18.3: Conjugación y valor absoluto

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Dejar\(z=x+i\cdot y\); es decir,\(z\) es un número complejo con parte real\(x\) y parte imaginaria\(y\). Si\(y=0\), decimos que el número complejo\(z\) es real y si\(x=0\) decimos que\(z\) es imaginario. El conjunto de puntos con coordenadas complejas reales (imaginarias) es una línea en el plano, que se denomina línea real (respectivamente imaginaria). La línea real se denotará como\(\mathbb{R}\).

El número complejo

\(\bar z := x-i\cdot y\)

se llama el complejo conjugado de\(z=x+i\cdot y\). Dejar\(Z\) y\(\bar Z\) ser los puntos en el plano con las coordenadas complejas\(z\) y\(\bar z\) respectivamente. Tenga en cuenta que el punto\(\bar Z\) es el reflejo de\(Z\) a través de la línea real.

Es sencillo comprobar que

\[\begin{aligned} x&=\text{Re} z=\frac{z+\bar z}2, & y&=\text{Im} z=\frac{z-\bar z}{i\cdot2}, & x^2+y^2&=z\cdot\bar z. \end{aligned}\]

La última fórmula en 18.3.1 permite expresar el cociente\(\tfrac{w}{z}\) de dos números complejos\(w\) y\(z=x+i\cdot y\):

\(\frac{w}{z}=\tfrac{1}{z\cdot\bar z}\cdot w\cdot\bar z=\tfrac{1}{x^2+y^2}\cdot w\cdot\bar z.\)

Tenga en cuenta que

Es decir, la conjugación compleja respeta todas las operaciones aritméticas.

El valor

\(\begin{aligned} |z|&:=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x+i\cdot y)\cdot(x-i\cdot y)} = \sqrt{z\cdot\bar z}\end{aligned}\)

se llama el valor absoluto de\(z\). Si\(|z|=1\), entonces\(z\) se llama un número complejo de unidad.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\(|v\cdot w|=|v|\cdot |w|\)Demuéstralo para cualquier\(v,w\in\mathbb{C}\).

Pista: \(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\)Utilízalo para\(z = v, w\), y\(v \cdot w\).

Supongamos que\(Z\) y\(W\) son puntos con coordenadas complejas\(z\) y\(w\). Tenga en cuenta que

\[ZW=|z-w|.\]

La desigualdad triangular para los puntos con coordenadas complejas\(0\),\(v\), e\(v+w\) implica que

\(|v+w|\le |v|+|w|\)

para cualquiera\(v,w\in\mathbb{C}\); esta desigualdad también se llama desigualdad triangular.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Usar la identidad

\(u\cdot (v-w)+v\cdot (w-u)+w\cdot(u-v)=0\)

para\(u,v,w\in\mathbb{C}\) y la desigualdad triangular para probar la desigualdad de Tolomeo (Teorema 6.4.1).

Pista: Dado un cuadriángulo\(ABCD\), podemos elegir las coordenadas complejas para que\(A\) tenga la coordenada compleja 0. Reescribir los términos en la desigualdad de Tolomeo en términos de las coordenadas complejas\(u, v\), y\(w\) de\(B, C\), y\(D\); aplicar la identidad y la desigualdad triangular.