12.4: Axioma I
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En la siguiente afirmación se dice que la distancia h cumple con las condiciones a) y b)
Dados los puntos h\(P\) y\(Q\), tenemos\(PQ_h \ge 0\) y\(PQ_h=0\) si y solo si\(P=Q\).
- Prueba
-
Según Lema 12.3.1 y la observación principal (Teorema 12.3.1), podemos suponer que\(Q\) es el centro de lo absoluto. En este caso
y por lo tanto
Además, las igualdades se mantienen si y sólo si\(P=Q\).
El siguiente reclamo dice que la distancia h cumple con la condición
Para cualquier h-puntos\(P\) y\(Q\), tenemos\(PQ_h=QP_h\).
- Prueba
-
Dejar\(A\) y\(B\) ser puntos ideales de\((PQ)_h\) y\(A,P,Q,B\) aparecer en la circlina que contiene\((PQ)_h\) en el mismo orden.
Entonces
\(\begin{array} {rcl} {PQ_h} & = & {\ln \dfrac{AQ \cdot BP}{QB \cdot PA} =} \\ {} & = & {=\ln \dfrac{BP \cdot AQ}{PA \cdot QB}=} \\ {} & = & {QP_h} \end{array}\)
La siguiente afirmación muestra, en particular, que la desigualdad del triángulo (que es la Definición 1.3.1d) se mantiene para\(h\) -distancia.
Dado un triple de puntos h\(P\)\(Q\),, y\(R\), tenemos
Además, la igualdad se mantiene si y sólo si\(P\),\(Q\), y\(R\) se encuentran en una línea h en el mismo orden.
- Prueba
-
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que\(P\) es el centro de lo absoluto y\(PQ_h \ge QR_h >0\).
Supongamos que\(\Delta\) denota el círculo h con el centro\(Q\) y el radio h\(\rho=QR_h\). Dejar\(S\) y\(T\) ser los puntos de intersección de\((PQ)\) y\(\Delta\).
Por Lemma 12.3.3,\(PQ_h\z\ge QR_h\). Por lo tanto, podemos suponer que los puntos\(P\)\(S\),\(Q\),, y\(T\) aparecen en la línea h en el mismo orden.
Según Lemma Lemma 12.3.4,\(\Delta\) es un círculo euclidiano; supongamos que eso\(\hat Q\) denota su centro euclidiano. Tenga en cuenta que\(\hat Q\) es el punto medio euclidiano de\([ST]\).
Por la desigualdad del triángulo euclidiano
\[PT = P\hat{Q}+\hat{Q} R \ge PR\]
y la igualdad se mantiene si y sólo si\(T=R\).
Por Lemma Lemma 12.3.2,
\(\begin{array} {l} {PT_h = \ln \dfrac{1 + PT}{1 - PT},} \\ {PR_h = \ln \dfrac{1 + PR}{1 - PR}.} \end{array}\)
Dado que la función\(f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}\) va en aumento para\(x\in[0,1)\), la desigualdad 12.4.1 implica
\(PT_h\ge PR_h\)
y la igualdad se mantiene si y sólo si\(T=R\).
Por último, aplicando de nuevo Lemma 12.3.3, obtenemos que
\(PT_h=PQ_h+QR_h.\)
De ahí que siga el reclamo.