7.1: Curvatura
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Considera la curva suave en la Figura\(7.1.1\). La curvatura de la curva en un punto es una medida de cuán drásticamente se dobla la curva lejos de su línea tangente, y esta curvatura a menudo se estudia en un curso de cálculo multivariable. El radio de curvatura en un punto corresponde al radio del círculo que mejor se aproxima a la curva en este punto. El radio\(r\) de este círculo es el recíproco de la curvatura\(k\) de la curva en el punto:\(k = \dfrac{1}{r}\text{.}\)
La curvatura de una superficie (como la gráfica de una función\(z = f(x,y)\)) en un punto determinado es una medida de cuán drásticamente se dobla la superficie lejos de su plano tangente en el punto. Existen tres tipos fundamentales de curvatura. Una superficie tiene curvatura positiva en un punto si la superficie vive completamente en un lado del plano tangente, al menos cerca del punto de interés. La superficie tiene curvatura negativa en un punto si tiene forma de silla de montar, en el sentido de que el plano tangente corta a través de la superficie. Entre estos dos casos se encuentra el caso de curvatura cero. En este caso la superficie tiene una línea a lo largo de la cual la superficie concuerda con el plano tangente. Por ejemplo, un cilindro tiene curvatura cero, como se sugiere en la Figura\(7.1.2(c)\).
Esta descripción informal de la curvatura hace uso de cómo la superficie está incrustada en el espacio. Uno de los grandes teoremas de Gauss, uno que llamó su Teorema Egrigium, afirma que la curvatura de una superficie es una propiedad intrínseca de la superficie. La curvatura no cambia si la superficie se dobla sin estirarse, y nuestro incansable habitante bidimensional que vive en el espacio puede determinar la curvatura tomando medidas.
Un error bidimensional que vive en el plano hiperbólico, el plano proyectivo o el plano euclidiano notaría que la circunferencia de un pequeño círculo está relacionada con su radio por la fórmula euclidiana\(c \approx 2\pi r\text{.}\) En la geometría euclidiana esta fórmula se aplica a todos los círculos, pero en los casos no euclidianos, el observador error podría notar en círculos grandes una diferencia significativa entre la circunferencia real de un círculo y la circunferencia predicha por Los círculos\(c = 2\pi r\text{.}\) grandes alrededor de un punto en forma de copa con curvatura positiva tendrán una circunferencia menor que la predicha por la geometría euclidiana. Este hecho explica por qué un gran pedazo de piel de naranja se fractura si se presiona plano sobre una mesa. Los círculos grandes dibujados alrededor de un punto en forma de silla de montar con curvatura negativa tendrán una circunferencia mayor a la predicha por la fórmula euclidiana.
El cálculo se puede utilizar para capturar con precisión esta desviación entre la circunferencia predicha euclidiana\(2\pi r\) y la circunferencia real\(c\) para círculos de radio\(r\) en las diferentes geometrías.
Recordemos que en el plano hiperbólico,\(c = 2\pi \sinh(r)\text{;}\) en el plano euclidiano\(c = 2\pi r\text{;}\) y en el plano elíptico\(c = 2\pi \sin(r)\text{.}\) En la Figura\(7.1.3\) hemos graficado la relación\(\dfrac{c}{2\pi r}\) donde\(c\) está la circunferencia de un círculo con radio\(r\) en (a) el plano hiperbólico; (b) el plano euclidiano; y c) el plano elíptico.
En los tres casos, la relación\(\dfrac{c}{2\pi r}\) se acerca a\(1\) medida que\(r\) se reduce a\(0\). Además, en los tres casos, la derivada de la relación se aproxima\(0\) como\(r \to 0^+\text{.}\) Pero con la segunda derivada de la relación podemos distinguir estas geometrías. Se puede demostrar que la curvatura en un punto es proporcional a esta segunda derivada evaluada en el límite ya\(r \rightarrow 0^+\text{.}\) que no derivaremos esta fórmula para curvatura sino que usaremos esta definición de trabajo tal como aparece en el libro de Thurston [11].
Supongamos que\(p\) se dibuja un círculo de radio\(r\) alrededor de un punto en un espacio 1, y su circunferencia es\(c\text{.}\) La curvatura del espacio en\(p\) es
\[ k = -3 \lim_{r \to 0^+}\dfrac{d^2}{dr^2}\bigg[\dfrac{c}{2\pi r}\bigg]\text{.} \]
el término `espacio' es intencionalmente vago aquí. Nuestro espacio necesita tener una métrica bien definida, para que tenga sentido hablar de radio y circunferencia. El espacio podría ser el plano euclidiano, el plano hiperbólico o la esfera. Otros espacios se discuten en la Sección 7.5.
