1.2: Una breve historia de la geometría
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La geometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas, y la más importante entre los textos son los Elementos de Euclides. Su texto comienza con\(23\) definiciones,\(5\) postulados y nociones\(5\) comunes. A partir de ahí Euclides comienza a probar resultados sobre geometría usando un método lógico riguroso, y a muchos de nosotros se nos ha pedido que hagamos lo mismo en la secundaria.
Los Elementos de Euclides sirvieron como texto sobre geometría durante\(2000\) años, y ha sido admirado como una brillante obra en el razonamiento lógico. Pero uno de los cinco postulados de Euclides también fue el centro de un debate candente. Fue este debate el que finalmente condujo a las geometrías no euclidianas que se pueden aplicar a diferentes superficies.
Aquí están los cinco postulados de Euclides:
- Se puede dibujar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
- Se puede producir una línea recta finita continuamente en una línea recta.
- Se puede describir un círculo con cualquier centro y radio.
- Todos los ángulos rectos se igualan entre sí.
- Si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que los ángulos son menores que dos ángulos rectos.
¿Un postulado no se parece a los demás? Los cuatro primeros postulados son cortos, simples e intuitivos. Bueno, el segundo puede parecer un poco extraño, pero todo lo que Euclides está diciendo aquí es que puedes producir un segmento de línea a cualquier longitud que quieras. No obstante, el\(5^{\text{th}}\) que se llama postulado paralelo, no es corto ni sencillo; suena más como algo que tratarías de probar que como algo que tomarías como dado.
En efecto, el postulado paralelo inmediatamente dio a filósofos y otros pensadores ts, y muchos trataron de probar que el quinto postulado siguió de los cuatro primeros, en ningún resultado. El propio Euclides puede haber sido molestado en algún nivel por el postulado paralelo ya que evita usarlo hasta la prueba de la\(29\) th proposición en su texto.
Al tratar de darle sentido al postulado paralelo surgieron muchas declaraciones equivalentes. Las dos declaraciones equivalentes más relevantes para nuestro estudio son las siguientes:
\(5^{\prime}\). Dada una línea y un punto que no está en la línea, hay exactamente una línea a través del punto que no interseca la línea dada.
\(5^{\prime \prime}\). La suma de los ángulos de cualquier triángulo es\(180^{\circ}\).
La reformulación\(5^{\prime}\) del postulado paralelo se llama Axioma de Playfair en honor al matemático escocés John Playfair (\(1748\)-\(1819\)). Esta versión del quinto postulado será la que alteremos para producir geometría no euclidiana.
El debate postulado paralelo llegó a un punto crítico a principios de\(19^{\text{th}}\) siglo. Farkas Bolyai (\(1775\)-\(1856\)) de Hungría pasó gran parte de su vida en el problema de tratar de probar el postulado paralelo de los otros cuatro. Falló, y se preocupó cuando su hijo János (\(1802\)-\(1860\)) comenzó a seguir por el mismo camino atormentado. En una carta frecuentemente citada, el padre le rogó al hijo que pusiera fin a la obsesión:
Por el amor de Dios, te lo ruego, que te rindas. Teme nada menos que a las pasiones sensuales porque también puede tomar todo tu tiempo y privarte de tu salud, tranquilidad y felicidad en la vida. 1
Pero János continuó trabajando en el problema, al igual que el matemático ruso Nikolai Lobachevsky (\(1792\)-\(1856\)). Descubrieron de manera independiente que es posible una geometría bien definida en la que se mantienen los cuatro primeros postulados, pero el quinto no. En particular, demostraron que el quinto postulado no es consecuencia necesaria de los cuatro primeros.
En este texto, estudiaremos dos tipos de geometría no euclidiana. El primer tipo se llama geometría hiperbólica, y es la geometría que Bolyai y Lobachevsky descubrieron. (El gran Carl Friedrich Gauss (\(1777\)-\(1855\)) también había descubierto esta geometría; sin embargo, no publicó su obra porque temía que fuera demasiado polémica para el establecimiento.) En geometría hiperbólica, el quinto postulado de Euclides es reemplazado por este:
\(5\mathrm{H}\). Dada una línea y un punto no en la línea, hay al menos dos líneas a través del punto que no se cruzan con la línea dada.
