3.1: Transformaciones básicas de números complejos
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Comenzamos con una definición.
Dados dos conjuntos\(A\) y\(B\text{,}\) una función\(f:A \to B\) se llama uno a uno (o 1-1) si siempre que\(a_1 \neq a_2\)\(f(a_1) \neq f(a_2)\) en\(A\text{,}\) entonces en\(B\text{.}\) La función\(f\) se llama a si para alguno\(b\)\(B\) existe un elemento\(a\) en\(A\) tal que\(f(a) = b\text{.}\) Una transformación en un conjunto\(A\) es una función\(T: A \to A\) que es uno a uno y sobre.
A continuación se presentan dos esquemas de funciones. En el primer caso,\(f: A \to B\) está sobre, pero no uno a uno. En el segundo caso,\(g: A \to B\) es uno a uno, pero no sobre.
Una transformación\(T\) de\(A\) tiene una función inversa,\(T^{-1}\text{,}\) caracterizada por la propiedad que las composiciones\(T^{-1}\circ T(a) = a\) y\(T\circ T^{-1}(a) = a\) para todos\(a\) en\(A\text{.}\) La función inversa\(T^{-1}\) es en sí misma una transformación de\(A\) y “deshace”\(T\) en este sentido: Para elementos\(z\) y\(w\) en\(A\text{,}\)\(T^{-1}(w)=z\) si y solo si\(T(z) = w\text{.}\)
En esta sección, desarrollamos las siguientes transformaciones básicas del plano, así como algunas de sus características importantes.
- Transformación lineal general:\(T(z)=az+b\text{,}\) donde\(a,b\) están\(\mathbb{C}\) con\(a \neq 0\text{.}\)
- Casos especiales de transformaciones lineales generales:
- Traducción por\(b\text{:}\)\(T_b(z) = z + b\text{.}\)
- Rotación por\(\theta\) aproximadamente\(0\text{:}\)\(R_\theta(z)=e^{i\theta}z\text{.}\)
- Rotación por\(\theta\) aproximadamente\(z_0\text{:}\)\(R(z)=e^{i\theta}(z-z_0)+z_0\text{.}\)
- Dilatación por factor\(k \gt 0\text{:}\)\(T(z)=kz\text{.}\)
- Reflexión a través de una línea\(L\text{:}\)\(r_L(z) = e^{i\theta}\overline{z}+b\text{,}\) donde\(b\) está adentro\(\mathbb{C}\text{,}\) y\(\theta\) está en\(\mathbb{R}\text{.}\)
Considere el número complejo fijo\(b\text{,}\) y defina la función\(T_b: \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) por
\[ T_b(z) = z + b\text{.} \]
La notación nos ayuda a recordar que\(z\) es la variable, y\(b\) es una constante compleja. Demostraremos que\(T_b\) es una transformación, pero este hecho también se puede entender visualizando la función. Cada punto del plano es movido por el vector\(b\text{,}\) como se sugiere en el siguiente diagrama.
Por ejemplo, el origen se mueve al punto\(b\text{,}\) (es decir,\(T_b(0) = b\)), y cada otro punto del avión se mueve la misma cantidad y en la misma dirección. De ello se deduce que dos puntos diferentes, como\(v\) y\(w\) en el diagrama, no pueden moverse al mismo punto de imagen (por lo tanto, la función es uno a uno). Además, cualquier punto en el plano es la imagen de algún otro punto (solo sigue el vector\(-b\) para encontrar este punto de “pre-imagen”), así que la función también está sobre.
Ahora ofrecemos un argumento formal de que la traducción\(T_b\) es una transformación. Recordar,\(b\) es un número complejo fijo.
Eso\(T_b\) es sobre:
Para demostrar que\(T_b\) está en, vamos a\(w\) denotar un elemento arbitrario de\(\mathbb{C}\text{.}\) Debemos encontrar un número complejo\(z\) tal que\(T_b(z) = w\text{.}\) Let\(z = w - b\text{.}\) Then\(T_b(z) = z + b = (w - b) + b = w\text{.}\) Así,\(T\) es onto.
