3.2: Inversión
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La inversión ofrece una manera de reflejar puntos a través de un círculo. Esta transformación juega un papel central en la visualización de las transformaciones de la geometría no euclidiana, y esta sección es la base de gran parte de lo que sigue.
Supongamos que\(C\) es un círculo con radio\(r\) y centro La\(z_0\text{.}\) inversión en el círculo\(C\) envía un punto\(z \neq z_0\) al punto\(z^*\) definido de la siguiente manera: Primero, construye el rayo de\(z_0\) a través\(z\text{.}\) Entonces, deja\(z^*\) ser el punto único en este rayo que satisface la ecuación
\[ |z-z_0|\cdot|z^*-z_0| = r^2\text{.} \]
El punto\(z^*\) se llama el punto simétrico\(z\) con respecto a\(C\text{.}\)
La inversión en un círculo centrado en\(z_0\) es una transformación en el conjunto\(\mathbb{C}-\{z_0\}\) que consiste en todos los números complejos excepto Usualmente\(z_0\text{.}\) denotamos inversión en el círculo\(C\) por Por\(i_C(z) = z^*\text{.}\) En la siguiente sección discutiremos cómo extender esta transformación de manera que incluya el centro \(z_0\text{.}\)
Trabajarás a través de varias características de las inversiones de círculo en los ejercicios, incluyendo cómo construir puntos de simetría con brújula y regla (ver Figura\(\PageIndex{5}\)). Observamos aquí que\(i_C\) fija todos los puntos en el círculo\(C\text{,}\) y los puntos dentro del círculo se mapean a puntos fuera del círculo y viceversa. Cuanto más\(z\) se acerca al centro del círculo, más lejos\(i_C(z)\) se obtiene del círculo.
El círculo unitario en\(\mathbb{C}\text{,}\) denotado\(\mathbb{S}^1\text{,}\) es el círculo con centro\(z_0 = 0\) y radio\(r = 1\text{.}\) La ecuación para el punto\(z^*\) simétrico a un punto\(z \neq 0\) con repsect para\(\mathbb{S}^1\) así reducir de\(|z-z_0|\cdot|z^*-z_0| = r^2\) a
\[ |z|\cdot|z^*| = 1\text{.} \]
Además,\(z^*\) es solo una versión a escala de\(z\) ya que están en el mismo rayo a través del origen. Es decir,\(z^* = kz\) para algún número real positivo\(k\text{.}\) Enchufe esta descripción de\(z^*\) en la ecuación de punto de simetría para ver lo\(|z| \cdot |kz| = 1\text{,}\) que implica\(k = 1/|z|^2\text{.}\)\(|z|^2 = z \cdot \overline{z}\text{,}\) Así,\(z^*=(1/|z|^2)z\text{.}\) Además, así la inversión en el círculo unitario\(\mathbb{S}^1\) puede escribirse como
\[ i_{\mathbb{S}^1}(z) = 1/\overline{z}\text{.} \]
La siguiente fórmula para la inversión alrededor de un círculo arbitrario se puede obtener por composición de inversión en el círculo unitario con algunas transformaciones lineales generales. Los detalles se dejan a Ejercicio\(3.2.1\).
La inversión en el círculo\(C\) centrado en\(z_0\) con radio\(r\) viene dada por
\ begin {align*} i_c (z) & =\ frac {r^2} {(\ overline {z-z_0})} + z_0\ text {.} \ end {alinear*}
Abajo hemos invertido un círculo, la letra 'M, y una pequeña cuadrícula a través del círculo\(C\) centrada en\(z_0\text{.}\) Parece que la imagen del círculo es otro círculo, que pronto probaremos es el caso. También probaremos que las líneas que no se cruzan con el centro de\(C\) se invierta en círculos. De ello se deduce que los segmentos de línea en la 'M' se mapean a arcos de círculos.
Como\(\PageIndex{2}\) sugiere Ejemplo, la distinción entre líneas y círculos se enturbió un poco por la inversión. Una línea puede mapearse a un círculo y viceversa. En lo que sigue, será útil ver la reflexión en una línea y la inversión en un círculo como casos especiales del mismo mapa general. Para llegar a esta vista primero hacemos líneas y círculos casos especiales del mismo tipo general de figura.
