6.2: Geometría elíptica
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Como fue el caso en la geometría hiperbólica, el espacio en geometría elíptica se deriva\(\mathbb{C}^+\text{,}\) y el grupo de transformaciones consiste en ciertas transformaciones de Möbius. Primero consideramos las transformaciones.
Definición
\({\cal S}\)Consistamos en todas las transformaciones de Möbius\(T\) que preserven los puntos antípodas. En otras palabras,\(\cal S\) consiste en todas las transformaciones de Möbius\(T\) con la propiedad de que si\(z\) y\(z_a\) son puntos antípodas en\(\mathbb{C}^+\) entonces\(T(z)\) y\(T(z_a)\) son puntos antípodas en\(\mathbb{C}^+\text{.}\)
Dejamos al lector verificar que\(\cal{S}\) en realidad forma un grupo. Considerando la construcción del punto antípodal en la Figura\(6.1.3\), parece claro que la rotación de\(\mathbb{C}^+\) aproximadamente el origen debe preservar los puntos antípodas. Entonces, estas rotaciones deberían estar en\(\cal S\text{.}\) Vamos a pasar por esto.
Ejemplo\(6.2.1\): Rotations about \(0\) are in \({\cal S}\).
Supongamos que\(R(z)=e^{i\theta}z\) es una rotación sobre el origen\(z\) y y\(z_a\) son puntos antípodas. Si\(z = \infty\) o\(0\text{,}\) luego la rotación sobre el origen fija\(z\text{,}\) y también fija su punto antípodal, por lo que el mapa\(R\) conserva puntos antípodas en estos casos. Ahora supongamos\(z \neq 0, \infty\text{.}\) Entonces\(z_a = -\dfrac{1}{\overline{z}}\text{.}\) Ya que\(\overline{R(z_a)} = -\dfrac{e^{-i\theta}}{z}\text{,}\) se deduce que
\[ R(z)\cdot \overline{R(z_a)} = -e^{i\theta}z \cdot \dfrac{e^{-i\theta}}{z} = -1\text{.} \]
Así, la imagen apunta\(R(z)\) y\(R(z_a)\) siguen siendo puntos antípodas. Las rotaciones sobre el origen pertenecen al grupo\(\cal S\text{.}\)
Ahora consideramos cómo\(\cal S\) se ve una transformación típica en.
Supongamos que la transformación de Möbius\(T\) está en\(\cal S\text{,}\) y eso\(z\) y\(w\) son puntos antípodas. Entonces\(T(z)\cdot \overline{T(w)} = -1\text{.}\) Desde\(z\) y\(w\) son puntos antípodas,\(w = -\dfrac{1}{\overline{z}}\text{,}\) así\(T(z)\cdot \overline{T(-1/\bar z)} = -1\text{,}\) o
\[\begin{align} T(z) & = \dfrac{-1}{\overline{T(\dfrac{-1}{\bar z})}}\text{.} \end{align}\]
Asumir\(T(z) = \dfrac{(az + b)}{(cz + d)}\text{,}\) y que tiene determinante\(ad- bc = 1\text{.}\) (Recordemos, de Ejercicio\(3.4.4\) que siempre podemos escribir una transformación Möbius en una forma con determinante\(1\), y esta forma es única hasta firmar.) Ahora,
\ begin {align*}\ overline {T (-\ dfrac {1} {\ bar z})} & =\ overline {\ left [\ dfrac {\ frac {a} {\ bar z + b}} {\ frac {-c} {\ bar z + d}}\ derecha]}\\ & =\ dfrac {-\ bar {a}/{z} +\ bar {b}} {-\ bar {c} /z +\ bar {d}}\\ & =\ dfrac {\ bar b z -\ bar a} {\ bar {d} z -\ bar {c}}\ texto {.} \ end {alinear*}
Sustituyendo en la ecuación\(6.2.2\) de esta derivación rendimientos
\[ \dfrac{az+b}{cz + d} = \dfrac{-\bar d z + \bar c}{\bar b z - \bar a}\text{.} \]
La transformación de la derecha también tiene una determinante, por lo que estas dos transformaciones son idénticas hasta firmar. Podemos suponer eso\(d = -\bar a\) y eso\(c = \bar b\text{,}\) para que\(T\) pueda expresarse de la siguiente manera:
\[ T(z) = \dfrac{az + b}{\bar b z - \bar a}\text{.} \]
Podemos hacer que esta forma general se parezca mucho a la forma general para una transformación en\({\cal H}\text{.}\) Para hacerlo, primero multiplique cada término\(-\dfrac{1}{\bar a}\text{,}\) asumiendo\(a \neq 0\text{.}\) (Si\(a = 0\text{,}\) ¿cómo sería la transformación?)