Ya que nos interesan mundos que son homogéneos e isotrópicos, centraremos nuestra atención en mundos en los que la curvatura sea la misma en todos los puntos. Es decir, investigamos superficies de curvatura constante.
Ejemplo 7.1.1: La curvatura de una esfera
Considere la esfera con radio\(s\) en el siguiente diagrama, y anote el círculo centrado en el polo norte\(N\) que tiene radio de superficie\(r\text{.}\) El círculo es paralelo al plano\(z = 0\text{,}\) tiene radio euclidiana\(x\text{,}\) y por lo tanto circunferencia\(2\pi x\text{.}\)
Pero\(x = s\sin(\theta)\) y\(r = \theta\cdot s\text{,}\) de lo que deducimos\(x = s\sin(\dfrac{r}{s})\text{,}\) y en términos del radio superficial\(r\) del círculo, su circunferencia es
\[ c = 2\pi s\sin\bigg(\dfrac{r}{s}\bigg)\text{.} \]
La curvatura de la esfera en\(N\) es así
\[ k = -3 \lim_{r \to 0^+}\dfrac{d^2}{dr^2}\bigg[\dfrac{2\pi s\sin(\dfrac{r}{s})}{2\pi r}\bigg]\text{.} \]
Cancelando los\(2\pi\) términos y reemplazando\(\sin(\dfrac{r}{s})\) con su expansión de la serie de potencia, tenemos
\ begin {alinear*} k & = -3\ lim_ {r\ a 0^+}\ dfrac {d^2} {dr^2}\ left [\ dfrac {s (\ dfrac {r} {s} -\ dfrac {r^3} {6s^3} +\ dfrac {r^5} {120s^5} -\ cdots)} r}\ derecha]\\ & = -3\ lim_ {r\ a 0^+}\ dfrac {d^2} {dr^2}\ izquierda [1-\ dfrac {r^2} {6s^2} +\ dfrac {r^4} {120s^4} -\ cdots\ derecha]\\ & = -3\ lim_ {r\ a 0^+}\ left [\ dfrac {-1} {3s^2} +\ dfrac {12 r^2} {120s^4} -\ cdots\ derecho]\ texto {.} \ end {align*}
Tenga en cuenta que todos los términos de la segunda derivada después de la primera tienen potencias de\(r\) en el numerador, por lo que estos términos van a\(0\) como\(r \to 0^+\text{,}\) y la curvatura de la esfera en el polo norte es\(\dfrac{1}{s^2}\text{.}\) De hecho debido a que la esfera es homogénea, la curvatura en cualquier punto es
\[ k=\dfrac{1}{s^2}\text{.} \]
Ejemplo 7.1.2: Curvatura del plano hiperbólico
Debido a que la geometría hiperbólica es homogénea y sus transformaciones conservan círculos y longitudes, la curvatura es la misma en todos los puntos del plano hiperbólico. Elegimos calcular la curvatura en el origen.
Recordemos, la circunferencia de un círculo en\((\mathbb{D},\cal{H})\) es\(c = 2\pi \sinh(r).\) Para calcular la curvatura, use la expansión de la serie de potencia
\[ \sinh(r)=r + \dfrac{r^3}{3!}+\dfrac{r^5}{5!}+\cdots\text{.} \]
\ begin {alinear*} k & = -3\ lim_ {r\ a 0^+}\ dfrac {d^2} {dr^2}\ izquierda [\ dfrac {2\ pi\ sinh (r)} {2\ pi r}\ derecha]\\ & = -3\ lim_ {r\ a 0^+}\ dfrac {d^2} {dr^2} izquierda\ [1+\ dfrac {r^2} {3!} +\ dfrac {r^4} {5!} +\ cdots\ derecha]\\ & = -3\ lim_ {r\ a 0^+}\ izquierda [\ dfrac {1} {3} +\ dfrac {12r^2} {5!} +\ cdots\ derecha]\ texto {.} \ end {align*}
Nuevamente, cada término de la segunda derivada después de la primera tiene un poder de\(r\) en su numerador, por lo que en el límite a medida que\(r \to 0^+\text{,}\) cada uno de estos términos se desvanece. Así, la curvatura del plano hiperbólico en (\(\mathbb{D},{\cal H})\)es\(k = -1.\)
Ejercicios
Utilice nuestra definición de trabajo para mostrar que la curvatura del plano proyectivo en geometría elíptica es\(1\). Recordemos,\(c = 2\pi\sin(r)\) en esta geometría.
Usa nuestra definición de trabajo para explicar por qué la curvatura del plano euclidiano es\(k = 0\text{.}\)