Una clina es un círculo o línea euclidiana. Cualquier clina puede ser descrita algebraicamente por una ecuación de la forma
\[ cz\overline{z} + \alpha z + \overline{\alpha}\overline{z} + d = 0 \]
donde\(z = x + yi\) es una variable compleja,\(\alpha\) es una constante compleja, y\(c, d\) son números reales. Si\(c = 0\) la ecuación describe una línea, y si\(c \neq 0\) y\(|\alpha|^2 > cd\) la ecuación describe un círculo.
La palabra “cline” (pronunciada 'Klein') puede parecer un poco forzada, pero representa el cambio de pensamiento que pretendemos lograr. Tenemos que empezar a pensar en líneas y círculos como diferentes manifestaciones de una misma clase general de objetos. ¿Qué clase? La clase de clines.
Dejar\(\alpha = a + bi\) y\(z = x + yi\text{,}\) la ecuación cline se\(cz\overline{z} + \alpha z + \overline{\alpha} \overline{z} + d = 0\) puede escribir como
\[ c(x^2+y^2)+[ax - by + (ay+bx)i]+[ax-by - (ay+bx)i] + d = 0 \]
lo que simplifica
\[ c(x^2+y^2) + 2(ax - by) + d = 0\text{.} \]
Si\(c = 0\) entonces tenemos la ecuación de una línea, y si\(c \neq 0\) tenemos la ecuación de un círculo, siempre y cuando\(a^2 + b^2 > cd\text{.}\) En este caso, la ecuación se puede poner en forma estándar completando el cuadrado. Repasemos por esto.
Si\(c \neq 0\text{,}\)
y tenemos la ecuación de un círculo siempre y cuando el lado derecho (el término radio) sea positivo. Es decir, tenemos la ecuación de un círculo siempre y cuando\(a^2 + b^2>cd\text{.}\) Resumimos esta información a continuación.
Dado\(c, d \in \mathbb{R}\text{,}\)\(\alpha \in \mathbb{C}\text{,}\) si\(c \neq 0\text{,}\) la ecuación cline
\[ cz\overline{z} + \alpha z + \overline{\alpha} \overline{z} + d = 0 \]
da un círculo con centro\(z_0\) y radio\(r\text{,}\) donde
\[ z_0=\bigg(-\frac{\text{Re}(\alpha)}{c}, \frac{\text{Im}(\alpha)}{c}\bigg)~~~\text{and}~~~ r = \sqrt{\frac{|\alpha|^2-cd}{c^2}}\text{,} \]
siempre y cuando\(|\alpha|^2 > cd\text{.}\) Si\(c = 0\text{,}\) la ecuación cline da una línea.
A partir de ahora, si lees la frase “inversión en un cline”, sepa que esto significa inversión en círculo o reflexión sobre una línea, y si alguien te entrega un cline\(C\text{,}\) podrías decir: “¡Gracias! Por cierto, ¿esto es una línea o un círculo?”
Observamos aquí la construcción de una clina a través de tres puntos en\(\mathbb{C}\text{.}\) Esta construcción se utiliza a menudo en capítulos posteriores para generar figuras en geometría no euclidiana.
Existe un cline único a través de tres puntos distintos en\(\mathbb{C}\text{.}\)
- Prueba
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Supongamos\(u\text{,}\)\(v\text{,}\) y\(w\) son distintos números complejos. Si\(v\) está en la línea a través\(u\) y\(w\) entonces esta línea es el cline único a través de los tres puntos. De lo contrario, los tres puntos no se encuentran en una sola línea, y podemos construir un círculo a través de estos tres puntos como se demuestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Construir la bisectriz perpendicular a segmento\(uv\text{,}\) y la bisectriz perpendicular al segmento\(vw\text{.}\) Estos bisectores se cruzarán porque los tres puntos no son colineales. Si llamamos al punto de intersección\(z_0\text{,}\) entonces el círculo centrado a\(z_0\) través\(w\) es el cline único a través de los tres puntos.
