12.3: Declaraciones auxiliares
- Page ID
- 114364
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Se puede comparar el modelo conforme con un telescopio, lo que permite ver el plano h desde el plano euclidiano. Continuando con esta analogía más, podemos decir que se utilizará el siguiente lema para apuntar el telescopio a cualquier punto particular del plano h.
Considera un plano h con un círculo unitario como el absoluto. \(O\)Sea el centro de lo absoluto y\(P\) sea otro punto h. Supongamos que\(P'\) denota la inversa de\(P\) en lo absoluto.
Entonces el círculo\(\Gamma\) con el centro\(P'\) y el radio\(\dfrac{\sqrt{1-OP^2}}{OP}\) es perpendicular al absoluto. Además,\(O\) es la inversa de\(P\) in\(\Gamma\).
- Prueba
-
Se desprende del Ejercicio 10.5.2.
Supongamos que\(\Gamma\) es una circlina que es perpendicular al absoluto. Considera la inversión\(X \mapsto X'\) en\(\Gamma\), o si\(\Gamma\) es una línea, establecida\(X \mapsto X'\) para ser el reflejo a través\(\Gamma\).
La siguiente observación dice que el mapa\(X \mapsto X'\) respeta todas las nociones introducidas en el apartado anterior. Junto con el lema anterior, implica que en cualquier problema que se formula íntegramente en términos h podemos suponer que un punto h dado se encuentra en el centro de lo absoluto.
El mapa\(X \mapsto X'\) descrito anteriormente es una biyección del plano h a sí mismo. Además, para cualquier punto h\(P\)\(Q\), de\(R\) tal manera que\(P\ne Q\) y\(Q\ne R\), se mantienen las siguientes condiciones:
- La línea h\((PQ)_h\), la media línea\([PQ)_h\) h y el segmento h\([PQ]_h\) se transforman en\((P'Q')_h\)\([P'Q')_h\), y\([P'Q']_h\) respectivamente.
- \(\delta(P',Q')=\delta(P,Q)\)y\(P'Q'_h=PQ_h\).
- \(\measuredangle_h P'Q'R' \equiv -\measuredangle_h PQR\).
Es instructivo comparar esta observación con la Proposición [prop:reflexión].
- Prueba
-
Según el Teorema 10.5.1, el mapa envía el absoluto a sí mismo. Tenga en cuenta que los puntos en\(\Gamma\) no se mueven, de ello se deduce que los puntos dentro del absoluto permanecen dentro después del mapeo. De donde se\(X \mapsto X'\) trata de una bijección del plano h a sí mismo.
La parte (a) se desprende del Teorema 10.3.1 y del Teorema 10.6.1.
La parte (b) se desprende del Teorema 10.2.1.
La parte (c) se desprende del Teorema 10.6.1.
Supongamos que el absoluto es un círculo unitario centrado en\(O\). Dado un punto h\(P\), establecer\(x=OP\) y\(y=OP_h\). Entonces
\(y = \ln \dfrac{1 + x}{1 - x}\)y\(x = \dfrac{e^y - 1}{e^y + 1}.\)
Observe que según lema,\(OP_h \to \infty\) como\(OP \to 1\). Es decir, si se\(P\) acerca a lo absoluto en sentido euclidiano, se escapa al infinito en el sentido h.
- Prueba
-
Tenga en cuenta que la línea h\((OP)_h\) forma un diámetro del absoluto. Si\(A\) y\(B\) son los puntos ideales como en la definición de h-distancia, entonces
\(\begin{array} {l} {OA = OB = 1,} \\ {PA = 1 + x,} \\ {PB = 1 - x.} \end{array}\)
En particular,
\(y = \ln \dfrac{AP \cdot BO}{PB \cdot OA} = \ln \dfrac{1 + x}{1 - x}.\)
Tomando la función exponencial del lado izquierdo y derecho y aplicando manipulaciones obvias de álgebra, obtenemos que
\(x=\dfrac{e^y-1}{e^y+1}\).
