3: Transformaciones

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Las transformaciones serán el foco de este capítulo. Son funciones ante todo, a menudo utilizadas para empujar objetos de un lugar en un espacio a un lugar más conveniente, pero las transformaciones hacen mucho más. Serán utilizados para definir diferentes geometrías, y pensaremos en una transformación en términos de los tipos de objetos (y funciones) que no se ven afectados por ella.

3.1: Transformaciones básicas de números complejos
En esta sección, desarrollamos las siguientes transformaciones básicas del plano, así como algunas de sus características importantes.
3.2: Inversión
La inversión ofrece una manera de reflejar puntos a través de un círculo. Esta transformación juega un papel central en la visualización de las transformaciones de la geometría no euclidiana, y esta sección es la base de gran parte de lo que sigue.
3.3: El plano extendido
Considere nuevamente la inversión sobre el círculo C dado por |z−z_0|=r, y observe que los puntos cercanos a z_0 se mapean a puntos en el plano lejos de z_0. De hecho, una secuencia de puntos en números complejos cuyo límite es z_0 se invertirá a una secuencia de puntos cuyas magnitudes van a ∞. Por el contrario, cualquier secuencia de puntos en números complejos que tengan magnitudes que marquen a ∞ se invertirá a una secuencia de puntos cuyo límite es z_0.
3.4: Transformaciones de Möbius
Si componemos dos transformaciones de Möbius, el resultado es otra transformación de Möbius. Dado que las transformaciones de Möbius están compuestas por inversiones, abrazarán las cualidades más finas de las inversiones. Por ejemplo, dado que la inversión conserva clines, también lo hacen las transformaciones de Möbius, y dado que la inversión conserva magnitudes de ángulo, las transformaciones de Möbius conservan los ángulos (como un número par de inversiones).
3.5: Transformaciones de Möbius: Una mirada más cercana
Para visualizar las transformaciones de Möbius es útil enfocarse en puntos fijos y, en el caso de dos puntos fijos, en dos familias de clines con respecto a estos puntos.