La inversión en un círculo mapea clines a clines. En particular, si una clina pasa por el centro del círculo de inversión, su imagen será una línea; de lo contrario la imagen de una clina será un círculo.
- Prueba
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Demostramos el resultado en el caso de inversión en el círculo unitario. Luego seguirá la prueba general, ya que cualquier inversión es la composición de esta inversión particular junto con las traducciones y dilataciones, que también conservan clinos por Teorema\(3.1.2\).
Supongamos que la clina\(C\) está descrita por la ecuación clina
\[ cz\overline{z}+\alpha z + \overline{\alpha} \overline{z} + d = 0\text{,} \]
donde\(c, d \in \mathbb{R}\text{,}\)\(\alpha \in \mathbb{C}\text{.}\)
Queremos mostrar que la imagen de esta clina bajo inversión en el círculo unitario,\(i_{\mathbb{S}^1}(C)\text{,}\) es también una clina. Pues,\(i_{\mathbb{S}^1}(C)\) consiste en todos los puntos\(w = 1/\overline{z}\text{,}\) donde\(z\) satisface la ecuación cline para\(C\text{.}\) Demostramos que todos esos\(w\) viven en un cline.
Si\(z \neq 0\) entonces podemos multiplicar cada lado de la ecuación cline por\(1/(z\cdot \overline{z})\) para obtener
\[ c +\alpha \frac{1}{\overline{z}} + \overline{\alpha} \frac{1}{z} +d\frac{1}{z}\frac{1}{\overline{z}}=0\text{.} \]
Pero desde\(w = 1/\overline{z}\) y\(\overline{w} = 1/z\text{,}\) esta ecuación se reduce a
\[ c +\alpha\cdot w + \overline{\alpha} \cdot \overline{w} + dw\overline{w}=0\text{,} \]
o
\[ dw\overline{w} + \alpha \cdot w + \overline{\alpha} \cdot \overline{w} + c = 0\text{.} \]
Así, los puntos de imagen\(w\) forman una ecuación clina. Si\(d = 0\) entonces la clina original\(C\) pasó por el origen, y la imagen cline es una línea. Si\(d \neq 0\) entonces\(C\) no pasó por el origen, y la imagen cline es un círculo. (De hecho, también debemos verificar que\(|\alpha |^2 > dc\text{.}\) Este es el caso porque la ecuación cline original asegura\(|\alpha|^2 > cd\text{.}\))
Llamaremos ortogonales a dos clines si se cruzan en ángulo recto. Por ejemplo, una línea es ortogonal a un círculo si y solo si pasa por el centro del círculo. Una característica muy importante de la inversión en\(C\) es que clines ortogonales para invertirse\(C\) a sí mismos. Para probar este hecho, primero probamos el siguiente resultado, que se puede encontrar en Elementos de Euclides (Libro III, Proposición\(36\)).
Supongamos que\(C\) es el círculo con radio\(r\) centrado en\(o\text{,}\) y\(p\) es un punto fuera de\(C\text{.}\) Let\(s = |p-o|\text{.}\) Si una línea a través\(p\) se cruza\(C\) en puntos\(m\) y\(n\text{,}\) luego
\[ |p-m|\cdot|p-n|=s^2-r^2\text{.} \]
- Prueba
-
Supongamos que la línea a través\(p\) no pasa por el centro de\(C\text{,}\) como en el diagrama a continuación. Dejar\(q\) ser el punto medio de segmento\(mn\text{,}\) y dejar\(d = |q - o|\) como en el diagrama. Obsérvese también que la línea a través\(q\) y\(o\) es la bisectriz perpendicular del segmento\(mn\text{.}\) En particular,\(|m-q|=|q-n|\text{.}\)
El teorema de Pitágoras aplicado a\(\Delta pqo\) da
\[|p-q|^2 + d^2 = s^2, \label{3.2.1}\]
y el teorema de Pitágoras aplicado a\(\Delta nqo\) da
\[ |q-n|^2 + d^2 = r^2. \label{3.2.2}\]
Al restar la ecuación (\(\ref{3.2.2}\)) de (\(\ref{3.2.1}\)), tenemos
\[ |p-q|^2-|q-n|^2 = s^2-r^2\text{,} \]
que factores como
\[ (|p-q|-|q-n|)(|p-q|+|q-n|) = s^2-r^2\text{.} \]
Desde\(|p-q|-|q-n| = |p-m|\) y\(|p-q| + |q-n| = |p-n|\text{,}\) el resultado sigue.