\ begin {align*} T (z) & =\ dfrac {-\ frac {a} {\ bar a} z -\ dfrac {b} {\ bar a}} {-\ dfrac {\ bar b} {\ bar a} z + 1}\\ & =\ dfrac {-\ frac {a} {\ bar a} (z +\ dfrac {b} {a})} {-\ frac {\ bar b} {\ bar a} z + 1}\\ & = e^ {i\ theta}\ cdot\ dfrac {z-z_0} {\ overline {z} _0z + 1}\ text {,}\ end {align*}
donde\(e^{i\theta} = -\dfrac{a}{\bar{a}}\) y\(z_0 = -\dfrac{b}{a}\text{.}\) Así, hemos derivado la siguiente descripción algebraica de transformaciones en\(\cal S\text{.}\)
Cualquier transformación\(T\) en el grupo\(\cal S\) tiene la forma
\[ T(z) = e^{i\theta}\frac{z - z_0}{1+\overline{z}_0z} \]
para algún ángulo\(\theta\) y algunos\(z_0\) en\(\mathbb{C}^+\text{.}\)
Se puede demostrar que el siguiente converse sostiene: Cualquier transformación que tenga la forma anterior conserva los puntos antípodas. De ello se deduce que para cualquier punto\(z_0 \in \mathbb{C}^+\text{,}\) existe una transformación\(T\) en\(\cal S\) tal que\(T(z_0) = 0\text{,}\) y dado que las rotaciones sobre el origen viven en\(\cal S\) podemos probar el siguiente resultado útil (ver Ejercicio\(6.2.1\)).
Dados distintos puntos\(z_0\) y\(z_1\) en\(\mathbb{C}^+\text{,}\) existe una transformación en\({\cal S}\) que envía\(z_0\) a 0 y\(z_1\) al eje real.
Ahora demostramos un teorema que nos ayuda a visualizar los mapas en\({\cal S}\text{.}\)
Si una transformación de Möbius conserva puntos antípodas, entonces es una transformación elíptica de Möbius.
- Prueba
-
Supongamos que\(T\) es una transformación de Möbius que conserva puntos antípodas. Si no\(T\) es el mapa de identidad entonces debe fijar uno o dos puntos. Sin embargo, si\(T\) conserva puntos antípodas y fija un punto\(p\text{,}\) entonces debe fijar su punto antípodal\(p_a\text{.}\) Así,\(T\) debe tener dos puntos fijos y\(T\) tiene forma normal
\[ \frac{T(z)-p}{T(z)-p_a} = \lambda\frac{z-p}{z-p_a}\text{.} \]
Para mostrar\(T\) es una transformación elíptica de Möbius, debemos mostrar que\(|\lambda| = 1\text{.}\) Establecer\(z = 0\) la forma normal se reduce a
\[ \frac{T(0) - p}{T(0)-p_a} = \lambda\frac{p}{p_a}\text{.} \]
Resolver\(T(0)\) para obtener
\[ T(0) = \frac{pp_a - \lambda pp_a}{p_a - \lambda p}\text{.} \]
Por otro lado, establecer\(z = \infty\) y resolver para\(T(\infty)\text{,}\) uno comprueba que
\[ T(\infty) =\frac{p-\lambda p_a}{1-\lambda}\text{.} \]
Ya que\(T\) conserva puntos antípodas,\(T(0)\cdot \overline{T(\infty)} = -1\text{;}\) por lo tanto, tenemos
\[ \frac{pp_a - \lambda pp_a}{p_a - \lambda p} \cdot \frac{\overline{p}-\overline{\lambda}\overline{p_a}}{1-\overline{\lambda}} = -1\text{.} \]
Si expandimos esta expresión y la resolvemos para\(\lambda\overline{\lambda}\) (usando el hecho de que\(p\cdot \overline{p_a} = -1\text{,}\) y\(p \neq p_a\)), obtenemos\(\lambda \overline{\lambda} = 1\text{,}\) de lo que se deduce que\(|\lambda| = 1\text{.}\) Así\(T\) es una transformación elíptica de Möbius.
