6.1: Puntos antípodas
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Recordemos, la\(2\) esfera unitaria\(\mathbb{S}^2\) consiste en todos los puntos\((a,b,c)\) en\(\mathbb{R}^3\) los que\(a^2 + b^2 + c^2 = 1\text{,}\) y\(\mathbb{S}^2\) puede mapearse en el plano extendido por el mapa de proyección estereográfico\(\phi: \mathbb{S}^2 \to \mathbb{C}^+\) definido por
\[ \phi(a,b,c) = \begin{cases}\dfrac{a}{1-c}+\dfrac{b}{1-c}i & \text{ if \(c \neq 1\); } \\ \infty & \text{ if \(c=1\) } \end{cases}\text{.} \]
Dos puntos distintos en una esfera se denominan puntos diametralmente opuestos si están en la misma línea a través del centro de la esfera. Los puntos diametralmente opuestos en la esfera también se denominan puntos antípodas. Si\(P = (a,b,c)\) está encendido\(\mathbb{S}^2\) entonces el punto diametralmente opuesto a él es\(-P=(-a,-b,-c)\text{.}\) Resulta que\(\phi\) mapea puntos diametralmente opuestos de la esfera a puntos en el plano extendido que satisfacen una ecuación particular.
Definición: Puntos antípodas
Dos puntos\(z\) y\(w\) en\(\mathbb{C}^+\) se llaman puntos antípodas si satisfacen la ecuación
\[ z \cdot \overline{w} = -1\text{.} \]
Además, establecemos\(0\) y\(\infty\) para ser puntos antípodas en\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Si\(z\) y\(w\) son puntos antípodas, decimos que\(w\) es antípodal a\(z\text{,}\) y viceversa.
Cada\(z\) in\(\mathbb{C}^+\) tiene un punto antípodal único,\(z_a\text{,}\) dado de la siguiente manera:
\[ z_a =\begin{cases}-1/\overline{z} & \text{ if \(z \neq 0, \infty\); } \\ \infty & \text{ if \(z = 0\); } \\ 0 & \text{ if \(z=\infty\) } \end{cases} \text{.} \]
Ya que\(-\dfrac{1}{\overline{z}} = -\dfrac{1}{|z|^2}z\text{,}\) notamos que\(z_a\) es una versión escalada de\(z\text{,}\) manera que\(z\) y\(z_a\) vivir en la misma línea euclidiana a través del origen. Nuevamente, ya que\(0\) y\(\infty\) son puntos antípodas, esta noción se extiende a todos los puntos\(z \in \mathbb{C}^+\text{.}\)
Dados dos puntos diametralmente opuestos en la esfera unitaria, sus puntos de imagen bajo proyección estereográfica son puntos antípodas en\(\mathbb{C}^+\text{.}\)
- Prueba
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Primero tenga en cuenta que el polo norte\(N = (0,0,1)\) y el polo sur\(S = (0,0,-1)\) son puntos diametralmente opuestos y son enviados por\(\phi\) a\(\infty\) y\(0\), respectivamente, en\(\mathbb{C}^+\text{;}\) lo que el lema se sostiene en este caso.
Ahora supongamos que\(P = (a,b,c)\) es un punto en la esfera con\(|c| \neq 1\text{,}\) y\(Q = (-a,-b,-c)\) es diametralmente opuesto a\(P\text{.}\) Las imágenes de estos dos puntos bajo proyección estereográfica son
\[ \phi(P) = \dfrac{a}{1-c} + \dfrac{b}{1-c} i~~\text{and}~~\phi(Q) = \dfrac{-a}{1+c} - \dfrac{b}{1+c} i\text{.} \]
Si ampliamos el siguiente producto
\[ \phi(P) \cdot \overline{\phi(Q)} = \left[\dfrac{a}{1-c} +\dfrac{b}{1-c} i\right]\cdot \left[\dfrac{-a}{1+c} + \dfrac{b}{1+c} i\right]\text{,} \]
obtenemos
\[ \phi(P) \cdot \overline{\phi(Q)} = -\dfrac{a^2 + b^2}{1-c^2} \]
lo que reduce a\(-1\) desde\(a^2+b^2+c^2=1\text{.}\)
Así, los puntos diametralmente opuestos en la esfera se mapean mediante proyección estereográfica a puntos antípodos en el plano extendido.
Un cline\(C\) in\(\mathbb{C}^+\) se llama un gran círculo si siempre que\(z\) está encendido\(C\text{,}\) así es su punto antípodal\(z_a\text{.}\) Algunos grandes círculos se dibujan en la Figura\(6.1.1\). Observamos que el círculo unitario es un gran círculo en\(\mathbb{C}^+\) como lo es cualquier línea a través del origen.
Para construir un gran círculo en el plano extendido, basta con asegurar que pase por un par particular de puntos antípodas. Esto se puede probar con la ayuda de la proyección estereográfica, pero a continuación se da una prueba alternativa, una que no abandona el plano, sino que utiliza una proposición del Libro III de los Elementos de Euclides.