El caso por el que la línea\(p\) pasa por el centro de\(C\) se deja como ejercicio.
Observamos que la cantidad\(s^2-r^2\) en el lema anterior a menudo se llama la potencia del punto\(p\) con respecto al círculo Es\(C\text{.}\) decir, si círculo\(C\) tiene radio\(r\) y un punto\(p\) es una\(s\) distancia del centro de\(C\) entonces la cantidad\(s^2-r^2\) se llama el poder del punto\(p\text{.}\)
Supongamos que\(C\) es un círculo\(\mathbb{C}\) centrado en\(z_0\text{,}\) y no\(z\neq z_0\) está en\(C\text{.}\) A cline through\(z\) es ortogonal a\(C\) si y solo si pasa por\(z^*\text{,}\) el punto simétrico\(z\) con respecto a\(C\text{.}\)
- Prueba
-
Supongamos que\(C\) es el círculo de radio\(r\) centrado en\(z_0\text{,}\) y\(D\) es un cline a través de un punto\(z \neq z_0\) no en\(C\text{.}\) Let\(z^*\) denotar el punto simétrico\(z\) con respecto a\(C\text{.}\)
Primero, supongamos que\(D\) es una línea a\(z\text{.}\) través de A línea\(z\) pasa a través de\(z^*\) si y solo si pasa por el centro de la\(C\text{,}\) cual es verdadera si y solo si la línea es ortogonal a\(C\text{.}\) Así, la línea\(D\) a través\(z\) contiene\(z^*\) si y sólo si es ortogonal a\(C\text{,}\) y el teorema se prueba en este caso.
Ahora supongamos que\(D\) es un círculo a través de\(z\text{.}\) Let\(o\) y\(k\) denotar el centro y el radio de\(D\text{,}\) respectivamente. Establecer\(s = |z_o-o|\text{,}\) y dejar\(t\) denotar un punto de intersección de\(C\) y\(D\) como se muestra a continuación.
Debemos argumentar que\(C\) y\(D\) son ortogonales si y sólo si\(z^*\) está en\(D\text{.}\) Ahora,\(C\) y\(D\) son ortogonales si y sólo si\(\angle otz_0\) es correcto, que es el caso si y sólo si\(r^2 = s^2-k^2\) por el teorema de Pitágoras. Aplicando Lema\(3.2.1\) al punto\(z_0\) (que está afuera\(D\)) y la línea a través\(z_0\) y\(z\text{,}\) vemos que
\[ |z_0-z|\cdot|z_0-w| = s^2-k^2, \label{3.2.3}\]
donde\(w\) está el segundo punto de intersección de la línea con círculo\(D\text{.}\)
Tenga en cuenta también que como puntos simétricos,\(z\) y\(z^*\) satisfacer la ecuación
\[ |z_0-z|\cdot|z_0-z^*| = r^2. \label{3.2.4}\]
Así, si asumimos que\(z^*\) está encendido\(D\text{,}\) entonces debe ser igual al punto\(w\text{,}\) en el que caso las ecuaciones (\(\ref{3.2.3}\)) y (\(\ref{3.2.4}\)) anteriores nos dicen De\(s^2-k^2 = r^2\text{.}\) ello se deduce que\(D\) es ortogonal a la\(C\text{.}\) inversa, si\(D\) es ortogonal a\(C\text{,}\) entonces\(s^2-k^2=r^2\text{,}\) así \(|z_0-w|=|z_0-z^*|\text{.}\)Ya que\(z^*\) y ambos\(w\) están en el rayo\(\overrightarrow{z_0z}\) debe ser que\(z^* = w\text{.}\) en otras palabras,\(z^*\) está encendido\(D\text{.}\)
Inversión en\(C\) toma clines ortogonales\(C\) a sí mismos.