Eso\(T_b\) es uno a uno:
Para demostrar que\(T_b\) es 1-1 debemos demostrar que si\(z_1 \neq z_2\) entonces lo\(T_b(z_1) \neq T_b(z_2)\text{.}\) hacemos demostrando el contrapositivo. Recordemos, el contrapositivo de una declaración de la forma “Si P es verdadera entonces Q es verdadera” es “Si Q es falsa entonces P es falsa”. Estas declaraciones son lógicamente equivalentes, lo que significa que podemos probar una probando la otra. Entonces, en el presente caso, el contrapositivo de “Si\(z_1 \neq z_2\) entonces\(T_b(z_1) \neq T_b(z_2)\)” es “Si\(T_b(z_1) = T_b(z_2)\text{,}\) entonces\(z_1 = z_2\text{.}\)” Ahora probamos esta afirmación.
Supongamos\(z_1\) y\(z_2\) son dos números complejos tal que\(T_b(z_1) = T_b(z_2)\text{.}\) Luego\(z_1 + b = z_2 + b\text{.}\) restando\(b\) de ambos lados vemos eso\(z_1 = z_2\text{,}\) y esto completa la prueba.
Dejar\(\theta\) ser un ángulo, y definir\(\displaystyle R_\theta: \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) por\(\displaystyle R_\theta(z) = e^{i\theta}z\text{.}\)
Esta transformación hace que los puntos en el plano roten alrededor del origen por el ángulo\(\theta\text{.}\) (Si\(\theta > 0\) la rotación es en sentido antihorario, y si\(\theta \lt 0\) la rotación es en el sentido de las agujas del reloj). Para ver este es el caso, supongamos\(z = re^{i\beta}\text{,}\) y fíjense que
\[ R_\theta(z) = e^{i\theta}re^{i\beta} = re^{i(\theta+\beta)}\text{.} \]
Para lograr una rotación por ángulo\(\theta\) alrededor de un punto general\(z_0\text{,}\) enviar puntos en el plano en un viaje de tres tramos: Primero, trasladar el plano para que el centro de rotación,\(z_0\text{,}\) vaya al origen. La traslación que hace el truco es\(T_{-z_0}\text{.}\) Luego rotar cada punto por\(\theta\) sobre el origen (\(R_{\theta}\)). Luego traduzca cada punto hacia atrás (\(T_{z_0})\text{.}\)Esta secuencia de transformaciones tiene el efecto deseado y se puede rastrear de la siguiente manera:
\[ z \overset{\mathrm{T_{-z_0}}}{\longmapsto} z - z_0 \overset{\mathrm{R_{\theta}}}{\longmapsto} e^{i\theta}(z-z_0) \overset{\mathrm{T_{z_0}}}{\longmapsto} e^{i\theta}(z-z_0) + z_0\text{.} \]
En otras palabras, la rotación deseada\(R\) es la composición\(T_{z_0} \circ R_{\theta} \circ T_{-z_0}\) y
\[ R(z)=e^{i\theta}(z-z_0) + z_0\text{.} \]
Que la composición de estas tres transformaciones es en sí misma una transformación se desprende del siguiente teorema.
Si\(T\) y\(S\) son dos transformaciones del conjunto\(A\text{,}\) entonces la composición también\(S \circ T\) es una transformación del conjunto\(A\text{.}\)
- Prueba
-
Debemos probar que\(S \circ T: A \to A\) es 1-1 y sobre.
Eso\(S\circ T\) es sobre:
Supongamos que\(c\) está en\(A\text{.}\) Debemos encontrar un elemento\(a\) en\(A\) tal que\(S \circ T(a) = c\text{.}\)
Ya que\(S\) está en, existe algún elemento\(b\) en\(A\) tal que\(S(b) = c\text{.}\)
Ya que\(T\) está en, existe algún elemento\(a\) en\(A\) tal que\(T(a) = b\text{.}\)
Entonces\(S \circ T(a) = S(b) = c\text{,}\) y hemos demostrado que\(S \circ T\) está sobre.