En geometría hiperbólica, la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que\(180^{\circ}\), hecho que probamos en el Capítulo 5.
El segundo tipo de geometría no euclidiana en este texto se denomina geometría elíptica, que modela la geometría en la esfera. En esta geometría, el quinto postulado de Euclides es sustituido por este:
\(5\mathrm{E}\): Dada una línea y un punto que no está en la línea, hay cero líneas a través del punto que no se cruzan con la línea dada.
En geometría elíptica, la suma de los ángulos de cualquier triángulo es mayor que\(180^{\circ}\), hecho que probamos en el Capítulo 6.
El teorema de Pitágoras
El célebre teorema de Pitágoras depende del postulado paralelo, por lo que es un teorema de geometría euclidiana. Sin embargo, encontraremos variaciones no euclidianas de este teorema en los Capítulos 5 y 6, y presentaremos un teorema unificado de Pitágoras en el Capítulo 7, con el Teorema 7.4.7, resultado que apareció recientemente en [20].
El teorema de Pitágoras aparece como Proposición\(47\) al final del Libro I de los Elementos de Euclides, y presentamos la prueba de Euclides a continuación. El teorema de Pitágoras es fundamental para los sistemas de medición que utilizamos en este texto, tanto en geometrías euclidianas como no euclidianas. También remarcamos que la proposición final del Libro I, Proposición\(48\), da lo contrario que usan los constructores: Si medimos las patas de un triángulo y encontramos que\(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) entonces el ángulo opuesto\(c\) es recto. El lector interesado puede encontrar una versión en línea de los Elementos de Euclides aquí [29].
En triángulos rectos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados en los lados que contienen el ángulo recto.
- Prueba
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Supongamos que tenemos triángulo rectángulo\(ABC\) como en Figura\(\PageIndex{1}\) con ángulo recto en\(C\), y longitudes laterales\(a\)\(b\),, y\(c\), esquinas opuestas\(A\),\(B\) y\(C\), respectivamente. En la figura tenemos cuadrados extendidos desde cada pata del triángulo, y etiquetados varias esquinas. También hemos construido la línea\(C\) paralela a\(AD\), y dejar\(L\) y\(M\) denotar los puntos de intersección de esta línea con\(AB\) y\(DE\), respectivamente. Se puede comprobar que\(\Delta KAB\) es congruente con\(\Delta CAD\). Además, el área de\(\Delta KAB\) es la mitad del área de la plaza\(AH\). Este es el caso porque tienen igual base (segmento\(KA\)) e igual altitud (segmento\(AC\)). Por un argumento similar, el área de\(\Delta DAC\) es la mitad del área del paralelogramo\(AM\). Esto significa que cuadrado\(AH\) y paralelogramo\(AM\) tienen áreas iguales, cuyo valor es\(b^{2}\).
Se puede proceder como antes para argumentar que las áreas de cuadrado\(BG\) y paralelogramo también\(BM\) son iguales, con valor\(a^{2}\). Dado que el área de cuadrado\(BD\), que es igual\(c^{2}\), es la suma de las dos áreas de paralelogramo, se deduce que\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\).
La llegada de la geometría no euclidiana pronto causó revuelo en círculos fuera de la comunidad matemática. Fiódor Dostoievski pensó que la geometría no euclidiana era lo suficientemente interesante como para incluirla en Los hermanos Karamazov, publicado por primera vez en\(1880\). Al principio de la novela dos de los hermanos, Iván y Alyosha, se vuelven a conocer en una taberna. Iván desalienta a su hermano menor de pensar si Dios existe, argumentando que si uno no puede comprender la geometría no euclidiana, entonces uno no tiene esperanza de entender las preguntas sobre Dios. 2
Uno de los primeros desafíos de la geometría no euclidiana fue determinar su consistencia lógica. Al cambiar el postulado paralelo de Euclides, ¿se creó un sistema que condujo a teoremas contradictorios? En\(1868\), el matemático italiano Enrico Beltrami (\(1835\)-\(1900\)) demostró que la nueva geometría no euclidiana podría construirse dentro del plano euclidiano de manera que, siempre y cuando la geometría euclidiana fuera consistente, la geometría no euclidiana también sería consistente. La geometría no euclidiana se colocó así en suelo sólido.