Asumir los puntos\(P\)\(Q\),, y\(R\) aparecen en una línea h en el mismo orden. Entonces
\(PQ_h + QR_h = PR_h.\)
- Prueba
-
Tenga en cuenta que
\(PQ_h + QR_h = PR_h\)
es equivalente a
\[\delta (P, Q) \cdot \delta (Q,R) = \delta (P, R).\]
Dejar\(A\) y\(B\) ser los puntos ideales de\((PQ)_h\). Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que los puntos\(A\),,\(P\),\(Q\)\(R\), y\(B\) aparecen en el mismo orden sobre la circlina que contiene\((PQ)_h\). Entonces
\(\begin{array} {rcl} {\delta (P, Q) \cdot \delta (Q, R)} & = & {\dfrac{AQ \cdot BP}{QB \cdot PA} \cdot \dfrac{AR \cdot BQ}{RB \cdot QA} =} \\ {} & = & {\dfrac{AR \cdot BP}{RB \cdot PA} =} \\ {} & = & {\delta (P, R).} \end{array}\)
De ahí sigue 12.3.1.
Dejar\(P\) ser un punto h y\(\rho>0\). El conjunto de todos los puntos h\(Q\) tal que\(PQ_h=\rho\) se llama círculo h con el centro\(P\) y el radio h\(\rho\).
Cualquier círculo h es un círculo euclidiano que se encuentra completamente en el plano h.
Más precisamente para cualquier punto h\(P\) y\(\rho\ge 0\) hay un\(\hat\rho\ge 0\) y un punto\(\hat P\) tal que
para cualquier punto h\(Q\).
Además, si\(O\) es el centro de lo absoluto, entonces
- \(\hat{O}=O\)para cualquier\(\rho\) y
- \(\hat{P} \in (OP)\)para cualquier\(P\ne O\).
- Prueba
-
Según Lemma\(\PageIndex{2}\),\(OQ_h\z= \rho\) si y solo si
Por lo tanto, el locus de los puntos h\(Q\) tal que\(OQ_h= \rho\) es un círculo euclidiano, lo denotan por\(\Delta_{\rho}\).
Si\(P \ne O\), entonces por Lema\(\PageIndex{1}\) y la observación principal (Teorema\(\PageIndex{1}\)) hay inversión que respeta todas las h-nociones y envía\(O \mapsto P\).
Dejar\(\Delta_{\rho}'\) ser la inversa de\(\Delta_{\rho}\). Ya que la inversión conserva la distancia h,\(PQ_h=\rho\) si y solo si\(Q \in \Delta_{\rho}'\).
Según el Teorema 10.3.1,\(\Delta_\rho'\) es un círculo euclidiano. Dejar\(\hat P\) y\(\hat\rho\) denotar el centro euclidiano y el radio de\(\Delta_\rho'\).
Por último, tenga en cuenta que se\(\Delta_\rho'\) refleja a sí mismo a través\((OP)\); es decir, el centro\(\hat P\) se encuentra en\((OP)\).
Asumir\(P\)\(\hat P\),, y\(O\) son como en el Lema\(\PageIndex{1}\) y\(P \ne O\). \(\hat{P} \in [OP]\)Demuéstralo.
- Insinuación
-
Dejar\(X\) y\(Y\) denotar el punto de intersecciones de\((OP)\) y\(\Delta_{rho}'\). Considera una isometría\((OP) \to \mathbb{R}\) tal que\(O\) corresponda a 0. Dejar\(x, y, p\), y\(\hat{p}\) denotar el número real correspondiente a\(X, Y, P\), y\(\hat{P}\).
Podemos suponer que\(p > 0\) y\(x < y\). Tenga en cuenta que\(\hat{p} = \dfrac{x + y}{2}\) y
\(\dfrac{(1 + x) \cdot (1 - p)}{(1 - x) \cdot (1 + p)} = \dfrac{(1 + p) \dot (1 - y)}{(1 - p) \cdot (1 + y)}\).
Queda por demostrar que todo esto implica\(0 < \hat{p} < p\).