La inversión en un cline conserva las magnitudes de ángulo.
- Prueba
-
El resultado fue declarado para líneas en Teorema\(3.1.5\). Aquí asumimos que\(C\) es un círculo de inversión. Considera dos curvas\(\boldsymbol{r_1}\) y\(\boldsymbol{r_2}\) que se cruzan en un punto\(z\) que no está en\(C\) o en el centro de\(C\text{.}\) Recall,\(\angle(\boldsymbol{r_1},\boldsymbol{r_2}) = \angle(L_1,L_2)\) donde\(L_i\) está la línea tangente\(\boldsymbol{r_i}\) a curva en\(z\text{,}\) para\(i = 1,2\text{.}\) Podemos describir este ángulo con dos círculos\(C_1\) y\(C_2\) tangente a las líneas tangentes\(L_1\) y\(L_2\text{,}\) respectivamente, con la característica adicional de que los círculos se encuentran con el círculo de inversión\(C\) en ángulos rectos, como en la Figura\(3.2.2\). En efecto,\(C_1\) es el círculo a través\(z\) y\(z^*\) cuyo centro está en la intersección de líneas\(m_1\) y\(k\text{,}\) donde\(m_1\) está la línea a través\(z\) que es perpendicular a\(L_1\text{,}\) y\(k\) es la bisectriz perpendicular del segmento\(zz^*\text{.}\) Círculo\(C_2\) también pasa a través\(z\) y\(z^*\text{,}\) y su centro está en la intersección de\(k\) y la línea\(m_2\) a través de\(z\) que es perpendicular a\(L_2\text{.}\)
Figura\(\PageIndex{2}\): La inversión en círculo conserva las magnitudes de ángulo. (Copyright; autor vía fuente) La ventaja de describir\(\angle(L_1,L_2)\) con estos círculos es que la imagen del ángulo, también\(\angle(i_C(L_1),i_C(L_2))\text{,}\) es descrita por estos dos círculos, en su otro punto de intersección\(z^*\text{.}\) Observe que estos ángulos tendrán signos opuestos. Por ejemplo, en la Figura\(3.2.2\), nuestro ángulo inicial es negativo, descrito por el arco de barrido en\(C_1\) sentido horario sobre\(C_2\text{,}\) pero en la imagen,\(i_C(C_2)\text{.}\) barremos en\(i_C(C_1)\) sentido antihorario hacia Lo dejamos como un ejercicio para que el lector compruebe que el ángulo de intersección de\(C_1\) y \(C_2\)at\(z^*\) es la misma magnitud que el ángulo entre\(C_1\) y\(C_2\) en\(z\text{.}\)
Ahora mostramos que la inversión conserva las magnitudes de ángulo para los ángulos que ocurren en el círculo\(C\) (es decir,\(z\) está encendido\(C\)). Dejar\(C^\prime\) ser un círculo concéntrico a\(C\text{.}\) Entonces\(i_C(z) = S\circ i_{C^\prime}\) donde\(S\) está una dilatación de\(\mathbb{C}\) cuyo punto fijo es el centro común de los círculos\(C\) y\(C^\prime\) (ver Ejercicio\(3.2.12\)). Dado que nuestro ángulo no está en círculo\(C^\prime\text{,}\)\(i_{C^\prime}\) conserva la magnitud del ángulo por razón del argumento anterior. La dilatación\(S\) conserva ángulos según el Teorema\(3.1.5\). Así\(i_C\) se preservan las magnitudes de ángulo también. Dejamos el caso del ángulo que ocurre en el origen a la siguiente sección. Teniendo en cuenta esa excepción, con ello se completa la prueba.
Otra característica importante de la inversión en un cline es que conserva los puntos de simetría.
Dejar\(i_C\) denotar inversión en un cline\(C\text{.}\) Si\(p\) y\(q\) son simétricos con respecto a un clino\(D\text{,}\) entonces\(i_C(p)\) y\(i_C(q)\) son simétricos con respecto a la clina\(i_C(D)\text{.}\)
- Prueba
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Asumir\(C\) es la clina de inversión, y asumir\(p\) y\(q\) son simétricos con respecto a una clina\(D\) como en la Figura\(3.2.3\) (donde\(C\) y\(D\) se representan como círculos).