Este texto no desarrolla geometría como lo hicieron Euclides, Lobachevsky y Bolyai. En cambio, abordaremos el tema como lo hizo el matemático alemán Felix Klein (\(1849\)-\(1925\)).
Mientras que el enfoque de Euclides a la geometría era aditivo (comenzó con definiciones básicas y axiomas y procedió a construir una secuencia de resultados dependiendo de los anteriores), el enfoque de Klein fue sustractivo. Empezó con un espacio y un grupo de transformaciones permisibles de ese espacio. Luego tiró todos los conceptos que no permanecieron inalterados bajo estas transformaciones. Geometría, a Klein, es el estudio de objetos y funciones que permanecen sin cambios bajo transformaciones permisibles.
El enfoque de Klein a la geometría, llamado Programa Erlangen después de la universidad en la que trabajó en ese momento, tiene el beneficio de que las tres geometrías (euclidiana, hiperbólica y elíptica) emergen como casos especiales desde un espacio general y un conjunto general de transformaciones.
Los tres capítulos siguientes se dedicarán a dar sentido y trabajar a través de los dos párrafos anteriores.
Al igual que gran parte de las matemáticas, el desarrollo de la geometría no euclidiana anticipaba aplicaciones. La teoría de la relatividad especial de Albert Einstein ilustra el poder del enfoque de Klein a la geometría. La relatividad especial, dice Einstein, se deriva de la noción de que las leyes de la naturaleza son invariantes con respecto a las transformaciones de Lorentz. 3
Incluso con geometría no euclidiana en la mano, la geometría euclidiana sigue siendo fundamental para las matemáticas modernas porque es un excelente modelo para nuestra geometría local. Los ángulos de un triángulo dibujado en este papel sí suman\(180^{\prime}\). Incluso los triángulos galácticos determinados por las posiciones de tres estrellas cercanas tienen suma de ángulo indistinguible de\(180^{\prime}\).
Sin embargo, a mayor escala, las cosas pueden ser diferentes.
Tal vez vivimos en un universo que se ve plano (es decir, euclidiano) en escalas pequeñas pero que se curva globalmente. Esto no es tan difícil de creer. Un insecto que vive en un campo en la superficie de la Tierra podría concluir razonablemente que vive en un plano infinito. El insecto no puede sentir el hecho de que su mundo plano y visible es solo un pequeño parche de una superficie curva (Tierra) que vive en el espacio tridimensional. Asimismo, nuestro universo tridimensional aparentemente euclidiano podría estar curvándose en alguna cuarta dimensión invisible para que la geometría global del universo pudiera ser no euclidiana.
Bajo supuestos razonables sobre el espacio, la geometría hiperbólica, elíptica y euclidiana son las únicas tres posibilidades para la geometría global de nuestro universo. Los investigadores han pasado un tiempo significativo estudiando los datos cosmológicos con la esperanza de decidir qué geometría es la nuestra. Deducir la geometría del universo puede decirnos mucho sobre la forma del universo y tal vez si es finito. Si el universo es elíptico, entonces debe ser finito en volumen. Si es euclidiano o hiperbólico, entonces puede ser finito o infinito. Además, cada tipo de geometría corresponde a una clase de formas posibles. Y, si eso no es lo suficientemente emocionante, la geometría general del universo puede estar fundamentalmente conectada con el destino del universo. Claramente, ¡no hay más gran aplicación de la geometría que al destino del universo!
Ejercicios
Utilice el postulado paralelo de Euclides para probar el teorema de ángulos interiores alternos. Es decir, en la Figura\(\PageIndex{2}\) (\(\text{a}\)), supongamos que la línea\(BD\) es paralela a la línea\(AC\). Demostrar que\(\angle B A C=\angle A B D\)
Usa el postulado paralelo de Euclides y el problema anterior para demostrar que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es\(180^{\prime}\). Puede resultarle útil la Figura\(\PageIndex{2}\) (\(\text{b}\)), donde el segmento\(CD\) es paralelo al segmento\(AB\).
