QP′=1a+a.
y
PQh=ln(1+a)2(1−a)2=2⋅ln1+a1−a.
Por lo tanto
cosh[12⋅PQh]=12⋅(1+a1−a+1−a1+a)==1+a21−a2;√PQ′⋅P′QPP′⋅QQ′=1a+a1a−a==1+a21−a2.
De ahí que siga la parte a). Del mismo modo,
sinh[12⋅PQh]=12⋅(1+a1−a−1−a1+a)==2⋅a1−a2;√PQ⋅P′Q′PP′⋅QQ′=21a−a==2⋅a1−a2.
De ahí que siga la parte b).
Las partes (c) y (d) siguen de (a), (b), la definición de tangente hiperbólica, y la identidad de doble argumento para el coseno hiperbólico, ver Teorema12.9.1.