Figura\(\PageIndex{3}\): La inversión conserva los puntos de simetría: Si\(p\) y\(q\) son simétricos con respecto a\(D\) e invertimos sobre cline\(C\) entonces los puntos de imagen son simétricos con respecto a la imagen de\(D\text{.}\) (Copyright; autor vía fuente) Podemos construir dos clinos\(E\) y\(F\) que atraviesan\(p\) y\(q\text{.}\) en la figura, cline\(E\) es un círculo y cline\(F\) es una línea. Estos clinos se cruzan\(D\) en ángulos rectos (Teorema\(3.2.3\)). Dado que la inversión conserva clinos y magnitudes de ángulo, lo sabemos\(E^*=i_C(E)\) y\(F^*=i_C(F)\) son clinos que se cruzan con el cline\(D^*=i_C(D)\) en ángulo recto. Ambos\(E^*\) y\(F^*\) contienen\(p^*=i_C(p)\text{,}\) por lo que ambos contienen el punto simétrico\(p^*\) con respecto a\(D^*\) (Teorema\(3.2.3\)), pero el único otro punto común a ambos\(E^*\) y\(F^*\) es\(q^* = i_C(q)\text{.}\) Así,\(p^*\) y\(q^*\) son simétricos con respecto a\(D^*\text{.}\)
Cerramos la sección con dos aplicaciones de inversión.
Dejar\(p,q\) ser distintos puntos en\(\mathbb{C}\text{,}\) y\(k > 0\) un número real positivo. Vamos a\(D\) constar de todos los puntos\(z\) en\(\mathbb{C}\) tal que\(|z-p| = k|z - q|.\) Entonces\(D\) es un cline.
- Prueba
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Si\(k = 1\text{,}\) el conjunto\(D\) es una línea euclidiana, según el Teorema\(2.4.1\), entonces asumimos\(k \neq 1\text{.}\) Let\(C\) ser el círculo centrado en\(p\) con radio\(1\). Supongamos que\(z\) es un punto arbitrario en el conjunto\(D\text{.}\) Invertir sobre\(C\text{,}\) let\(z^* = i_C(z)\) y\(q^* = i_C(q)\) como en el siguiente diagrama.
Observe primero eso\(\Delta pz^*q^*\) y\(\Delta pqz\) son similares.
De hecho,\(|p-z|\cdot|p-z^*|=1=|p-q|\cdot|p-q^*|\) por la definición de la transformación de inversión, por lo que tenemos relaciones de longitud lateral iguales
\[ \frac{|p-z^*|}{|p-q|}=\frac{|p-q^*|}{|p-z|}\text{,} \]
y los ángulos incluidos son iguales,\(\angle q^*pz^* = \angle qpz\text{.}\)
De ello se deduce que
\[ \frac{|z-q|}{|p-q|}=\frac{|z^*-q^*|}{|z^*-p|}\text{,} \]
de la que derivamos
\ begin {align*} |z^*-q^*|& =|z^*-p|\ cdot\ frac {|z-q|} {|p-q|}\\ & = [|z^*-p|\ cdot|z-p|]\ cdot\ frac {|z-q|} {|z-p|}\ cdot\ frac {1} {|p-q|}\\ & = 1\ cdot\ frac {1} {k}\ cdot\ frac {1} {|p-q|}\ texto {.} \ end {alinear*}
Así, el conjunto\(D\) de todos los puntos\(z\) satisfactorios\(|z-p|=k|z-q|\) tiene imagen\(i_C(D)\) bajo esta inversión que consiste en todos los puntos\(z^*\) en un círculo centrado en\(q^*\) con radio\((k|p-q|)^{-1}\text{.}\) Ya que la inversión conserva clines y no\(p\) está en\(i_C(D)\text{,}\) ello se deduce que\(D\) sí mismo es un círculo.
