15.5: Transformaciones proyectivas

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Una biyección desde el plano proyectivo real hacia sí mismo que envía líneas a líneas se denomina transformación proyectiva.

Obsérvese que cualquier transformación afín define una transformación proyectiva en el plano proyectivo real correspondiente. Llamaremos afín a tales transformaciones proyectivas; estas son transformaciones proyectivas que envían la línea ideal a sí misma.

La proyección de perspectiva extendida discutida en la sección anterior proporciona otra fuente de ejemplos de transformaciones proyectivas.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dada una línea\(\ell\) en el plano proyectivo real, hay una proyección en perspectiva que envía\(\ell\) a la línea ideal.

Además, una transformación de perspectiva es afín o, en un sistema de coordenadas adecuado, puede escribirse como una composición de la extensión de la proyección de perspectiva

\(\beta:(x,y) \mapsto (\dfrac{x}{y},\dfrac{1}{y})\)

y una transformación afín.

Prueba

Podemos elegir un sistema\((x,y)\) de coordenadas de tal manera que la línea\(\ell\) se defina por ecuación\(y=0\). Entonces la extensión de\(\beta\) da la transformación necesaria.

Arreglar una transformación proyectiva\(\gamma\). Si\(\gamma\) envía la línea ideal a sí misma, entonces tiene que ser afín. Prueba el teorema en este caso.

Supongamos que\(\gamma\) envía la línea ideal a una línea\(\ell\). Elija una proyección en perspectiva\(\beta\) como se indica arriba. La composición\(\beta\circ\gamma\) envía la línea ideal a sí misma. Es decir,\(\gamma=\beta\circ\gamma\) es afín. Tenga en cuenta que\(\beta\) es autoinverso; por lo tanto\(\alpha=\beta\circ \gamma\) — de ahí el resultado.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\(P\mapsto P'\)Sea (a) una transformación afín, (b) la proyección de perspectiva definida por\((x,y) \mapsto (\dfrac{x}{y},\dfrac{1}{y})\), o (c) una transformación proyectiva arbitraria. Supongamos que se\(P_1,P_2,P_3,P_4\) encuentran en una línea. Demostrar que

\(\dfrac{P_1P_2\cdot P_3P_4}{P_2 P_3 \cdot P_4 P_1}=\dfrac{P'_1P'_2\cdot P'_3P'_4}{P'_2P'_3\cdot P'_4P'_1};\)

es decir, cada uno de estos mapas conserva la relación cruzada para cuatriples de puntos en una línea.

Insinuación

Para acreditar (a), aplicar la Proposición 14.3.1.

Para probar (b), supongamos\(P_i = (x_i, y_i)\); mostrar y usar eso

\(\dfrac{P_1 P_2 \cdot P_3P_4}{P_2P_3 \cdot P_4P_1} = |\dfrac{(x_1 - x_2) \cdot (x_3 - x_4)}{(x_2 - x_3)\cdot (x_4 - x_1)}|\)

si todos\(P_i\) se encuentran en una línea horizontal\(y = b\), y

\(\dfrac{P_1 P_2 \cdot P_3P_4}{P_2P_3 \cdot P_4P_1} = |\dfrac{(y_1 - y_2) \cdot (y_3 - y_4)}{(y_2 - y_3)\cdot (y_4 - y_1)}|\)

de lo contrario. (Ver 20.8.4 para otra prueba.)

Para probar (c), aplicar (a), (b), y Teorema\(\PageIndex{1}\).