Si un cline en\(\mathbb{C}^+\) contiene dos puntos antípodas entonces es un gran círculo.
- Prueba
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Supongamos que\(C\) es una clina en\(\mathbb{C}^+\) contener puntos antípodas\(p\) y\(p_a\text{,}\) y supongamos que\(q\) es cualquier otro punto en\(C\text{.}\) Demostramos también\(q_a\) está en\(C\text{.}\)
Si\(C\) es una línea, debe pasar por el origen desde\(p\) y\(p_a\) están en la misma línea por el origen. Ya que\(q\) y también\(q_a\) están en la misma línea a través del origen, si\(q\) está encendido\(C\) entonces\(q_a\) es demasiado.
Si\(C\) es un círculo, entonces el origen del plano está en el interior de\(C\) y el acorde\(pp_a\) contiene el origen, como se muestra en la Figura 6.1.5. La línea a través\(q\) y el origen se cruza\(C\) en otro punto, digamos\(w\text{.}\) Mostramos\(w=q_a\text{.}\)
Figura\(\PageIndex{2}\): Una clina\(C\) que contiene un par de puntos antípodas\(p\) y\(p_a\) debe ser un gran círculo. En la figura,\(w = q_a\text{.}\) (Copyright; autor vía fuente) El teorema de acordes que se cruzan (Libro III, Proposición 35 de los Elementos de Euclides) aplicado a esta figura nos dice que\(|p|\cdot |p_a| = |q|\cdot |w|\text{.}\) (Dejamos la prueba a Ejercicio\(6.1.7\). La prueba sigue esencialmente la de Lemma\(3.2.1\), excepto que consideramos un punto dentro del círculo dado.) Como puntos antípodas,\(|p|\cdot|p_a| = 1\text{,}\) y se deduce que\(|w|=\dfrac{1}{|q|}\text{.}\) Dado que el segmento\(wq\) contiene el origen, se deduce que\(w\) es el punto antípodal a\(q\text{.}\)
El siguiente teorema nos dice que las inversiones jugarán un papel central en la geometría elíptica, tal como lo hacen en la geometría hiperbólica.
Teorema\(6.1.1\)
Reflexión de\(\mathbb{S}^2\) alrededor de un gran círculo corresponde vía proyección estereográfica a la inversión sobre un gran círculo en\(\mathbb{C}^+\text{.}\)
Trabajamos a través de la relación en un caso, y remitimos al lector interesado a [10] para la prueba general.
Ejemplo\(6.1.1\): Reflection of \(\mathbb{S}^2\) about the Equator.
Argumentamos que la reflexión\(\mathbb{S}^2\) sobre el ecuador corresponde a la inversión sobre el círculo unitario.
En primer lugar, la proyección estereográfica envía el ecuador de\(\mathbb{S}^2\) al círculo unitario en\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Ahora, la reflexión de a\(\mathbb{S}^2\) través del ecuador envía el punto\(P = (a,b,c)\) al punto\(P^* = (a,b,-c)\text{.}\) Debemos argumentar que\(\phi(P)\) y\(\phi(P^*)\) son simétricos con respecto al círculo unitario.
Si\(|c| = 1\) entonces\(P\) y\(P^*\) corresponden a los polos norte y sur, y sus puntos de imagen son\(0\) y\(\infty\text{,}\) y estos puntos son simétricos con respecto al círculo unitario. Entonces, asuma\(|c| \neq 1\text{.}\) Observe que
\[ \phi(P) = \dfrac{a}{1-c}+\dfrac{b}{1-c}i ~~\text{and }~~\phi(P^*) = \dfrac{a}{1+c}+\dfrac{b}{1+c}i \]
están en el mismo rayo comenzando en el origen. En efecto, uno es el múltiplo escalar positivo del otro:
\[ \phi(P^*) = \dfrac{1-c}{1+c}\phi(P)\text{.} \]
Por otra parte,
\ begin {alinear*} |\ phi (P) |\ cdot|\ phi (P^*) | & =\ dfrac {1-c} {1+c}\ cdot |\ phi (P) |^2\\ & =\ dfrac {1-c} {1+c}\ cdot\ dfrac {a^2+b^2} {(1-c) ^2}\\ & =\ dfrac {a^2+b^2} {1-c^2}\\ & = 1\ texto {.} \ end {alinear*}
Nuevamente, la última igualdad sostiene porque\(a^2 + b^2 + c^2 = 1\text{.}\) Así,\(\phi(P)\) y\(\phi(P^*)\) son simétricos con respecto al círculo unitario. De ello se deduce que la inversión en el círculo unitario,\(i_{\mathbb{S}^1}\text{,}\) corresponde a la reflexión de a\(\mathbb{S}^2\) través del ecuador, llamar a este mapa\(R\text{,}\) por la ecuación
\[ i_{\mathbb{S}^1} \circ \phi = \phi \circ R\text{.} \]
Terminamos la sección con una característica más del mapa de proyección estereográfica. La prueba se puede encontrar en [10].