A medida que dejamos\(k\) correr a través de todos los números reales positivos, obtenemos una familia de clines, llamados los círculos de Apolonio de los puntos\(\boldsymbol{p}\) y\(\boldsymbol{q}\). Observamos que\(p\) y\(q\) son simétricos con respecto a cada clino de esta familia (ver Ejercicio\(3.3.2\)).
Supongamos que tenemos dos clines que no se cruzan, y al menos uno de ellos es un círculo. Entonces existen dos puntos,\(p\) y\(q\text{,}\) que son simétricos con respecto a ambos clinos.
- Prueba
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Primero, supongamos que una clina es una línea\(L\text{,}\) y la otra es un círculo\(C\) centrado en el punto\(z_0\) como se muestra en la Figura\(3.2.4\). Dejar\(L_1\) ser la línea a través de\(z_0\) que es perpendicular a\(L\text{,}\) y dejar\(z_1\) ser el punto de intersección de\(L\) y\(L_1\text{.}\) Siguiente, construir el círculo\(C_1\) que tiene el diámetro\(z_0z_1\text{.}\) Círculo\(C_1\) cruza círculo\(C\) en algún punto, que nosotros llamar\(t\text{.}\) Observe que\(\angle z_0 t z_1\) es correcto, y así el círculo\(C_2\) centrado a\(z_1\) través\(t\) es ortogonal a\(C\text{.}\) Además, el centro de\(C_2\text{,}\)\(z_1\text{,}\) mentiras en línea\(L\text{,}\) así\(C_2\) es ortogonal a\(L\text{.}\) Let\(p\) y \(q\)ser los dos puntos en los que se\(C_2\) cruza\(L_1\text{.}\) Por construcción, y mediante el uso del teorema\(3.2.3\),\(p\) y\(q\) son simétricos a ambos\(C\) y\(L\text{.}\)
Ahora, supongamos\(C_1\) y\(C_2\) son círculos que no se cruzan. Primero podemos realizar una inversión en un círculo\(C\) que se mapea\(C_1\) a una línea\(C_1^*\text{,}\) y\(C_2\) a otro círculo,\(C_2^*\text{,}\) como se sugiere en la Figura\(3.2.5\) (cualquier círculo\(C\) centrado en un punto de\(C_1\) obras). Entonces por razón del argumento precedente, existen dos puntos\(p\) y\(q\) que son simétricos con respecto a\(C_1^*\) y\(C_2^*\text{.}\) Dado que la inversión conserva los puntos de simetría,\(i_C(p)\) y\(i_C(q)\) son simétricos con respecto a ambos\(i_C(C_1^*)\) y\(i_C(C_2^*)\text{.}\) Pero \(i_C(C_1^*) = C_1\)y\(i_C(C_2^*) = C_2\) así nos encontramos dos puntos simétricos a ambos\(C_1\) y\(C_2\text{.}\) (De hecho, tenemos una excepción. Si\(C_1\) y\(C_2\) son círculos concéntricos, esta estrategia producirá puntos\(i_C(p)\) y\(i_C(q)\text{,}\) uno de los cuales es el centro de\(C\text{,}\) y aún no hemos extendido la noción de inversión para incluir el centro. Lo hacemos en la siguiente sección de tal manera que el teorema se aplique también a este caso excepcional.)
Figura\(\PageIndex{5}\): Por inversión podemos transformar dos círculos en un círculo y una línea. (Copyright; autor vía fuente)
Ejercicios
Demostrar la fórmula general para la inversión en un círculo\(C\) centrado en\(z_0\) con radio\(r\text{.}\) En particular, mostrar en este caso que
\[ i_C(z) = \frac{r^2}{(\overline{z-z_0})} + z_0. \]
Construyendo el punto simétrico hasta\(z\) cuando\(z\) está dentro del círculo de inversión.