Eso\(S \circ T\) es 1-1:
Nuevamente, demostramos lo contrapositivo. En particular, demostramos que si\(S\circ T(a_1)=S\circ T(a_2)\) entonces\(a_1 = a_2\text{.}\)
Si\(S(T(a_1))=S(T(a_2))\) entonces\(T(a_1)=T(a_2)\) ya\(S\) es 1-1.
E\(T(a_1)=T(a_2)\) implica que\(a_1\) =\(a_2\) ya que\(T\) es 1-1.
Por lo tanto,\(S\circ T\) es 1-1.
Supongamos que\(k > 0\) es un número real. La transformación\(T(z) = kz\) se llama dilatación; dicho mapa estira o encoge puntos en el plano a lo largo de los rayos que emanan del origen, dependiendo del valor de\(k\text{.}\)
En efecto, si\(z = x + y i\text{,}\) entonces\(T(z) = k x + k y i\text{,}\) y\(z\) y\(T(z)\) están en la misma línea a través del origen. Si\(k \gt 1\) entonces\(T\) se estira puntos alejados del origen. Si\(0 \lt k \lt 1\text{,}\) entonces\(T\) se encoge los puntos hacia el origen. En cualquier caso, dicho mapa se llama dilatación.
Dadas las constantes complejas\(a, b\) con\(a \neq 0\) el mapa\(T(z) = az + b\) se denomina una transformación lineal general. Mostramos en el siguiente ejemplo que tal mapa es efectivamente una transformación de\(\mathbb{C}\text{.}\)
Consideremos la transformación lineal general\(T(z)=az+b\text{,}\) donde\(a, b\) se encuentran\(\mathbb{C}\) y\(a \neq 0\text{.}\) mostramos\(T\) es una transformación de\(\mathbb{C}\text{.}\)
Eso\(T\) es sobre:
Dejar\(w\) denotar un elemento arbitrario de\(\mathbb{C}\text{.}\) Debemos encontrar un número complejo\(z\) tal que\(T(z) = w\text{.}\) Para encontrar esto\(z\text{,}\) resolvemos\(w = az + b\) para\(z\text{.}\) Así,\(z = \dfrac{1}{a}(w - b)\) debería funcionar (ya que\(a \neq 0\text{,}\)\(z\) es un número complejo). En efecto,\(T(\dfrac{1}{a}(w - b)) = a \cdot \big[\dfrac{1}{a}(w - b)\big] + b = w\text{.}\) Así,\(T\) está sobre.
Eso\(T\) es uno a uno:
Para mostrar que\(T\) es 1-1 mostramos que si\(T(z_1) = T(z_2)\text{,}\) entonces\(z_1 = z_2\text{.}\)
Si\(z_1\) y\(z_2\) son dos números complejos tal que\(T(z_1) = T(z_2)\text{,}\) entonces\(a z_1 + b = a z_2 + b\text{.}\) restando\(b\) de ambos lados vemos eso\(a z_1 = a z_2\text{,}\) y luego dividiendo ambos lados por\(a\) (lo que podemos hacer desde entonces\(a \neq 0\)), vemos que\(z_1 = z_2\text{.}\) Así,\(T\) es 1-1 así como sobre, y hemos demostrado que\(T\) es una transformación.
Tenga en cuenta que las dilataciones, rotaciones y traslaciones son todos tipos especiales de transformaciones lineales generales.
A menudo necesitaremos averiguar cómo una transformación mueve una colección de puntos como un triángulo o un disco. Como tal, es útil introducir la siguiente notación, que utiliza la convención estándar en la teoría de conjuntos que\(a \in A\) significa que el elemento\(a\) es miembro del conjunto\(A\text{.}\)
Supongamos que\(T: A \to A\) es una transformación y\(D\) es un subconjunto de\(A\text{.}\) La imagen de\(D\text{,}\) denotada\(T(D)\text{,}\) consiste en todos los puntos\(T(x)\) tal que\(x \in D\text{.}\) En otras palabras,
\[ T(D) = \{a \in A ~|~ a = T(x) ~\text{for some}~ x \in D\}\text{.} \]
Por ejemplo, si\(L\) es una línea y\(T_b\) es traducción para\(b\text{,}\) entonces es razonable esperar que también\(T(L)\) sea una línea. Si uno traduce una línea en el plano, debe mantener su forma lineal. De hecho, las líneas se conservan bajo cualquier transformación lineal general, al igual que los círculos.
Supongamos que\(T\) es una transformación lineal general.
- \(T\)mapea líneas a líneas.
- \(T\)mapea círculos a círculos. Comprobante.
- Prueba
-
- Demostramos que si\(L\) es una línea en\(\mathbb{C}\) entonces así es\(T(L)\text{.}\) Una línea\(L\) se describe por la ecuación de línea
\[ \alpha z + \overline{\alpha}\overline{z} + d = 0 \]
para alguna constante compleja\(\alpha\) y número real\(d\text{.}\) Supongamos que\(T(z) = az + b\) es una transformación lineal general (so\(a \neq 0\)). Todos los puntos en\(T(L)\) tienen la forma\(w = az + b\) donde\(z\) satisface la ecuación de línea anterior. De ello se deduce que\(z = \dfrac{1}{a}(w - b)\) y cuando conectamos esto a la ecuación de línea vemos que
\[ \alpha\dfrac{w-b}{a} + \overline{\alpha}\dfrac{\overline{w-b}}{\overline{a}} + d =0 \]
que puede ser reescrito
\[ \dfrac{\alpha}{a}w + \dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{a}}\overline{w}+d-\dfrac{\alpha b}{a}-\dfrac{\overline{\alpha b}}{\overline{a}}=0\text{.} \]
Ahora bien, para cualquier número complejo\(\beta\) la suma\(\beta+\overline{\beta}\) es un número real, por lo que en la expresión anterior,\(d-(\dfrac{\alpha b}{a} + {\dfrac{\overline{\alpha b}}{\overline{a}}})\) es un número real. Por lo tanto, todos\(w\) en\(T(L)\) satisfacer una ecuación de línea. Es decir,\(T(L)\) es una línea.
- La prueba de esta parte se deja como ejercicio.
La imagen del disco\(D = \{z \in \mathbb{C}~|~|z-2i| \leq 1\}\) bajo la transformación\(T: \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) dada por\(T(z) = 2z + (4-i)\) es el disco\(T(D)\) centrado en\(4+3i\) con el radio\(2\) como se muestra a continuación.
Nos interesará trabajar con transformaciones que preserven ángulos entre curvas suaves. Una curva plana es una función que\(\boldsymbol{r}:[a,b] \to \mathbb{C}\) mapea un intervalo de números reales en el plano. Una curva es suave si su derivada existe y es distinta de cero en cada punto. Supongamos\(\boldsymbol{r}_1\) y\(\boldsymbol{r}_2\) son dos curvas suaves en\(\mathbb{C}\) que se cruzan en un punto. El ángulo entre las curvas medidas\(\boldsymbol{r}_1\) a partir del\(\boldsymbol{r}_2\text{,}\) cual denotamos por\(\angle(\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2)\text{,}\) se define como el ángulo entre las líneas tangentes en el punto de intersección.
Una transformación\(T\) de\(\mathbb{C}\) conserva los ángulos en el punto\(z_0\) si\(\angle(\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2) =\angle(T(\boldsymbol{r}_1),T(\boldsymbol{r}_2))\) para todas las curvas suaves\(\boldsymbol{r}_1\) y\(\boldsymbol{r}_2\) que se cruzan en\(z_0\text{.}\) Una transformación\(T\) de\(\mathbb{C}\) preserva los ángulos si conserva los ángulos en todos los puntos en \(\mathbb{C}\text{.}\)Una transformación\(T\) de\(\mathbb{C}\) conserva magnitudes de ángulo si, en cualquier punto\(\mathbb{C}\text{,}\)\(|\angle(\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2)| =|\angle(T(\boldsymbol{r}_1),T(\boldsymbol{r}_2))|\) para todas las curvas suaves\(\boldsymbol{r}_1\) e\(\boldsymbol{r}_2\) intersectando en el punto.
