1.1: Introducción

Imagina que eres un ser bidimensional que vive en un universo bidimensional. Los matemáticos de este universo suelen representar su forma como un plano infinito, exactamente como el\(xy\) -plano que has usado como lienzo en tus cursos de cálculo.

Tu auto bidimensional ha sido enseñado en geometría a la que se suman los ángulos de cualquier triángulo\(180^{\circ}\). Es posible que incluso hayas construido algunos triángulos para verificar. Los constructores utilizan el teorema de Pitágoras para verificar si dos paredes se encuentran en ángulo recto y las casas son robustas.

Figura\(\PageIndex{1}\): Medir\(a\)\(b\),,\(c\) y verificar si\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\). Si la igualdad se mantiene, ¡la esquina es cuadrada! (Copyright; autor vía fuente)

El modelo plano infinito del universo bidimensional funciona lo suficientemente bien para la mayoría de los propósitos, pero los cosmólogos y matemáticos, que notan que todo dentro del universo es finito, consideran la posibilidad de que el universo mismo sea finito. ¿Un universo finito tendría un límite? ¿Puede tener una arista, un punto más allá del cual no se puede viajar? Esta posibilidad es poco atractiva porque un punto límite sería físicamente diferente del resto del espacio. Pero, ¿cómo puede un universo finito no tener límites?

En un trazo tan audaz como simple, un matemático bidimensional sugiere que el universo parece una región rectangular con bordes opuestos identificados.

Considera un rectángulo plano bidimensional. De hecho, visualice la pantalla de una tableta. Ahora imagina que estás jugando a un videojuego llamado Asteroides. A medida que disparas a los asteroides y mueves tu nave por la pantalla, encuentras que si sales de la parte superior de la pantalla tu nave vuelve a aparecer en la parte inferior; y si vas o la pantalla a la izquierda reapareces a la derecha. En Figura\(\PageIndex{2}\), solo hay cinco asteroides. Uno se ha movido parcialmente de la parte superior de la pantalla y reaparecido abajo, mientras que un segundo está a mitad del borde derecho y está reapareciendo hacia la izquierda.

Figura\(\PageIndex{2}\): Un mundo bidimensional finito sin límites. (Copyright; autor vía fuente)

Así, se ha identificado el borde superior del rectángulo, punto por punto, con el borde inferior. En tres dimensiones se puede lograr físicamente esta identificación, o pegado, de los bordes. En particular, se puede doblar el rectángulo para producir un cilindro, teniendo cuidado de unir solo los bordes superior e inferior, y no cualquier otro punto. Los bordes izquierdo y derecho del rectángulo se han convertido ahora en los círculos izquierdo y derecho del cilindro, que a su vez se identifican, punto por punto. Doblar el cilindro para lograr este segundo pegado, y se obtiene una rosquilla, también llamada toro.

Figura\(\PageIndex{3}\): La pantalla de video en la Figura\(\PageIndex{2}\) es equivalente a un toro. (Copyright; autor vía fuente)

Por supuesto, tu yo bidimensional no sería capaz de ver esta superficie\(3\) de toro en el espacio, pero podrías entender perfectamente el espacio en su forma de rectángulo con bordes identificados. Es claramente un universo de área finita sin ningún borde.

Una esfera, como la superficie de una pelota de playa, es otra superficie bidimensional de área finita sin ningún borde. Un insecto que navega por la superficie de una esfera observará que localmente el mundo parece un plano plano, y que la superficie no tiene bordes.

La consideración de un universo de área finita conduce a preguntas sobre el tipo de geometría que se aplica al universo. Veamos una esfera. En escalas pequeñas, la geometría euclidiana funciona lo suficientemente bien: los triángulos pequeños tienen una suma de ángulo esencialmente igual a\(180^{\circ}\), que es una característica definitoria de la geometría euclidiana. Pero a mayor escala, las cosas salen mal. Un triángulo muy grande dibujado en la superficie de la esfera tiene una suma de ángulos muy superior\(180^{\circ}\). (Por triángulo, nos referimos a tres puntos en la superficie, junto con tres caminos de menor distancia entre los puntos. Discutiremos esto más cuidadosamente más adelante.)

Considera el triángulo formado por el polo norte y dos puntos en el ecuador en la Figura\(\PageIndex{4}\). El ángulo en cada punto del ecuador es\(90^{\circ}\), por lo que la suma total del ángulo del triángulo excede\(180^{\circ}\) por la cantidad del ángulo en el polo norte. Se concluye que una geometría no euclidiana se aplica a la esfera a escala global.

Figura\(\PageIndex{4}\): Un triángulo sobre una esfera. (Copyright; autor vía fuente)

De hecho, existe una relación maravillosa entre la topología (forma) de una superficie, y el tipo de geometría que hereda, y un objetivo primordial de este libro es llegar a esta relación, dada por la prístina ecuación de Gauss-Bonnet

\(kA = 2\pi \chi\)

No vamos a explicar aquí esta ecuación, pero señalaremos que la geometría está en el lado izquierdo de la ecuación, y la topología está a la derecha. Entonces, si un ser bidimensional puede deducir qué tipo de geometría global tiene en su mundo, puede reducir en gran medida las posibles formas para su universo. Nuestra tarea inmediata en el texto es estudiar los otros tipos de geometría no euclidiana que puedan aplicarse en superficies.