Demostrar que para un punto\(z\) dentro del círculo\(C\) con centro\(z_0\) (Figura\(3.2.6\) (a)), la siguiente construcción encuentra el punto de simetría de\(z\text{.}\)
- Dibuja el rayo\(z_0\) desde\(z\text{.}\)
- Construir la perpendicular a este rayo en\(z\text{.}\) Let\(t\) ser un punto de intersección de esta perpendicular y\(C\text{.}\)
- Construir el radio\(z_0t\text{.}\)
- Construye la perpendicular a este radio en\(t\text{.}\) El punto simétrico\(z^*\) es el punto de intersección de esta perpendicular y rayo\(\overrightarrow{z_oz}\text{.}\)
Construyendo el punto simétrico hasta\(z\) cuando\(z\) está fuera del círculo de inversión.
Demostrar que para un punto\(z\) fuera del círculo\(C\) con centro\(z_0\) (Figura\(3.2.6\) (b)), la siguiente construcción encuentra el punto de simetría de\(z\text{.}\)
- Construir el círculo que tiene diámetro\(z_0z\text{.}\) Let\(t\) ser un punto de intersección de los dos círculos.
- Construir la perpendicular a\(z_0z\) través de\(t\text{.}\) Let\(z^*\) sea la intersección de esta perpendicular con segmento\(z_0z\text{.}\)
Supongamos que\(T_1\) es inversión en el círculo\(|z| = r_1\text{,}\) y\(T_2\) es inversión en el círculo\(|z| = r_2\text{,}\) donde\(r_1, r_2 > 0\text{.}\) Demostrar que\(T_2 \circ T_1\) es una dilatación. Por el contrario, mostrar cualquier dilatación es la composición de dos inversiones.
Determinar la imagen de la línea\(y = mx + b\) (cuando está\(b \neq 0)\) bajo inversión en el círculo unitario. En particular, mostrar que la imagen es un círculo con centro\((-\dfrac{m}{2b}, \dfrac{1}{2b})\) y radio\(\sqrt{\dfrac{(m^2 + 1)}{4b^2}}\text{.}\)
- Pista
-
Refiérase a Ejercicio\(2.4.1\).
Determinar la imagen de la línea\(L\) dada por\(y = 3x + 4\) bajo inversión en el círculo unitario. Dar una parcela cuidadosa del círculo unitario, la línea\(L\text{,}\) y la imagen de\(L\) debajo de la inversión.
Demostrar que la inversión en el círculo unitario mapea el círculo\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) al círculo
\[ \bigg(x-\frac{a}{d}\bigg)^2 + \bigg(y-\frac{b}{d}\bigg)^2 = \bigg(\frac{r}{d}\bigg)^2 \]
donde\(d = a^2+b^2-r^2\text{,}\) siempre que\(d \neq 0\text{.}\)
Determinar en forma estándar la imagen del círculo\(C\) dada por\((x-1)^2 + y^2 = 4\) bajo inversión en el círculo unitario. Dar una parcela cuidadosa del círculo unitario, el círculo\(C\text{,}\) y la imagen de\(C\) debajo de la inversión.
¿Verdadero o Falso? Si un círculo\(C\) se mapea a otro círculo bajo inversión en el círculo unitario, entonces el centro de\(C\) se mapea al centro del círculo de la imagen,\(i_{\mathbb{S}^1}(C)\text{.}\) Si la declaración es verdadera, demuéstrala; si es falsa, proporcione un contraejemplo.
Supongamos\(C\) y\(D\) son círculos ortogonales. Corolario nos\(3.2.1\) dice esa inversión en\(C\) mapas\(D\) a sí mismo. Demostrar que esta inversión también toma el interior\(D\) de sí misma.
Terminar la prueba del Teorema\(3.2.4\) mostrando que el ángulo de intersección\(z^*\) es igual al ángulo de intersección\(z\) en la Figura\(3.2.2\).
Supongamos que\(C\) es el círculo\(|z - z_0| = r\) y\(C^\prime\) es el círculo\(|z - z_0| = r^\prime\text{.}\) Encuentra el factor de estiramiento\(k\) en la dilatación\(S(z) = k(z-z_0) + z_0\) para que\(i_C = S \circ i_{C^\prime}\text{.}\)
Completar el comprobante de Lemma\(3.2.1\) comprobando el caso en el que la línea a través\(p\) pasa por el centro de\(C\text{.}\)