Las transformaciones lineales generales preservan los ángulos.
- Prueba
-
Supongamos\(T(z) = az+b\) donde\(a \neq 0\text{.}\) Dado que el ángulo entre curvas se define como el ángulo entre sus líneas tangentes, basta con verificar que se conserve el ángulo entre dos líneas. Supongamos\(L_1\) y se\(L_2\) cruzan en\(z_0\text{,}\) y\(z_i\) está encendido\(L_i\) para\(i = 1,2\text{,}\) como en el siguiente diagrama.
Entonces,
\[ \angle(L_1,L_2) = \arg\bigg(\dfrac{z_2-z_0}{z_1 - z_0}\bigg)\text{.} \]
Dado que las transformaciones lineales generales preservan las líneas,\(T(L_i)\) es la línea a través\(T(z_0)\) y\(T(z_i)\) para\(i = 1,2\) y se deduce que
\ begin {alinear*}\ ángulo (T (L_1), T (L_2)) & =\ arg\ bigg (\ dfrac {T (z_2) -T (z_0)} {T (z_1) -T (z_0)}\ bigg)\\ & =\ arg\ bigg (\ dfrac {az_2+b-az_0-b} az_1+b-az_0-b}\ bigg)\\ & =\ arg\ bigg (\ dfrac {z_2-z_0} {z_1-z_0}\ bigg)\\ & =\ ángulo (L_1, L_2)\ texto {.} \ end {alinear*}
Así\(T\) preserva los ángulos.
Un punto fijo de una transformación\(T: A \to A\) es un elemento\(a\) en el conjunto\(A\) tal que\(T(a) = a\text{.}\)
Si\(b \neq 0\text{,}\) la traducción\(T_b\) de no\(\mathbb{C}\) tiene puntos fijos. Las rotaciones\(\mathbb{C}\) y dilataciones de\(\mathbb{C}\) tienen un solo punto fijo, y la transformación lineal general\(T(z) = az + b\) tiene un punto fijo siempre y cuando\(a \neq 1\text{.}\) Para encontrar este punto fijo, resuelva
\[ z = az + b \]
\(z\text{.}\)for Por ejemplo, el punto fijo de la transformación\(T(z) = 2z + (4-i)\) del Ejemplo 3.1.6 se encuentra resolviendo\(z = 2z + 4 - i\text{,}\) para\(z\text{,}\) qué rinde\(z =-4 + i\text{.}\) Así, mientras el mapa\(T(z) = 2z + (4-i)\) mueve el disco\(D\) en el ejemplo al disco\(T(D)\text{,}\) el punto\(-4+i\) felizmente permanece donde está.
Una isometría euclidiana es una transformación\(T\) de\(\mathbb{C}\) con la característica que\(|T(z)-T(w)| = |z-w|\) para cualquier punto\(z\) y\(w\) en Es\(\mathbb{C}\text{.}\) decir, una isometría euclidiana conserva la distancia euclidiana entre dos puntos cualesquiera.
Quizás esté claro que las traducciones, que mueven cada punto del plano por la misma cantidad en la misma dirección, deberían ser isometrías. Las rotaciones también son isometrías. De hecho, la transformación lineal general\(T(z)=az+b\) será una isometría euclidiana siempre y cuando\(|a|=1\text{:}\)
\ begin {alinear*} |T (z) -T (w) | & = |az + b - (aw + b) |\\ & = |a (z-w) |\\ & = |a| |z-w|\ texto {.} \ end {alinear*}
Entonces, las\(|T(z)-T(w)|=|z-w| \iff |a|=1\text{.}\) traducciones y rotaciones alrededor de un punto en\(\mathbb{C}\) son transformaciones lineales generales de este tipo, por lo que también son isometrías euclidianas.
