7.2: Geometría elíptica con curvatura k > 0
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Se puede modelar geometría elíptica en esferas de radios variables, y un cambio en el radio provocará un cambio en la curvatura del espacio así como un cambio en la relación entre el área de un triángulo y su suma de ángulos.
Para cualquier número real\(k \gt 0\text{,}\) podemos construir una esfera con curvatura constante\(k\text{.}\) Según Ejemplo\(7.1.1\), la esfera centrada en el origen con radio\(\dfrac{1}{\sqrt{k}}\) funciona. La geometría en esta esfera se puede modelar en el plano extendido mediante proyección estereográfica. Esta geometría se llamará geometría elíptica con curvatura\(k > 0\text{.}\)
Considerar la esfera\(\mathbb{S}^2_k\) centrada en el origen de\(\mathbb{R}^3\) con radio\(\dfrac{1}{\sqrt{k}}\text{.}\) Definir proyección estereográfica\(\phi_k: \mathbb{S}^2_k \to \mathbb{C}^+\text{,}\) tal como lo hicimos en la Sección 3.3, para obtener la fórmula
\[ \phi_k(a,b,c) = \begin{cases} \dfrac{a}{1-c\sqrt{k}}+\dfrac{b}{1-c\sqrt{k}}i & \text{ if \(c \neq \dfrac{1}{\sqrt{k}}\); } \\ \infty & \text{ if \(c=\dfrac{1}{\sqrt{k}}\) } \end{cases}\text{.} \]
Los puntos diametralmente opuestos se\(\mathbb{S}^2_k\) mapean vía\(\phi_k\) a puntos\(z\) y\(z_a\) que satisfacen la ecuación\(z_a =\dfrac{-1}{k\overline{z}}\text{,}\) por analogía con Lemma\(6.1.1\). Llamamos a dos puntos de este tipo en\(\mathbb{C}^+\) antípodas con respecto a\(\mathbb{S}^2_k\text{,}\) o simplemente puntos antípodas si\(k\) se entiende el valor de.
Nuestro modelo para geometría elíptica con curvatura\(k\) tiene espacio\(\mathbb{P}^2_k\) igual al disco cerrado en\(\mathbb{C}\) de radio\(\dfrac{1}{\sqrt{k}}\text{,}\) con puntos antípodos del límite identificado. Este espacio es simplemente una versión escalada del plano proyectivo del Capítulo 6.
El grupo de transformaciones, denotadas\({\cal S}_k\text{,}\) consiste en aquellas transformaciones de Möbius que preservan puntos antípodas con respecto a\(\mathbb{S}^2_k\text{.}\) Eso es,\(T \in {\cal S}_k\) si y sólo si lo siguiente sostiene:
\[ \text{if }~ z_a = -\dfrac{1}{k\overline{z}}~~ \text{then }~ T(z_a) = -\dfrac{1}{k\overline{T(z)}}\text{.} \]
La geometría\((\mathbb{P}^2_k,{\cal S}_k)\) con\(k \gt 0\) se llama geometría elíptica con curvatura\(k\). Obsérvese que\((\mathbb{P}^2_1,{\cal S}_1)\) es precisamente la geometría que estudiamos en el Capítulo 6.
Las transformaciones de\(\mathbb{C}^+\) en el grupo\({\cal S}_k\) corresponden precisamente con rotaciones de la esfera\(\mathbb{S}^2_k\text{.}\) Se puede mostrar que las transformaciones en\({\cal S}_k\) tienen la forma
\[ T(z) = e^{i\theta}\dfrac{z-z_0}{1+k\overline{z_0}z}\text{.} \]
Definimos líneas en geometría elíptica con curvatura\(k\) para ser clines con la propiedad de que si pasan\(z\) entonces pasan por\(z_a = -\dfrac{1}{k\overline{z}}\text{.}\) Estas líneas corresponden precisamente a grandes círculos en la esfera\(\mathbb{S}^2_k\text{.}\)
Las fórmulas de longitud de arco y área también se deslizan suavemente sobre el Capítulo 6 a este ajuste más general.
