12.3: Declaraciones auxiliares

Se puede comparar el modelo conforme con un telescopio, lo que permite ver el plano h desde el plano euclidiano. Continuando con esta analogía más, podemos decir que se utilizará el siguiente lema para apuntar el telescopio a cualquier punto particular del plano h.

Lema$\PageIndex{1}$

Considera un plano h con un círculo unitario como el absoluto. $O$Sea el centro de lo absoluto y$P$ sea otro punto h. Supongamos que$P'$ denota la inversa de$P$ en lo absoluto.

Entonces el círculo$\Gamma$ con el centro$P'$ y el radio$\dfrac{\sqrt{1-OP^2}}{OP}$ es perpendicular al absoluto. Además,$O$ es la inversa de$P$ in$\Gamma$.

Prueba

Se desprende del Ejercicio 10.5.2.

Supongamos que$\Gamma$ es una circlina que es perpendicular al absoluto. Considera la inversión$X \mapsto X'$ en$\Gamma$, o si$\Gamma$ es una línea, establecida$X \mapsto X'$ para ser el reflejo a través$\Gamma$.

La siguiente observación dice que el mapa$X \mapsto X'$ respeta todas las nociones introducidas en el apartado anterior. Junto con el lema anterior, implica que en cualquier problema que se formula íntegramente en términos h podemos suponer que un punto h dado se encuentra en el centro de lo absoluto.

Teorema$\PageIndex{1}$

El mapa$X \mapsto X'$ descrito anteriormente es una biyección del plano h a sí mismo. Además, para cualquier punto h$P$$Q$, de$R$ tal manera que$P\ne Q$ y$Q\ne R$, se mantienen las siguientes condiciones:

1. La línea h$(PQ)_h$, la media línea$[PQ)_h$ h y el segmento h$[PQ]_h$ se transforman en$(P'Q')_h$$[P'Q')_h$, y$[P'Q']_h$ respectivamente.
2. $\delta(P',Q')=\delta(P,Q)$y$P'Q'_h=PQ_h$.
3. $\measuredangle_h P'Q'R' \equiv -\measuredangle_h PQR$.

Es instructivo comparar esta observación con la Proposición [prop:reflexión].

Prueba

Según el Teorema 10.5.1, el mapa envía el absoluto a sí mismo. Tenga en cuenta que los puntos en$\Gamma$ no se mueven, de ello se deduce que los puntos dentro del absoluto permanecen dentro después del mapeo. De donde se$X \mapsto X'$ trata de una bijección del plano h a sí mismo.

La parte (a) se desprende del Teorema 10.3.1 y del Teorema 10.6.1.

La parte (b) se desprende del Teorema 10.2.1.

La parte (c) se desprende del Teorema 10.6.1.

Lema$\PageIndex{2}$

Supongamos que el absoluto es un círculo unitario centrado en$O$. Dado un punto h$P$, establecer$x=OP$ y$y=OP_h$. Entonces

$y = \ln \dfrac{1 + x}{1 - x}$y$x = \dfrac{e^y - 1}{e^y + 1}.$

Observe que según lema,$OP_h \to \infty$ como$OP \to 1$. Es decir, si se$P$ acerca a lo absoluto en sentido euclidiano, se escapa al infinito en el sentido h.

Prueba

Tenga en cuenta que la línea h$(OP)_h$ forma un diámetro del absoluto. Si$A$ y$B$ son los puntos ideales como en la definición de h-distancia, entonces

$\begin{array} {l} {OA = OB = 1,} \\ {PA = 1 + x,} \\ {PB = 1 - x.} \end{array}$

En particular,

$y = \ln \dfrac{AP \cdot BO}{PB \cdot OA} = \ln \dfrac{1 + x}{1 - x}.$

Tomando la función exponencial del lado izquierdo y derecho y aplicando manipulaciones obvias de álgebra, obtenemos que

$x=\dfrac{e^y-1}{e^y+1}$.