En Ejercicio\(3.5.8\) demostramos que cualquier transformación elíptica de Möbius es la composición de dos inversiones sobre clinos que se cruzan en los dos puntos fijos. En el caso de una transformación de Möbius que preserve los puntos antípodas, estos dos puntos fijos deben ser antípodas entre sí. Se deduce por Lemma\(6.1.2\) que las dos clinas de inversión son grandes círculos en\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Así, podemos ver cada transformación de\(\cal S\) como la composición de dos inversiones sobre grandes círculos. Esto es tranquilizador. Por teorema\(6.1.1\), estas inversiones corresponden a reflexiones de la esfera sobre grandes círculos, y al componer dos de estas reflexiones de la esfera se obtiene una rotación de la esfera. El grupo de transformación,\(\cal S\text{,}\) entonces, consiste en transformaciones de Möbius que corresponden vía proyección estereográfica a rotaciones de la esfera. Resumimos estos hechos a continuación.
Cualquier transformación en\(\cal S\) es la composición de dos inversiones sobre grandes círculos en\(\mathbb{C}^+\text{,}\) y corresponde vía proyección estereográfica a una rotación de la unidad\(2\) -esfera.
Antes de pasar al espacio en geometría elíptica, hacemos un comentario más sobre el grupo\({\cal S}\text{.}\) El lector puede haber notado una fuerte similitud, algebraicamente, entre los mapas en\({\cal S}\) y los mapas en\({\cal H}\text{,}\) el grupo de transformación en geometría hiperbólica. Recordemos, las transformaciones en\({\cal H}\) tienen la forma
\ begin {align*} T (z) & = e^ {i\ theta}\ frac {z - z_0} {1-\ overline {z} _0z}\ tag {transformación en $\ cal {H} $}\ text {.} \ end {alinear*}
La diferencia de signo único entre la descripción algebraica de mapas en\(\cal S\) de los mapas en no\(\cal H\) es una coincidencia. Podríamos haber definido las transformaciones en geometría hiperbólica como aquellas transformaciones de Möbius que preservan puntos simétricos con respecto al círculo unitario. Es decir, podríamos haber definido el grupo\(\cal{H}\) para que consista en todas las transformaciones de Möbius satisfaciendo esta propiedad:\(T(z) \cdot \overline{T(w)} = 1\text{.}\) Si\(z \cdot \bar w = 1\) entonces hubiéramos preguntado cómo\(T\) sería tal, habríamos pasado por el argumento como lo hicimos en esta sección, con un\(+1\) inicialmente en lugar de un -1. Esta diferencia de signo se propaga a la diferencia de signo en la forma final de la descripción del mapa.
Subsección del Espacio para Geometría Elíptica
Uno podría dejar que el espacio sea todo de\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Si tomamos esta tachuela, entonces estamos reproduciendo la geometría de la esfera en\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Llamamos a la geometría geometría\((\mathbb{C}^+,{\cal S})\) esférica. La distancia se puede definir para que coincida con la distancia en la esfera unitaria, y grandes cirlces en\(\mathbb{C}^+\) serán geodésicas. En lugar de desarrollar estos detalles con esta elección de espacios, nos centraremos en cambio en un espacio diferente. Lo hacemos porque queremos construir una geometría en la que haya una línea única entre dos puntos cualesquiera. Esto no es del todo cierto en la esfera, y así no del todo cierto en\((\mathbb{C}^+,{\cal S})\text{.}\) Si dos puntos en\(\mathbb{C}^+\) son puntos antípodas, como 0 y\(\infty\text{,}\) luego hay infinitamente muchas líneas (grandes círculos) a través de estos puntos.
Entonces, elegimos trabajar principalmente con un espacio en el que esta característica de muchas líneas distintas a través de dos puntos se desvanece. El truco es identificar los puntos antípodas. Es decir, el espacio que consideraremos es en realidad el espacio\(\mathbb{C}^+\) con puntos antípodas identificados. ¿Qué aspecto tiene este espacio?