La longitud del arco de una curva suave\(\boldsymbol{r}\) en\(\mathbb{P}^2_k\) es
\[ {\cal L}(\boldsymbol{r}) = \int_a^b \dfrac{2|\boldsymbol{r}^\prime(t)|}{1 + k|\boldsymbol{r}(t)|^2}~dt\text{.} \]
Como antes, la longitud del arco es una invariante, y el camino más corto entre dos puntos es a lo largo de la línea elíptica a través de ellos. En los ejercicios derivamos una fórmula para la distancia entre puntos en esta geometría. La mayor distancia posible entre dos puntos en\((\mathbb{P}^2_k,{\cal S}_k)\) resulta ser\(\dfrac{\pi}{(2\sqrt{k})}\text{.}\)
El área de una región\(R\) dada en forma polar se calcula mediante la fórmula
\[ A(R) = \iint_R \dfrac{4r}{(1+kr^2)^2}dr d\theta\text{.} \]
Para calcular el área de un triángulo, proceda como en el Capítulo 6. Primero, abordar el área de una lune, un\(2\) -gon cuyos lados son líneas elípticas en\((\mathbb{P}^2_k,{\cal S}_k)\text{.}\)
Supongamos que\(k \gt 0\text{.}\) una lune adentro\((\mathbb{P}^2_k,{\cal S}_k)\) con ángulo interior\(\alpha\) tiene área\(\dfrac{2\alpha}{k}\text{.}\)
- Prueba
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Sin pérdida de generalidad, podemos considerar el vértice de nuestra luna como el origen. Como antes, las líneas elípticas a través del origen también deben pasar\(\infty\text{,}\) por lo que nuestras dos líneas que forman la luna son líneas euclidianas. Después de una rotación conveniente, podemos asumir además que una de estas líneas es el eje real, de manera que la lune se asemeja a la de la Figura\(6.3.4\). Para calcular el área de la lune, computar la integral
\[ A = 2 \int_0^\alpha \int_0^{1/\sqrt{k}}\dfrac{4r}{(1+kr^2)^2}drd\theta\text{.} \]
Dejando\(u = 1 + kr^2\) que\(du = 2krdr\text{,}\) los límites de la integración cambien de\([0,\dfrac{1}{\sqrt{k}}]\) a\([1,2]\text{.}\) Entonces,
\[ A = 2 \int^\alpha_0 \dfrac{2}{k}\int_1^2 \dfrac{du}{u^2}d\theta = \dfrac{4}{k}\int_0^\alpha \dfrac{1}{2} d\theta =\dfrac{2\alpha}{k}\text{.} \]
Así, el ángulo de una lune con ángulo interior\(\alpha\) es\(\dfrac{2\alpha}{k}\text{.}\)
Comentamos que el lune con ángulo\(\pi\) realmente cubre todo el disco de radio\(\dfrac{1}{\sqrt{k}}\text{.}\) Así, el área de todo el espacio\(\mathbb{P}^2_k\) es la\(\dfrac{2\pi}{k}\text{,}\) que coincide con la mitad del área de superficie de una esfera de radio A menudo\(\dfrac{1}{\sqrt{k}}\text{.}\) llamamos\(s = \dfrac{1}{\sqrt{k}}\) al radio de curvatura para la geometría; es el radio del disco en el que modelizamos la geometría.
Asimismo, el cómputo integral en la prueba de Lemma\(7.2.1\) revela la siguiente antiderivada útil:
\[ \int \dfrac{4r}{(1+kr^2)^2}dr = \dfrac{-2}{k(1+kr^2)} + C\text{.} \]
Este hecho puede acelerar futuros cálculos integrales.
En geometría elíptica con curvatura\(k\text{,}\) el área de un triángulo con ángulos\(\alpha, \beta,\) y\(\gamma\) es
\[ A = \dfrac{1}{k}(\alpha+\beta+\gamma -\pi)\text{.} \]
- Prueba
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Como en el caso\(k = 1\text{,}\) el área de cualquier triángulo puede determinarse a partir del área de tres lunes y el área total de\(\mathbb{P}^2_k\text{,}\) como se representa en Ejemplo\(6.3.1\).
Ejemplo 7.2.3: Triángulos en la Tierra.