Teorema\(6.1.2\)
La imagen de un círculo en\(\mathbb{S}^2\) vía proyección estereográfica es una clina en\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Además, la pre-imagen de un círculo en\(\mathbb{C}^+\) es un círculo en\(\mathbb{S}^2\text{.}\) La pre-imagen de una línea en\(\mathbb{C}^+\) es un círculo en\(\mathbb{S}^2\) que pasa\(N= (0,0,1)\text{.}\)
De hecho, se puede ofrecer una prueba constructiva de este teorema. Un círculo encendido se\(\mathbb{S}^2\) puede representar como la intersección de\(\mathbb{S}^2\) con un plano\(Ax + By + Cz + D = 0\) en el espacio tridimensional. Se puede mostrar que el círculo en\(\mathbb{S}^2\) definido por\(Ax + By + Cz + D = 0\) se mapea por\(\phi\) a la clina\((C+D)(u^2 + v^2)+2Au + 2Bv + (D-C)=0\) en el plano (descrito a través de coordenadas\(u,v\) cartesianas); a la inversa, el círculo\(|w - w_0| = r\) en\(\mathbb{C}\) se mapea por la función inversa\(\phi^{-1}\) al círculo en\(\mathbb{S}^2\) dado por el avión\(-2x_0 x - 2y_o y + (1 - |w_0|^2+r^2)z + (1 + |w_0|^2 - r^2) = 0\) donde\(w_0 = x_0 + y_0i\text{.}\)
Ejemplo\(6.1.2\): The Image of a Circle Under \(\phi\).
Considera el círculo en\(\mathbb{S}^2\) definido por el plano vertical\(x = -\dfrac{1}{2}\text{.}\) En forma estándar, este plano tiene constantes\(A = 2, B = C = 0\text{,}\) y\(D = 1\text{,}\) así la imagen debajo\(\phi\) es el círculo
\[ (u^2+v^2)+4u+1 = 0\text{.} \]
Completando el cuadrado obtenemos el círculo
\[ (u+2)^2 + v^2 = 3 \]
tener centro\((-2,0)\) y radio\(\sqrt{3}\text{.}\)
Ejemplo\(6.1.3\): The Pre-Image of a Circle Under \(\phi\).
La pre-imagen del círculo\(|w - (3 + 2i)| = 4\) en\(\mathbb{C}\) es el círculo en\(\mathbb{S}^2\) definido por el plano
\[ -2 \cdot 3 x - 2\cdot 2 y + (1 - 13+4) z + (1 + 13 - 4) = 0 \]
o
\[ -3x - 2y - 4z + 5 = 0\text{.} \]
Ejercicios
Construyendo un punto antípodal. Supongamos que\(z\) es un punto dentro del círculo unitario. Demostrar que la siguiente construcción, que se representa en la Figura 6.1.11, da\(z_a\text{,}\) el punto antípodal a\(z\text{:}\) (1) Dibujar la línea a través\(z\) y el origen; (2) dibujar la línea a través del origen perpendicular a la línea (1), y dejar\(T\) estar en la línea (2) y el círculo unitario; (3) construir el segmento\(zT\text{;}\) (4) construir la perpendicular al segmento (3) en el punto La\(T\text{.}\) línea (4) cruza la línea (1) en el punto\(z_a\text{.}\) Use triángulos similares para probar que\(z_a = -\dfrac{1}{|z|^2}z.\)
Explique por qué cualquier gran círculo en\(\mathbb{C}^+\) ya sea contiene\(0\) o tiene\(0\) en su interior.
Caracterizar esos grandes círculos en\(\mathbb{C}^+\) que en realidad son líneas euclidianas.
Demostrar esa reflexión de\(\mathbb{S}^2\) través del gran círculo a través\((0,0,1)\text{,}\)\((0,0,-1)\text{,}\) y\((1,0,0)\) corresponde a través de la proyección estereográfica a la reflexión de a\(\mathbb{C}^+\) través del eje real.
Determinar la imagen debajo\(\phi\) del círculo\(z = \dfrac{1}{2}\) en la esfera unitaria.
Explicar por qué la reflexión\(\mathbb{S}^2\) a través de cualquier gran círculo longitudinal (es decir, un gran círculo a través de los polos norte y sur) corresponde a la reflexión de a\(\mathbb{C}^+\) través de una línea a través del origen.
Demostrar el teorema de acordes que se cruzan en dos partes.
- Supongamos que\(C\) es un círculo con radio\(r\) centrado en\(o\text{.}\) Supongamos que\(p\) es un punto dentro\(C\) y una línea a través\(p\) se cruza\(C\) en puntos\(m\) y\(n\text{,}\) como se muestra a continuación. Si dejamos\(s = |p-o|\) probarlo\(|p-m|\cdot|p-n|=r^2-s^2\text{.}\)
- Demostrar el teorema de acordes que se cruzan: Si\(mn\) y\(ab\) son dos acordes cualesquiera de\(C\) pasar por un punto interior dado\(p\text{,}\) entonces
\[ |m-p|\cdot|a-p|=|m-p|\cdot|b-p|\text{.} \]