¿Recuerdas el toro plano del Capítulo 1? Cada punto en el límite del rectángulo se identifica con el punto correspondiente en el borde opuesto. Los dos puntos se fusionan en un solo punto.
En el espacio elíptico, cada punto se fusiona con otro punto, su punto antípodo. Entonces, por ejemplo, el punto\(2 + i\) se identifica con su punto antípodal\(-\dfrac{2}{5}-\dfrac{i}{5}\text{.}\) En el espacio elíptico, estos puntos son uno y lo mismo.
Con el toro plano, podríamos visualizar el espacio después de identificar puntos envolviéndolo en un espacio tridimensional. Esto fue posible ya que solo estábamos identificando los bordes del rectángulo. En el presente caso cada punto en\(\mathbb{C}^+\) se empareja. Para ayudar a visualizar el espacio aquí observamos una región en el plano que contiene un representante de cada par.
Considera el disco unitario cerrado, que consiste en todos los números complejos\(z\) tal que\(|z| \leq 1\text{.}\) Por cada punto\(w\) fuera de este disco, su punto antípodal\(w_a\) está dentro del disco. Así, el disco unitario cerrado contiene un representante de cada par de puntos antípodas. Sin embargo, hay cierta redundancia: para un punto\(w\) en el límite del disco\((|w| = 1)\text{,}\) su punto antípodal también\(w_a\) está en el límite. Para dar cuenta de esta redundancia, identificamos cada punto en el límite del disco unitario cerrado con su punto antípodal.
Este será nuestro modelo para el espacio en geometría elíptica, y a este espacio se le llama el plano proyectivo.
El plano proyectivo, denotado\(\mathbb{P}^2\text{,}\) consiste en todos los números complejos de\(z\) tal manera que\(|z| \leq 1\) con la característica adicional se identifican los puntos antípodas en el círculo unitario.
Podemos pensar en este espacio como el disco unitario cerrado con sus dos bordes (semicírculo superior y semicírculo inferior) identificados de acuerdo con las flechas de la Figura\(6.2.1\). Observe el agradable viaje que ha recorrido un bicho\(q\) en esta figura.\(p\) De\(p\) ella se dirige hacia el punto\(c\text{,}\) que aparece en el límite de nuestro modelo. Cuando llega allí simplemente sigue caminando, aunque en nuestra modelo la vemos salir de la “pantalla” y reaparecer en el punto antípodal\(c_a\text{.}\) Ella tiene la mirada puesta en el punto\(d\) y pasea por ahí abajo, continúa (reapareciendo en\(d_a\)), y se dirige a\(q\text{,}\) hambre pero contenta.
El modelo de disco para geometría elíptica,\((\mathbb{P}^2,{\cal S})\text{,}\) es la geometría cuyo espacio es\(\mathbb{P}^2\) y cuyo grupo de transformaciones\(\cal{S}\) consiste en todas las transformaciones de Möbius que preservan los puntos antípodas.
Debido a que las transformaciones de\(\cal S\) son generadas por inversiones sobre grandes círculos, estos círculos deben determinar las líneas en geometría elíptica.
Una línea elíptica adentro\((\mathbb{P}^2,{\cal S})\) es la porción de un gran círculo en\(\mathbb{C}^+\) que vive en el disco de la unidad cerrada.
En la Figura se han construido dos líneas elípticas\(6.2.2\).
Hay una línea elíptica única que conecta dos puntos\(p\) y\(q\) en\(\mathbb{P}^2\text{.}\)
- Prueba
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Supongamos\(p\) y\(q\) son puntos distintos en\(\mathbb{P}^2\text{.}\) Esto significa\(q \neq p_a\) como puntos en\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Construir el punto antípodal\(p_a\text{,}\) que nos da tres puntos distintos en\(\mathbb{C}^+\text{:}\)\(p,q\) y\(p_a\text{.}\) existe una clina única a través de estos tres puntos. Ya que esta clina pasa por\(p\) y\(p_a\text{,}\) es una línea elíptica de Lemma\(6.1.2\).
Obsérvese que las líneas elípticas a través del origen son líneas euclidianas, tal como fue el caso en el modelo Poincaré de geometría hiperbólica. Como resultado, para probar hechos sobre la geometría elíptica, puede ser conveniente transformar una imagen general al caso especial donde está involucrado el origen.
