6: Geometría elíptica
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La geometría elíptica es el segundo tipo de geometría no euclidiana que podría describir la geometría del universo. En este capítulo, enfocamos nuestra atención en la geometría elíptica bidimensional, y la esfera será nuestra guía. El capítulo comienza con una revisión de la proyección estereográfica, y cómo se utiliza este mapa para transferir información sobre la esfera al plano extendido. Desarrollamos geometría elíptica en las Secciones 6.2 y 6.3, y luego hacemos una pausa en nuestra historia en la Sección 6.4 para reflexionar sobre lo que hemos establecido, en cuanto a la geometría, antes de pasar a la geometría en las superficies en el Capítulo 7.
- 6.1: Puntos antípodas
- Dos puntos distintos en una esfera se denominan puntos diametralmente opuestos si están en la misma línea a través del centro de la esfera. Los puntos diametralmente opuestos en la esfera también se denominan puntos antípodas.
- 6.2: Geometría elíptica
- Como fue el caso en la geometría hiperbólica, el espacio en geometría elíptica se deriva de C+, y el grupo de transformaciones consiste en ciertas transformaciones de Möbius.
- 6.3: Medición en Geometría Elíptica
- En lugar de derivar la fórmula de longitud de arco aquí como hicimos para la geometría hiperbólica, declaramos la siguiente definición y observamos la diferencia de signo único con respecto al caso hiperbólico. Esta diferencia de signo es consistente con la diferencia de signo en las descripciones algebraicas de las transformaciones en las respectivas geometrías.
- 6.4: Revisando los Postulados de Euclides
- Sin mucha fanfarria, hemos demostrado que la geometría (P^2, S) satisface los cuatro primeros postulados de Euclides, pero no satisface al quinto. Este es también el caso de la geometría hiperbólica (D, H). Además, la versión elíptica del quinto postulado difiere de la versión hiperbólica. Es el propósito de esta sección brindar la fanfarria adecuada para estos hechos.