12.4: Axioma I

Evidentemente, el plano h contiene al menos dos puntos. Por lo tanto, para mostrar que el Axioma I se sostiene en el plano h, necesitamos mostrar que la distancia h definida en 12.1 es una métrica en el plano h; es decir, las condiciones (a) - (d) en la Definición 1.3.1 se mantienen para la distancia h.

En la siguiente afirmación se dice que la distancia h cumple con las condiciones a) y b)

Reclamación$\PageIndex{1}$

Dados los puntos h$P$ y$Q$, tenemos$PQ_h \ge 0$ y$PQ_h=0$ si y solo si$P=Q$.

Prueba

Según Lema 12.3.1 y la observación principal (Teorema 12.3.1), podemos suponer que$Q$ es el centro de lo absoluto. En este caso

y por lo tanto

Además, las igualdades se mantienen si y sólo si$P=Q$.

El siguiente reclamo dice que la distancia h cumple con la condición

Reclamación$\PageIndex{2}$

Para cualquier h-puntos$P$ y$Q$, tenemos$PQ_h=QP_h$.

Prueba

Dejar$A$ y$B$ ser puntos ideales de$(PQ)_h$ y$A,P,Q,B$ aparecer en la circlina que contiene$(PQ)_h$ en el mismo orden.

Entonces

$\begin{array} {rcl} {PQ_h} & = & {\ln \dfrac{AQ \cdot BP}{QB \cdot PA} =} \\ {} & = & {=\ln \dfrac{BP \cdot AQ}{PA \cdot QB}=} \\ {} & = & {QP_h} \end{array}$

La siguiente afirmación muestra, en particular, que la desigualdad del triángulo (que es la Definición 1.3.1d) se mantiene para$h$ -distancia.

Reclamación$\PageIndex{3}$

Dado un triple de puntos h$P$$Q$,, y$R$, tenemos

Además, la igualdad se mantiene si y sólo si$P$,$Q$, y$R$ se encuentran en una línea h en el mismo orden.

Prueba

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que$P$ es el centro de lo absoluto y$PQ_h \ge QR_h >0$.

Supongamos que$\Delta$ denota el círculo h con el centro$Q$ y el radio h$\rho=QR_h$. Dejar$S$ y$T$ ser los puntos de intersección de$(PQ)$ y$\Delta$.

Por Lemma 12.3.3,$PQ_h\z\ge QR_h$. Por lo tanto, podemos suponer que los puntos$P$$S$,$Q$,, y$T$ aparecen en la línea h en el mismo orden.

Según Lemma Lemma 12.3.4,$\Delta$ es un círculo euclidiano; supongamos que eso$\hat Q$ denota su centro euclidiano. Tenga en cuenta que$\hat Q$ es el punto medio euclidiano de$[ST]$.

Por la desigualdad del triángulo euclidiano

$$PT = P\hat{Q}+\hat{Q} R \ge PR$$

y la igualdad se mantiene si y sólo si$T=R$.

Por Lemma Lemma 12.3.2,

$\begin{array} {l} {PT_h = \ln \dfrac{1 + PT}{1 - PT},} \\ {PR_h = \ln \dfrac{1 + PR}{1 - PR}.} \end{array}$

Dado que la función$f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}$ va en aumento para$x\in[0,1)$, la desigualdad 12.4.1 implica

$PT_h\ge PR_h$

y la igualdad se mantiene si y sólo si$T=R$.

Por último, aplicando de nuevo Lemma 12.3.3, obtenemos que

$PT_h=PQ_h+QR_h.$

De ahí que siga el reclamo.