El conjunto de líneas elípticas es un conjunto mínimamente invariante de geometría elíptica.
- Prueba
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Por definición, cualquier transformación\(T\) en\(\cal{S}\) conserva puntos antípodas. Por lo tanto, si\(L\) es una línea elíptica, entonces también lo\(T(L)\) es, y el conjunto de líneas elípticas es un conjunto invariante de geometría elíptica.
Para mostrar que el conjunto es mínimamente invariante, apelamos al Teorema\(4.1.1\), y demostramos que dos líneas elípticas cualesquiera son congruentes. Para ver esto, observe que cualquier línea elíptica\(L\) es congruente con la línea elíptica en el eje real. En efecto, para cualquier punto\(z_0\) y\(z_1\)\(L\text{,}\) sobre Lema 6.2.3 asegura la existencia de una transformación\(T\) en\(\cal{S}\) que envía\(z_0\) al origen, y\(z_1\) al eje real. De ello se deduce que\(T(L)\) es el eje real. Dado que todas las líneas elípticas son congruentes con el eje real, dos líneas elípticas cualesquiera son congruentes.
Dos líneas elípticas cualesquiera se cruzan en\(\mathbb{P}^2\text{.}\)
- Prueba
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Dadas dos líneas elípticas cualesquiera, aplicar una transformación\(T\) en la\(\cal{S}\) que mande una de ellas al eje real. Basta con demostrar que cualquier línea elíptica en\(\mathbb{P}^2\) debe cruzarse con el eje real. Supongamos que\(M\) es una línea elíptica arbitraria en\(\mathbb{P}^2\) y\(z\) es un punto en\(M\text{.}\) Si Im\((z) = 0\) entonces\(z\) está en el eje real y ya terminamos.
Si Im\((z) > 0\text{,}\) entonces\(z\) yace por encima del eje real. De ello se deduce que Im\((z_a)\lt 0\) por la definición del punto antípodal\(z_a\text{.}\) Since\(M\) contiene ambos\(z\) e\(z_a\) intersecta el eje real en algún momento.
Si Im\((z) \lt 0\text{,}\) entonces Im\((z_a) > 0\) y\(M\) debe intersectar el eje real como antes. En cualquier caso,\(M\) debe intersectar el eje real, y de ello se deduce que dos líneas elípticas cualesquiera deben cruzarse.
Como consecuencia inmediata de este teorema, no existe noción de líneas paralelas en geometría elíptica.
Si\(p\) in no\(\mathbb{P}^2\) está en la línea elíptica\(L\text{,}\), entonces cada línea elíptica\(p\) se cruza\(L\text{.}\)
Ejercicios
El grupo de transformación en geometría elíptica.
- Demostrar que\(\cal{S}\) es un grupo de transformaciones.
- Para cada uno\(\theta \in \mathbb{R}\) y\(z_0 \in \mathbb{C}\text{,}\) demostrar que la siguiente transformación de Möbius está en\(\cal S\text{:}\)
\[ T(z)=e^{i\theta}\dfrac{z-z_0}{1+\overline{z_0}z}\text{.} \]
- Por cada\(\theta \in \mathbb{R}\text{,}\) prueba que\(T(z) = e^{i\theta}\frac{1}{z}\) se encuentra en\(\cal S\text{.}\)
- Utilizar (b) y (c) para demostrar que para cualquier punto distinto\(p, q \in \mathbb{C}^+\) existe una transformación en\(\cal S\) que envía\(p\) hacia\(0\) y\(q\) hacia un punto sobre el eje real positivo, demostrando así Lemma\(6.2.1\).
Demostrar que el modelo de disco para geometría elíptica es homogéneo.
Dado un punto\(z\) que no está en una línea elíptica\(L\text{,}\) demostrar\(z\) que existe una línea elíptica a través de la cual se cruza\(L\) en ángulo recto.
- Pista
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Primero transfórmate\(z\) a una ubicación conveniente en\(\mathbb{P}^2\text{.}\)
¿Hay una transformación de no identidad en\(\cal{S}\) que fije dos puntos distintos en\(\mathbb{P}^2\text{?}\) Si es así, encontrar uno, de lo contrario explicar por qué no existe tal transformación.
Encuentra una transformación en\(\cal{S}\) que mande el punto\(\dfrac{1}{2}\) al punto\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i\text{.}\)