La superficie de la Tierra es aproximadamente esférica con un radio de unos\(6375\) km. Por lo tanto, la geometría en la superficie de la Tierra puede modelarse razonablemente por\((\mathbb{P}^2_k, {\cal S}_k)\) donde\(k = \dfrac{1}{6375^2}~ \text{km}^{-2}\text{.}\) El área de un triángulo en la superficie de la Tierra tiene ángulos\(\alpha, \beta,\) y\(\gamma\) es
\[ A = \dfrac{1}{k}(\alpha + \beta + \gamma - \pi)\text{.} \]¿Puedes encontrar el área del triángulo formado por París, Nueva York y Río? Usa un globo, un prolongador y algo de cuerda. La cuerda sigue una geodésica entre dos puntos cuando se tira tensa.
Ejercicios
Demostrar que para\(k > 0\text{,}\) cualquier transformación en\({\cal S}_k\) tiene la forma
\[ T(z) = e^{i\theta}\dfrac{z-z_0}{1+k\overline{z_0}z}\text{,} \]
donde\(\theta\) está cualquier número real y\(z_0\) es un punto en\(\mathbb{P}^2_k\text{.}\)
- Insinuación
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Seguir la derivación de las transformaciones que\({\cal S}\) se encuentran en el Capítulo 6.
Verificar la fórmula para el mapa de proyección estereográfica\(\phi_k\text{.}\)
Asumir\(k \gt 0\) y dejar\(s = \dfrac{1}{\sqrt{k}}\text{.}\) Derivar las siguientes fórmulas de medición en\((\mathbb{P}^2_k,{\cal S}_k)\text{.}\)
- La longitud de un segmento de línea desde\(0\) hasta\(x\text{,}\) donde\(0 \lt x \leq s\) es\[ d_{k}(0,x) = 2s\arctan(\dfrac{x}{s})\text{.} \]
- La circunferencia del círculo centrada en el origen con radio elíptico\(r \lt \dfrac{\pi}{(2\sqrt{k})}\) es\(C=2\pi s\sin(\dfrac{r}{s})\text{.}\)
- El área del círculo centrada en el origen con radio elíptico\(r \lt \dfrac{\pi}{(2\sqrt{k})}\) es\(\displaystyle A = 4\pi s^2 \sin^2\left(\dfrac{r}{2s}\right)\text{.}\)
En este ejercicio investigamos la idea de que las fórmulas elípticas en Ejercicio\(7.2.3\) para distancia, circunferencia y área se acercan a fórmulas euclidianas cuando\(k \to 0^+\text{.}\)
- Mostrar que la distancia elíptica\(d_{k}(0,x)\) desde\(0\) hasta\(x\text{,}\) donde se\(0 \lt x \leq s,\) aproxima\(2x\) como\(k \to 0^+\) (el doble de la noción habitual de distancia euclidiana).
- Mostrar que la circunferencia elíptica de un círculo con radio elíptico\(r\) se aproxima\(2\pi r\) como\(k \to 0^+\text{.}\)
- Mostrar que el área elíptica de este círculo se aproxima\(\pi r^2\) como\(k \to 0^+\text{.}\)
Trigonometría triangular en\((\mathbb{P}^2_k,{\cal S}_k)\text{.}\)
Supongamos que tenemos un triángulo\((\mathbb{P}^2_k,{\cal S}_k)\) con longitudes\(a,b,c\) y ángulos laterales\(\alpha, \beta, \gamma\) como se muestra en la Figura\(6.3.5\).
- Demostrar la ley elíptica de los cosenos en\((\mathbb{P}^2_k,{\cal S}_k)\text{:}\)\[ \cos(\sqrt{k}c)=\cos(\sqrt{k}a)\cos(\sqrt{k}b)+\sin(\sqrt{k}a)\sin(\sqrt{k}b)\cos(\gamma)\text{.} \]
- Demostrar la ley elíptica de los senos en\((\mathbb{P}^2_k,{\cal S}_k)\text{:}\)\[ \dfrac{\sin(\sqrt{k}a)}{\sin(\alpha)}=\dfrac{\sin(\sqrt{k}b)}{\sin(\beta)}=\dfrac{\sin(\sqrt{k}c)}{\sin(\gamma)}\text{.} \]