La reflexión sobre una línea\(L\) es la transformación de\(\mathbb{C}\) definida de la siguiente manera: Cada punto en\(L\) se envía a sí mismo, y si no\(z\) está en\(L\text{,}\) ella se envía al punto\(z^*\) tal que la línea\(L\) es la bisectriz perpendicular del segmento\(zz^*\text{.}\)
La reflexión sobre\(L\) se define algebraicamente de la siguiente manera. Si\(L\) pasa a ser el eje real entonces
\[ r_L(z) = \overline{z}\text{.} \]
Para cualquier otra línea\(L\) podemos llegar a una fórmula para la reflexión girando y/o trasladando la línea al eje real, luego tomando el conjugado, y luego invirtiendo la rotación y/o traslación.
Por ejemplo, para describir la reflexión sobre la línea\(y = x + 5\text{,}\) podemos traducir verticalmente\(-5i\text{,}\) girando por\(-\dfrac{\pi}{4}\text{,}\) reflejar alrededor del eje real, rotar por\(\dfrac{\pi}{4}\text{,}\) y finalmente traducir por\(5i\) para obtener la composición
\ begin {alinear*} z &\ mapsto z - 5i\ &\ mapsto e^ {-\ dfrac {\ pi} {4} i} (z - 5i)\ &\ mapsto\ overline {e^ {-\ dfrac {\ pi} {4} i} (z - 5i)} = e^ {\ dfrac {\ pi} {4} i} (\ overline {z} + 5i)\\ &\ mapsto e^ {\ dfrac {\ pi} {4} i}\ cdot e^ {\ dfrac {\ pi} {4} i} (\ overline {z} + 5i) =e^ {\ dfrac {\ pi} {2} i} (\ overline {z} +5i)\ &\ mapsto e^ {\ dfrac {\ pi} {2} i} (\ overline {z} +5i) + 5i\ texto {.} \ end {alinear*}
Simplificando (y señalando que\(e^{\dfrac{\pi}{2}i} = i\)), la reflexión sobre la línea\(L: y = x + 5\) tiene fórmula
\[ r_L(z) = i\overline{z} - 5 + 5i\text{.} \]
En general, la reflexión a través de cualquier línea\(L\) en\(\mathbb{C}\) tendrá la forma
\[ r_L(z) = e^{i\theta}\overline{z}+b \]
para algún ángulo\(\theta\) y alguna constante compleja\(b\text{.}\)
Las reflexiones son transformaciones más básicas que las rotaciones y las traslaciones, ya que estas últimas son simplemente cuidadosas composiciones de reflexiones.
Una traducción de\(\mathbb{C}\) es la composición de reflexiones sobre dos líneas paralelas. Una rotación de\(\mathbb{C}\) alrededor de un punto\(z_0\) es la composición de reflexiones sobre dos líneas que se cruzan en\(z_0\text{.}\)
- Prueba
-
Dada la traslación\(T_b(z) = z + b\) dejó\(L_1\) ser la línea a través del origen que es perpendicular al segmento\(0b\) como se muestra en la Figura 3.1.18 (a). Dejar\(L_2\) ser la línea paralela a\(L_1\) través del punto medio del segmento\(0b\text{.}\) También vamos a\(r_i\) denotar reflexión sobre la línea\(L_i\) para\(i = 1,2\text{.}\)
Ahora, dado cualquiera\(z\) en\(\mathbb{C}\text{,}\) dejar\(L\) ser la línea a través de\(z\) que es paralela al vector\(b\) (y por lo tanto perpendicular a\(L_1\) y\(L_2\)). La imagen de\(z\) debajo de la composición\(r_2 \circ r_1\) estará en esta línea. Para encontrar la ubicación exacta, deje\(z_1\) ser la intersección de\(L_1\) y\(L\text{,}\) y\(z_2\) la intersección de\(L_2\) y\(L\text{,}\) (ver la figura). Para reflexionar\(z\) sobre\(L_1\) necesitamos traducirlo a lo largo\(L\) dos veces por el vector\(z_1 - z\text{.}\) Así\(r_1(z) = z + 2(z_1 - z) = 2z_1-z\text{.}\)
A continuación, para reflexionar\(r_1(z)\) sobre\(L_2\text{,}\) necesitamos traducirlo dos\(L\) veces por el vector\(z_2 - r_1(z)\text{.}\) Así,