Lema$\PageIndex{3}$

Asumir los puntos$P$$Q$,, y$R$ aparecen en una línea h en el mismo orden. Entonces

$PQ_h + QR_h = PR_h.$

Prueba

Tenga en cuenta que

$PQ_h + QR_h = PR_h$

es equivalente a

$$\delta (P, Q) \cdot \delta (Q,R) = \delta (P, R).$$

Dejar$A$ y$B$ ser los puntos ideales de$(PQ)_h$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que los puntos$A$,,$P$,$Q$$R$, y$B$ aparecen en el mismo orden sobre la circlina que contiene$(PQ)_h$. Entonces

$\begin{array} {rcl} {\delta (P, Q) \cdot \delta (Q, R)} & = & {\dfrac{AQ \cdot BP}{QB \cdot PA} \cdot \dfrac{AR \cdot BQ}{RB \cdot QA} =} \\ {} & = & {\dfrac{AR \cdot BP}{RB \cdot PA} =} \\ {} & = & {\delta (P, R).} \end{array}$

De ahí sigue 12.3.1.

Dejar$P$ ser un punto h y$\rho>0$. El conjunto de todos los puntos h$Q$ tal que$PQ_h=\rho$ se llama círculo h con el centro$P$ y el radio h$\rho$.

Lema$\PageIndex{4}$

Cualquier círculo h es un círculo euclidiano que se encuentra completamente en el plano h.

Más precisamente para cualquier punto h$P$ y$\rho\ge 0$ hay un$\hat\rho\ge 0$ y un punto$\hat P$ tal que

para cualquier punto h$Q$.

Además, si$O$ es el centro de lo absoluto, entonces

1. $\hat{O}=O$para cualquier$\rho$ y
2. $\hat{P} \in (OP)$para cualquier$P\ne O$.

Prueba

Según Lemma$\PageIndex{2}$,$OQ_h\z= \rho$ si y solo si

Por lo tanto, el locus de los puntos h$Q$ tal que$OQ_h= \rho$ es un círculo euclidiano, lo denotan por$\Delta_{\rho}$.

Si$P \ne O$, entonces por Lema$\PageIndex{1}$ y la observación principal (Teorema$\PageIndex{1}$) hay inversión que respeta todas las h-nociones y envía$O \mapsto P$.

Dejar$\Delta_{\rho}'$ ser la inversa de$\Delta_{\rho}$. Ya que la inversión conserva la distancia h,$PQ_h=\rho$ si y solo si$Q \in \Delta_{\rho}'$.

Según el Teorema 10.3.1,$\Delta_\rho'$ es un círculo euclidiano. Dejar$\hat P$ y$\hat\rho$ denotar el centro euclidiano y el radio de$\Delta_\rho'$.

Por último, tenga en cuenta que se$\Delta_\rho'$ refleja a sí mismo a través$(OP)$; es decir, el centro$\hat P$ se encuentra en$(OP)$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Asumir$P$$\hat P$,, y$O$ son como en el Lema$\PageIndex{1}$ y$P \ne O$. $\hat{P} \in [OP]$Demuéstralo.

Insinuación

Dejar$X$ y$Y$ denotar el punto de intersecciones de$(OP)$ y$\Delta_{rho}'$. Considera una isometría$(OP) \to \mathbb{R}$ tal que$O$ corresponda a 0. Dejar$x, y, p$, y$\hat{p}$ denotar el número real correspondiente a$X, Y, P$, y$\hat{P}$.

Podemos suponer que$p > 0$ y$x < y$. Tenga en cuenta que$\hat{p} = \dfrac{x + y}{2}$ y

$\dfrac{(1 + x) \cdot (1 - p)}{(1 - x) \cdot (1 + p)} = \dfrac{(1 + p) \dot (1 - y)}{(1 - p) \cdot (1 + y)}$.

Queda por demostrar que todo esto implica$0 < \hat{p} < p$.