Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

7: Geometría en Superficies

  • Page ID
    112870
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)

    En geometría hiperbólica (\(\mathbb{D}, \mathcal{H}\)) y geometría elíptica (\(\mathbb{P}^2, \mathcal{S}\)), el área de un triángulo está determinada por la suma de sus ángulos. Esta es una diferencia significativa con respecto a la geometría euclidiana, en la que se puede construir un triángulo con tres ángulos dados para tener cualquier área deseada. ¿Significa esto que si un insecto vive en un mundo apegado a la geometría elíptica, nunca podrá tropezar con un triángulo con tres ángulos rectos que tenga área\(3π\)? Sí y no. En la geometría elíptica tal como se define en el Capítulo 6, no existe tal triángulo porque un triángulo con ángulos\(3\) rectos debe tener área\((\dfrac{π}{2} + \dfrac{π}{2} + \dfrac{π}{2}) − π = \dfrac{π}{2}\). Entonces la respuesta parece ser sí. Sin embargo, la geometría elíptica (\(\mathbb{P}^2, \mathcal{S}\)) modela la geometría de la esfera unitaria, y esta elección del radio de la esfera es algo arbitraria. ¿Y si cambia el radio de la esfera? Imagina un triángulo con tres ángulos rectos teniendo un vértice en el polo norte y dos vértices en el ecuador. Si la esfera se expande uniformemente, los ángulos del triángulo permanecerán iguales, pero el área del triángulo aumentará. Entonces, si un insecto está convencido de que vive en un mundo con geometría elíptica, pero también está convencida de que ha encontrado un triángulo con tres ángulos rectos y área\(3π\), el insecto podría ser dibujado para concluir que vive en un mundo modelado en una esfera más grande que la unidad\(2\) -esfera.

    La propiedad geométrica clave de un espacio que dicta la relación entre los ángulos de un triángulo y su área se llama curvatura. La curvatura también dicta la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio.

    • 7.1: Curvatura
      La curvatura de la curva en un punto es una medida de cuán drásticamente se dobla la curva lejos de su línea tangente, y esta curvatura a menudo se estudia en un curso de cálculo multivariable. El radio de curvatura en un punto corresponde al radio del círculo que mejor se aproxima a la curva en este punto.
    • 7.2: Geometría elíptica con curvatura k > 0
      Se puede modelar geometría elíptica en esferas de radios variables, y un cambio en el radio provocará un cambio en la curvatura del espacio así como un cambio en la relación entre el área de un triángulo y su suma de ángulos.
    • 7.3: Geometría Hiperbólica con Curvatura k < 0
    • 7.4: La familia de las geometrías (X, G)
    • 7.5: Superficies
      En topología se estudian aquellas características de un espacio que permanecen inalteradas si el espacio se estira o deforma continuamente de otra manera. Tales características de un espacio se llaman características topológicas.
    • 7.6: Geometría de Superficies
      Si tienes una superficie en la mano, puedes encontrar una versión homeomórfica de la superficie sobre la que construir geometría hiperbólica, geometría elíptica o geometría euclidiana. Y la elección de la geometría es única: Ninguna superficie admite más de una de estas geometrías. Como veremos, de las infinitamente muchas superficies, todas menos cuatro admiten geometría hiperbólica (dos admiten geometría euclidiana y dos admiten geometría elíptica).
    • 7.7: Espacios de cociente
      Una relación en un conjunto S es un subconjunto R de S x S. En otras palabras, una relación R consiste en un conjunto de pares ordenados de la forma (a, b) donde a y b están en S. Una partición de un conjunto, consiste en una colección de subconjuntos no vacíos de A que son mutuamente disjuntos y tienen unión igual a A. Una relación de equivalencia en a set A sirve para particionar A por las clases de equivalencia.


    This page titled 7: Geometría en Superficies is shared under a CC BY-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Michael P. Hitchman via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.