\[ r_2(r_1(z)) = r_1(z) + 2(z_2 - r_1(z)) = 2z_2 - r_1(z) = 2z_2 - 2z_1 + z\text{.} \]
Aviso de la Figura\(\PageIndex{1}\) (a) que\(z_2 - z_1\) es igual a\(b/2\text{.}\) Así\(r_2(r_1(z)) = z + b\) es la traducción por\(b\text{.}\)
La rotación alrededor del punto\(z_0\) por ángulo se\(\theta\) puede lograr mediante dos reflexiones. La primera reflexión es alrededor de la línea\(L_1\)\(z_0\) paralela al eje real, y la segunda reflexión es alrededor de la línea\(L_2\) que se cruza\(L_1\)\(z_0\) en un ángulo de\(\theta/2\text{,}\) como en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b). En los ejercicios demostrarás que esta composición de reflexiones sí da la rotación deseada.
Enumeramos algunas características elementales de las reflexiones en el siguiente teorema. No los probamos aquí pero te animamos a trabajar a través de los detalles. Enfocaremos nuestros esfuerzos en la siguiente sección en probar características análogas para las transformaciones de inversión, que son reflexiones sobre círculos.
La reflexión a través de una línea es una isometría euclidiana. Además, cualquier reflexión envía líneas a líneas, envía círculos a círculos y conserva magnitudes de ángulo.
De hecho, se puede demostrar que cualquier isometría euclidiana puede expresarse como la composición de como máximo tres reflexiones. Véase, por ejemplo, Stillwell [10] para una prueba de este hecho.
Cualquier isometría euclidiana es la composición de, como máximo, tres reflexiones.
Ejercicios
¿Es\(T(z) = -z\) una traslación, dilatación, rotación, o ninguna de las anteriores?
Mostrar que la transformación lineal general\(T(z) = a z + b\text{,}\) donde\(a\) y\(b\) son constantes complejas, es la composición de una rotación, seguida de una dilatación, seguida de una traslación.
- Pista
-
Ver la constante compleja\(a\) en forma polar.
Demostrar que una transformación lineal general mapea círculos a círculos.
Supongamos que\(T\) es una rotación por\(30^{\circ}\) alrededor del punto\(2\), y\(S\) es una rotación por\(45^{\circ}\) alrededor del punto\(4\). ¿Qué es ¿\(T\circ S\text{?}\)Puedes describir esta transformación geométricamente?
Supongamos\(T(z) = iz + 3\) y\(S(z) = -iz + 2\text{.}\) Encuentra\(T\circ S\text{.}\) ¿Qué tipo de transformación es esta?
Encuentra una fórmula para una transformación de\(\mathbb{C}\) que mapee el disco abierto\(D = \{z ~|~ |z| \lt 2\}\) al disco abierto ¿\(D^\prime = \{ z ~|~ |z - i| \lt 5\}\text{.}\)Es esta transformación única, o puedes pensar en dos diferentes que funcionen?
Encuentra una fórmula para reflexionar sobre la línea vertical\(x = k\text{.}\)
Encuentra una fórmula para reflexionar sobre la línea horizontal\(y = k\text{.}\)
Encuentra una fórmula para reflexionar en el plano sobre la línea\(y = mx + b\text{,}\) donde\(m \neq 0\text{.}\)
- Pista
-
Piensa en qué ángulo hace esta línea con el\(x\) eje positivo.
Demostrar que la construcción en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b) determina la rotación deseada.
\(S(z) = kz\)es una dilatación sobre el origen. Encontrar una ecuación para una dilatación de\(\mathbb{C}\) por factor\(k\) sobre un punto arbitrario\(z_0\) en\(\mathbb{C}\text{.}\)