15.5: Transformaciones proyectivas
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Obsérvese que cualquier transformación afín define una transformación proyectiva en el plano proyectivo real correspondiente. Llamaremos afín a tales transformaciones proyectivas; estas son transformaciones proyectivas que envían la línea ideal a sí misma.
La proyección de perspectiva extendida discutida en la sección anterior proporciona otra fuente de ejemplos de transformaciones proyectivas.
Dada una línea\(\ell\) en el plano proyectivo real, hay una proyección en perspectiva que envía\(\ell\) a la línea ideal.
Además, una transformación de perspectiva es afín o, en un sistema de coordenadas adecuado, puede escribirse como una composición de la extensión de la proyección de perspectiva
\(\beta:(x,y) \mapsto (\dfrac{x}{y},\dfrac{1}{y})\)
y una transformación afín.
- Prueba
-
Podemos elegir un sistema\((x,y)\) de coordenadas de tal manera que la línea\(\ell\) se defina por ecuación\(y=0\). Entonces la extensión de\(\beta\) da la transformación necesaria.
Arreglar una transformación proyectiva\(\gamma\). Si\(\gamma\) envía la línea ideal a sí misma, entonces tiene que ser afín. Prueba el teorema en este caso.
Supongamos que\(\gamma\) envía la línea ideal a una línea\(\ell\). Elija una proyección en perspectiva\(\beta\) como se indica arriba. La composición\(\beta\circ\gamma\) envía la línea ideal a sí misma. Es decir,\(\gamma=\beta\circ\gamma\) es afín. Tenga en cuenta que\(\beta\) es autoinverso; por lo tanto\(\alpha=\beta\circ \gamma\) — de ahí el resultado.
\(P\mapsto P'\)Sea (a) una transformación afín, (b) la proyección de perspectiva definida por\((x,y) \mapsto (\dfrac{x}{y},\dfrac{1}{y})\), o (c) una transformación proyectiva arbitraria. Supongamos que se\(P_1,P_2,P_3,P_4\) encuentran en una línea. Demostrar que
\(\dfrac{P_1P_2\cdot P_3P_4}{P_2 P_3 \cdot P_4 P_1}=\dfrac{P'_1P'_2\cdot P'_3P'_4}{P'_2P'_3\cdot P'_4P'_1};\)
es decir, cada uno de estos mapas conserva la relación cruzada para cuatriples de puntos en una línea.
- Insinuación
-
Para acreditar (a), aplicar la Proposición 14.3.1.
Para probar (b), supongamos\(P_i = (x_i, y_i)\); mostrar y usar eso
\(\dfrac{P_1 P_2 \cdot P_3P_4}{P_2P_3 \cdot P_4P_1} = |\dfrac{(x_1 - x_2) \cdot (x_3 - x_4)}{(x_2 - x_3)\cdot (x_4 - x_1)}|\)
si todos\(P_i\) se encuentran en una línea horizontal\(y = b\), y
\(\dfrac{P_1 P_2 \cdot P_3P_4}{P_2P_3 \cdot P_4P_1} = |\dfrac{(y_1 - y_2) \cdot (y_3 - y_4)}{(y_2 - y_3)\cdot (y_4 - y_1)}|\)
de lo contrario. (Ver 20.8.4 para otra prueba.)
Para probar (c), aplicar (a), (b), y Teorema\(\PageIndex{1}\).