7: Geometría en Superficies

En geometría hiperbólica (\(\mathbb{D}, \mathcal{H}\)) y geometría elíptica (\(\mathbb{P}^2, \mathcal{S}\)), el área de un triángulo está determinada por la suma de sus ángulos. Esta es una diferencia significativa con respecto a la geometría euclidiana, en la que se puede construir un triángulo con tres ángulos dados para tener cualquier área deseada. ¿Significa esto que si un insecto vive en un mundo apegado a la geometría elíptica, nunca podrá tropezar con un triángulo con tres ángulos rectos que tenga área\(3π\)? Sí y no. En la geometría elíptica tal como se define en el Capítulo 6, no existe tal triángulo porque un triángulo con ángulos\(3\) rectos debe tener área\((\dfrac{π}{2} + \dfrac{π}{2} + \dfrac{π}{2}) − π = \dfrac{π}{2}\). Entonces la respuesta parece ser sí. Sin embargo, la geometría elíptica (\(\mathbb{P}^2, \mathcal{S}\)) modela la geometría de la esfera unitaria, y esta elección del radio de la esfera es algo arbitraria. ¿Y si cambia el radio de la esfera? Imagina un triángulo con tres ángulos rectos teniendo un vértice en el polo norte y dos vértices en el ecuador. Si la esfera se expande uniformemente, los ángulos del triángulo permanecerán iguales, pero el área del triángulo aumentará. Entonces, si un insecto está convencido de que vive en un mundo con geometría elíptica, pero también está convencida de que ha encontrado un triángulo con tres ángulos rectos y área\(3π\), el insecto podría ser dibujado para concluir que vive en un mundo modelado en una esfera más grande que la unidad\(2\) -esfera.

La propiedad geométrica clave de un espacio que dicta la relación entre los ángulos de un triángulo y su área se llama curvatura. La curvatura también dicta la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio.