8.1: Geometría tridimensional y 3 colectores
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Recordemos que\(\mathbb{R}^3\) es el conjunto de triples ordenados de números reales\((x,y,z)\text{,}\) y un\(3\) -manifold es un espacio con la característica de que cada punto tiene un vecindario que es homeomórfico a una\(3\) bola abierta. Suponemos que la forma del universo en cualquier momento fijo es un\(3\) -manifold. La evidencia apunta a un universo isotrópico y homogéneo en las escalas más grandes. Si este es el caso, entonces al igual que en el caso bidimensional, el universo admite una de tres geometrías: hiperbólica, elíptica o euclidiana. Esta sección ofrece una breve introducción a las versiones tridimensionales de estas geometrías antes de pasar a\(3\) -colectores. Se anima al lector a ver [12] para una discusión intuitiva más amplia de estas ideas, o [11] para un enfoque más riguroso.
Geometría Euclidiana en Tres Dimensiones.
La geometría euclidiana es la geometría de nuestra experiencia en tres dimensiones. Los planos parecen mesas infinitas, las líneas en el espacio son líneas rectas euclidianas. Cualquier corte plano del\(3\) espacio hereda la geometría euclidiana bidimensional.
El espacio para la geometría euclidiana tridimensional es\(\mathbb{R}^3\text{,}\) y podemos usar notación de negritas\(\boldsymbol{v}\) para representar un punto en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) El grupo de transformaciones en esta geometría consiste en todas las rotaciones de\(\mathbb{R}^3\) aproximadamente líneas y todas las traducciones por vectores en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) La distancia entre puntos\({\boldsymbol{v}}=(x_1,y_1,z_1)\) y\({\boldsymbol{w}}=(x_2,y_2,z_2)\) viene dada por la fórmula de distancia euclidiana
\[ |\boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}\text{.} \]
Cualquier transformación en el grupo se puede expresar como un movimiento de tornillo. Un movimiento de tornillo es una transformación\(\mathbb{R}^3\) consistente en una traslación en la dirección de una línea seguida de una rotación alrededor de esa misma línea. Por supuesto, las rotaciones sobre líneas y traducciones son casos especiales de este mapa más general.
Geometría Hiperbólica en Tres Dimensiones.
El modelo de disco de Poincaré de geometría hiperbólica puede extenderse a tres dimensiones de la siguiente manera. Deja que el espacio\(\mathbb{H}^3\) consista en todos los puntos dentro de la bola unitaria en Es\(\mathbb{R}^3\text{.}\) decir, vamos
\[ \mathbb{H}^3 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2 + y^2 + z^2 \lt 1 \}\text{.} \]
La unidad\(2\) -esfera\(\mathbb{S}^2\) limita\(\mathbb{H}^3\text{,}\) y se llama la esfera en el infinito. Los puntos en la esfera en el infinito se llaman puntos ideales y no son puntos en\(\mathbb{H}^3\text{.}\)
El grupo de transformaciones para geometría hiperbólica tridimensional es generado por inversiones sobre esferas que son ortogonales a la esfera en el infinito. La inversión sobre una esfera se define de manera análoga a la inversión en un círculo. Supongamos que\(S\) es una esfera\(\mathbb{R}^3\) centrada en\(\boldsymbol{v_0}\) con radio\(r\text{,}\) y\(\boldsymbol{v}\) es cualquier punto en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Definir el punto simétrico\(\boldsymbol{v}\) con respecto\(S\) a ser el punto\(\boldsymbol{v}^*\) en el rayo\(\overrightarrow{\boldsymbol{v_0v}}\) tal que
\[ |{\boldsymbol{v}}-\boldsymbol{v_0}||\boldsymbol{v}^*-\boldsymbol{v_0}| = r^2\text{.} \]
Se puede probar que la inversión sobre una esfera\(S\) enviará esferas ortogonales\(S\) a sí mismas. Entonces, componer dos inversiones sobre esferas ortogonales a\(\mathbb{S}^2_\infty\) genera una orientación conservando la transformación del triespacio hiperbólico\(\mathbb{H}^3\text{.}\) El grupo de transformación consiste en todas esas composiciones. Las líneas en esta geometría corresponden a arcos de clinos en\(\mathbb{H}^3\) que son ortogonales a la esfera en el infinito (ver línea\(L\) en la Figura\(8.1.1\)). Estas líneas son geodésicas en\(\mathbb{H}^3\text{.}\) Al igual que en el caso bidimensional, las líneas euclidianas a través del origen de también\(\mathbb{H}^3\) son líneas hiperbólicas. Un plano en esta geometría corresponde a la porción de una esfera o plano euclidiano en su interior\(\mathbb{H}^3\) que se encuentra con la esfera en el infinito en ángulos rectos, como los planos\(P_1\) y\(P_2\) en la Figura\(8.1.1\). Si restringimos nuestra atención a cualquier plano en\(\mathbb{H}^3\text{,}\) recuperamos la geometría hiperbólica bidimensional del Capítulo 5.
Geometría elíptica en tres cotas
La geometría elíptica tridimensional se deriva de la geometría que\(\mathbb{S}^3\) hereda la\(3\) -esfera como subespacio del espacio euclidiano\(\mathbb{R}^4\text{.}\) La\(3\) -esfera consiste en todos los puntos en\(4\) -espacio dimensional una unidad del origen:
\[ \mathbb{S}^3 = \{(x,y,z,w) \in \mathbb{R}^4~|~ x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1\}\text{.} \]
Grandes círculos en\(\mathbb{S}^3\) son círculos de diámetro máximo dibujados en el espacio. Grandes círculos corresponden a geodésicas en el espacio. De igual manera, una gran\(2\) esfera en\(\mathbb{S}^3\) es una\(2\) -esfera de diámetro máximo dibujada en el espacio. Como subespacio de\(\mathbb{S}^3\text{,}\) una gran\(2\) esfera hereda la geometría elíptica del Capítulo 6. La\(3\) -esfera se discute con más detalle en Ejemplo\(8.1.2\).
El grupo de transformación para geometría elíptica en tres dimensiones se describe convenientemente viendo\(\mathbb{R}^4\) como el conjunto de cuaterniones. Un cuaternión tiene la forma\(a + b\textbf{i} + c\textbf{j}+ d\textbf{k}\) donde\(a, b, c, d\) están los números reales\(\textbf{i}, \textbf{j},\) y y\(\textbf{k}\) son números imaginarios con la característica que\(\textbf{i}^2 = \textbf{j}^2 = \textbf{k}^2 = -1\) y la propiedad adicional que\(\textbf{ijk} = -1\text{.}\) el producto La constante\(a\) se llama el término escalar del cuaternión\(q = a + b\textbf{i} + c\textbf{j}+ d\textbf{k}\text{.}\) El módulo de\(q\) es\(|q|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\text{.}\) Un cuaternión\(q\) se llama cuaternión unitario, si\(|q| = 1\text{.}\) El conjugado de\(q\text{,}\) denotado\(q^*\text{,}\) es el\(q^* = a - b\textbf{i} - c\textbf{j} - d\textbf{k}\text{.}\) cuaternión Se puede comprobar que\(q \cdot q^* = |q|^2\text{.}\) El\(3\) -esfera entonces consiste en todos los cuaterniones unitarios.
El grupo de transformación para la geometría\(\mathbb{S}^3\) es generado por multiplicación a la izquierda y/o derecha por cuaterniones unitarios. Para cuaterniones de unidades fijas\(u\) y\(v\text{,}\) el mapa\(T:\mathbb{S}^3 \to \mathbb{S}^3\) por\(T(q) = u q v\) es una transformación típica en geometría elíptica tridimensional. Estas transformaciones conservan puntos antípodas en la\(3\) -esfera - puntos distintos sobre los\(\mathbb{S}^3\) que están en la misma línea euclidiana a través del origen en\(\mathbb{R}^4\text{.}\)
Como en el caso bidimensional, las geometrías euclidianas, hiperbólicas y elípticas tridimensionales son homogéneas, isotrópicas y métricas. Además, los triángulos distinguen las geometrías: en el espacio euclidiano\(\mathbb{R}^3\text{,}\) un triángulo tiene una suma de ángulos igual a\(\pi\) radianes; en\(\mathbb{S}^3\) cualquier triángulo la suma de ángulos supera\(\pi\) los radianes; en\(\mathbb{H}^3\) cualquier triángulo la suma de ángulos es menor que\(\pi\) los radianes. Como resultado, si colocamos un sólido como un dodecaedro en\(\mathbb{H}^3\) (para que las caras sean porciones de planos en\(\mathbb{H}^3\)), los ángulos en los que se juntan las esquinas son más pequeños que los ángulos de esquina del dodecaedro euclidiano. Estos ángulos se contraen aún más a medida que los puntos angulares del sólido se acercan a los puntos ideales en la esfera en el infinito Por otro lado, colocar el dodecaedro en\(\mathbb{S}^3\) aumentará los ángulos en las esquinas.
Esta flexibilidad es muy útil. Mientras que las superficies se pueden construir a partir de polígonos identificando sus bordes en pares, muchos\(3\) colectores se pueden construir a partir de un\(3\) complejo (como los sólidos platónicos) identificando sus caras en pares. Un\(3\) colector construido de esta manera admitirá ya sea geometría euclidiana, geometría hiperbólica o geometría elíptica dependiendo de cómo, en todo caso, los ángulos de esquina deban cambiar para que las esquinas se unan para formar un parche perfecto de espacio tridimensional. Ahora investigamos algunos\(3\) -colectores y la geometría que admiten.
Podemos pensar en el\(3\) -toro\(\mathbb{T}^3\) como una habitación cúbica con las siguientes identificaciones de cara (o pared): si nos propulsamos (con un jet pack) hacia arriba por el techo, reapareceremos por el piso directamente debajo de donde habíamos estado. Por ejemplo, se identifican los puntos elípticos en la siguiente figura. Cada punto de la cara superior se identifica con el punto correspondiente en la cara inferior. Si volamos por la pared izquierda reapareceremos a través de la pared derecha en el punto correspondiente (ver los triángulos en la figura). Si volamos por la pared frontal reapareceremos a través de la pared posterior en el punto correspondiente (ver los cuadrados en la figura).
El\(3\) -toro es el análogo tridimensional de la pantalla de video del toro que vimos en las primeras páginas de este texto. De hecho, una porción del\(3\) toro en un plano paralelo a una de las caras es un toro. Se comprueba que bajo la identificación de la cara, las ocho esquinas se juntan en un solo punto. Los ángulos en estas esquinas son tales que forman un parche perfecto de espacio tridimensional. No necesitamos inflar los ángulos de las esquinas (en el espacio elíptico) ni reducir los ángulos (en el espacio hiperbólico) para que las esquinas se unan perfectamente.
También podemos ver el\(3\) toro como un espacio orbital como se discute en la Sección 7.7. En particular, let\(T_x, T_y, T_z\) representar traducciones de\(\mathbb{R}^3\) por una unidad en la\(x\) -dirección,\(y\) -dirección y\(z\) -dirección, respectivamente. Es decir,\(T_x(x,y,z) = (x+1,y,z)\text{,}\)\(T_y(x,y,z) = (x,y+1,z)\) y\(T_z(x,y,z) = (x,y,z+1)\text{.}\) estas tres transformaciones generan un grupo de transformaciones\(\Gamma\) de\(\mathbb{R}^3\text{,}\) y cualquier transformación en el grupo tiene la forma\(T(x,y,z) = (x + a, y + b, z + c)\) donde\(a, b, c\) están los enteros. Un dominio fundamental del espacio cociente\(\mathbb{R}^3/\Gamma\) es el cubo unitario
\[ \mathbb{I}^3 = \{(x,y,z) ~|~ 0 \leq x, y, z \leq 1 \}\text{,} \]
y todas las imágenes de este cubo bajo las transformaciones en\(\Gamma\) azulejo\(\mathbb{R}^3\text{.}\) El\(3\) -toro es un cociente de\(\mathbb{R}^3\) generado por isometrías euclidianas, y hereda la geometría euclidiana.
El\(3\) toro es uno de los diez\(3\) colectores compactos y conectados que admiten geometría euclidiana. De estos diez, seis son orientables y cuatro no orientables. El\(3\) toro es orientable, y los otros cinco colectores euclidianos orientables se presentan a continuación en Ejemplo\(8.1.6\) y Ejemplo\(8.1.7\).
También\(3\) se han clasificado los colectores elípticos. Hay infinitamente muchos tipos diferentes, y resulta que todos son orientables. La\(3\) -esfera es el\(3\) colector elíptico más simple, y Albert Einstein asumió que el universo tenía esta forma cuando resolvió por primera vez sus ecuaciones para la relatividad general. Encontró un universo estático, finito, simplemente conectado sin límites atractivos por razones estéticas, y aclaró algunas paradojas en la física que surgen en un universo infinito. Sin embargo, las ecuaciones de la relatividad general solo nos hablan de la naturaleza local del espacio, y no fijan la forma global del universo. En\(1917\), el astrónomo holandés Willem De Sitter (\(1872\)-\(1934\)) notó que las soluciones de Einstein admitieron otra, forma global diferente: a saber, el espacio elíptico tridimensional obtenido de la\(3\) -esfera al identificar puntos antípodas, tal como lo hicimos en el Capítulo 6 en los dos- caso dimensional.
Recordemos, la\(3\) -esfera consiste en todos los puntos en la\(1\) unidad espacial\(4\) -dimensional desde el origen:
\[ \mathbb{S}^3 = \{(x,y,z,w) ~|~ x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1\}\text{.} \]
Un modelo de\(\mathbb{S}^3\) consiste en dos bolas sólidas en\(\mathbb{R}^3\) cuyas\(2\) esferas límite se identifican punto por punto, como en la siguiente figura. La figura muestra una trayectoria de punto\(a\) a punto\(b\) en\(\mathbb{S}^3\) que pasa por el punto\(p\) en el límite de la bola sólida izquierda antes de entrar en la bola sólida derecha por el punto en su límite con el que se\(p\) ha identificado (también llamado\(p\)).
La\(3\) -esfera tiene características interesantes, a menudo accesibles por analogía con la\(2\) -esfera. Si se corta la\(2\) -esfera con un plano en\(\mathbb{R}^3\text{,}\) la intersección es un círculo (o un solo punto si el plano es tangente a la\(2\) -esfera). Además, el círculo de intersección es un geodésico en la\(2\) -esfera si es un gran círculo: un círculo de radio máximo dibujado en la\(2\) -esfera. Subió una cota, si “divide” la\(3\) -esfera con\(\mathbb{R}^3\text{,}\) la intersección es una\(2\) -esfera (o un solo punto si el sector es tangente a\(\mathbb{S}^3\)). Además, la\(2\) -esfera de intersección es una gran\(2\) -esfera si es una\(2\) -esfera de diámetro máximo dibujada en\(\mathbb{S}^3\text{.}\) La\(2\) esfera límite común a ambas bolas sólidas en la figura es una gran\(2\) -esfera de\(\mathbb{S}^3\text{.}\)
También se puede ver\(\mathbb{S}^3\) proyectándolo estereográficamente en el espacio obtenido a partir de la adición\(\mathbb{R}^3\) de un punto tal como\(\infty\text{,}\) lo identificamos\(\mathbb{S}^2\) con el plano extendido a través de la proyección estereográfica en la Sección 3.3. Dejar\(\widehat{\mathbb{R}^3}\) denotar\(3\) espacio real con un punto en el infinito unido a él. Para construir el mapa de proyección estereográfica, es conveniente expresar primero\(\mathbb{R}^3\) en términos de cuaterniones puros. Un cuaternión puro es un cuaternión\(q\) cuyo término escalar es\(0\). Es decir, un cuaternión puro tiene la forma\(q = b\textbf{i} + c\textbf{j} + d\textbf{k}\text{.}\) El punto\((x,y,z)\) en\(\mathbb{R}^3\) se identifica con el cuaternión puro\(q = x\textbf{i} + y\textbf{j} + z \textbf{k}.\)
Aunque estamos trabajando en el espacio de cuatro dimensiones, Figura\(3.3.1\) sirve de guía en la construcción del mapa de proyección estereográfica. Let\(N = (0,0,0,1)\) be the north pole on\(\mathbb{S}^3\text{.}\) If\(P = (a,b,c,d)\) is any point on\(\mathbb{S}^3\) other\(N\text{,}\) than built the euclidean line through\(N\) and\(P\text{.}\) This line has parametric form
\[ {\cal L}(t)= \langle 0,0,0,1\rangle + t\langle a,b,c,d-1\rangle\text{.} \]
Definimos la imagen de\(P\) bajo proyección estereográfica como la intersección de esta línea con el subespacio tridimensional que consiste en todos los puntos\((x,y,z,0)\) en\(\mathbb{R}^4\text{.}\) Esta intersección ocurre cuando\(1 + t(d-1) = 0\text{,}\) o cuando
\[ t = \frac{1}{1-d}\text{.} \]
Entonces el mapa de proyección estereográfica\(\phi:\mathbb{S}^3 \to \widehat{\mathbb{R}^3}\) viene dado por
\[ \phi((a,b,c,d)) = \begin{cases}\frac{a}{1-d}\textbf{i}+\frac{b}{1-d}\textbf{j}+\frac{c}{1-d}\textbf{k} & \text{ if \(d \neq 1\); } \\ \infty & \text{ if \(d=1\). } \end{cases} \]
De esta manera, podemos transferir la geometría de la\(3\) -esfera al\(3\) espacio real con un punto en el infinito unido a él. Por ejemplo, si\(P = (a,b,c,d)\) está en la\(3\) -esfera, su punto antípodal es\(-P = (-a,-b,-c,-d)\) y se puede mostrar (en los ejercicios) que estos puntos se mapean por\(\phi\) a puntos en\(\mathbb{R}^3\) (cuaterniones puros)\(q = \phi(P)\) y\(u = \phi(-P)\) con la propiedad que\(q \cdot u^* = -1\text{.}\) Como resultado, dos puntos \(q\)y\(u\) en\(\widehat{\mathbb{R}^3}\) se llaman puntos antípodas si satisfacen la ecuación\(q \cdot u^* = -1\text{.}\)
El espacio dodecaédrico de Poincaré ha sido considerado como modelo para la forma de nuestro universo (ver [25]). Comienza con un dodecaedro viviendo en\(\mathbb{R}^3\) (estamos pensando en él como un sólido ahora, no como una superficie) e identifica caras opuestas con un giro de una décima parte en el sentido de las agujas del reloj (rotación por\(\dfrac{2\pi}{10}\) radianes). Es engorroso indicar todas las identificaciones de rostros, por lo que la figura a continuación muestra la identificación de la cara frontal con la cara posterior. Por ejemplo, las dos esquinas etiquetadas con un\(1\) consiguen emparejadas. Aviso: no se identifican puntos en el interior del dodecaedro.
Con esta identificación facial las veinte esquinas del dodecaedro se unen en cinco grupos de cuatro (un grupo de\(4\) está marcado con vértices en la figura), y los ángulos son demasiado pequeños para que las esquinas creen una bola completamente abierta de espacio tridimensional cuando se juntan. Colocar el dodecaedro en el espacio elíptico infla los ángulos de las esquinas, y podemos hacer que estos ángulos sean lo suficientemente gordos como para determinar un parche tridimensional perfecto del espacio.
Extendiendo las ideas de la Sección 7.7 a este caso, se puede demostrar que el espacio dodecaédrico de Poincaré es un cociente de la\(3\) -esfera\(\mathbb{S}^3\) por un grupo de isometrías. El dodecaedro que se muestra aquí es un dominio fundamental del espacio. Así como los polígonos de la Sección 7.7 embaldosaron el espacio en el que vivían, y el dominio fundamental cúbico del\(3\) -toro teja\(\mathbb{R}^3\text{,}\) los azulejos del dodecaedro\(\mathbb{S}^3\text{.}\) Aunque lejos de ser obvio, ¡resulta que\(\mathbb{S}^3\) está embaldosado por\(120\) copias de este dodecaedro!
\(3\)Los colectores hiperbólicos no han sido completamente clasificados, pero existe una notable relación entre geometría y forma en este caso: un\(3\) colector orientable conectado soporta como máximo una estructura hiperbólica. Esto marca una diferencia importante con respecto al caso bidimensional. Si un ser bidimensional sabe que vive en un toro de dos orificios, digamos, entonces el área de su universo está determinada por su curvatura, gracias a la fórmula Gauss-Bonnet, pero otras propiedades geométricas pueden variar, como la longitud de caminos geodésicos cerrados de longitud mínima en el universo, como vimos en Ejemplo \(7.6.3\). No existe tal libertad en el caso tridimensional.
Aquí hay un\(3\) colector hiperbólico, también construido como cociente del dodecaedro.
Identificar las caras opuestas del dodecaedro con un giro de tres décimas en sentido horario. Con esta identificación, las veinte esquinas del dodecaedro se unen en un solo punto, y no es posible tal identificación a menos que encojamos drásticamente los ángulos de las esquinas. Podemos hacer esto colocando el dodecaedro en el espacio hiperbólico. El\(3\) colector hiperbólico resultante se llama el espacio Seifert-Weber.
Los espacios de lente\(L(p,q)\) forman una familia infinita\(3\) de colectores elípticos. Supongamos que\(p > q\) son enteros positivos cuyo factor común más grande es\(1\). Los espacios de lente pueden definirse de la siguiente manera. Considera la unidad bola sólida que vive en\(\mathbb{R}^3\) cuyo límite se encuentra la unidad\(2\) -esfera. La bola consta de todos los puntos de\((x,y,z)\) tal manera que\(x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\text{.}\) Cualquier punto en el límite\(2\) -esfera se puede expresar en coordenadas\((z,t)\) donde\(z\) es un número complejo,\(t\) es real, y\(|z|^2 + t^2 = 1\text{.}\) El espacio de la lente\(L(p,q)\) se obtiene de la bola sólida por identificar cada punto\((z,t)\) en el límite\(2\) -esfera con el punto\((e^{(2\pi q/p)i} z,-t)\text{.}\) Tenga en cuenta que el polo norte de la\(2\) esfera límite es\((0,1)\) y se identifica con el polo sur\((0,-1)\text{.}\) Cualquier otro punto\(u\) en el hemisferio norte se identifica con un solo punto en el hemisferio sur. Este punto se encuentra reflejando\(u\) a través del\(xy\) plano, luego girando alrededor del\(z\) eje por\(2\pi q/p\) radianes. Cada punto del ecuador se identifica con\(p-1\) otros puntos.
El espacio de lente se\(L(p,q)\) puede obtener a partir de una división celular de la bola sólida unitaria. La división celular tiene\(p+2\) vértices: el polo norte\(n\text{,}\) el polo sur\(s\text{,}\) y vértices\(p\) igualmente espaciados a lo largo del ecuador, etiquetarlos\(v_0, v_1, \cdots, v_{p-1}\text{.}\) La siguiente figura representa esta escena para\(p = 5\text{.}\) Hay un borde\(v_i\) que conecta con cada uno de sus vecinos en el ecuador, creando\(p\) bordes alrededor del ecuador. Hay un borde que conecta cada uno\(v_i\) con\(n\) y un borde que conecta cada uno\(v_i\)\(s\text{,}\) como se muestra en la imagen, para un total de\(3p\) bordes. Los vértices y aristas crean caras\(2p\) triangulares en la esfera límite, la mitad de ellas en el hemisferio norte. El\(3\) complejo tiene una sola\(3\) celda, correspondiente al interior de la bola sólida.
Dejar\(N_i\) denotar la cara en el hemisferio norte cuyos vértices son\(v_i, v_{i+1}, n\text{.}\) Let\(S_i\) ser la cara en el hemisferio sur cuyos vértices son\(v_i, v_{i+1}\text{,}\) y\(s\text{.}\) El espacio de lente\(L(p,q)\) se crea identificando cara\(N_i\) con cara\(S_{i+q}\) donde\(i + q\) está la suma módulo tomado\(p\text{.}\) Por ejemplo, en\(L(5,2)\text{,}\) la cara sombreada\(N_0\) en la figura se identifica con la cara sombreada\(S_2\) (y el círculo de puntos que se muestra en\(N_0\) se envía al círculo de puntos en\(S_2\)). Los rostros\(N_1\) y\(S_3\) se identifican, como son\(N_2\)\(S_4\text{,}\)\(N_3\) con\(S_0\) y\(N_4\) con\(S_1\text{.}\)
Este interesante colector se puede construir a partir de dos cubos de tamaño idéntico que comparten una cara, como en la siguiente figura. La caja resultante tiene\(10\) caras para ser identificadas en pares. Un error tridimensional con un jet pack viviendo en el colector experimentaría las siguientes identificaciones de rostros. Las caras superior e inferior se identifican tal como estaban en el\(3\) toro. Cada punto en la cara posterior superior (ver el círculo en la figura) se identifica con un solo punto en la cara inferior posterior. Este punto es el reflejo del punto dado a través del segmento vertical que biseca la cara. La cara frontal superior y la cara frontal inferior se identifican de la misma manera. La figura muestra dos puntos cuadrados en estas caras que se identifican. La cara superior izquierda y la cara inferior derecha se identifican con una\(180^{\circ}\) rotación (ver el punto elíptico y su punto de imagen), al igual que la cara inferior izquierda y la cara superior derecha (se identifican los dos puntos triangulares). Este\(3\) colector también hereda la geometría euclidiana.
Una descripción más elegante de este colector hace uso de la construcción del espacio orbital de la Sección 7.7. Considera un cubo unitario sentado en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Let\(T_1\) be la siguiente transformación euclidiana: Rotar por\(180^\circ\) aproximadamente segmento\(1\) en Figura\(8.1.2(a)\) y luego traducir a lo largo de la longitud de ese segmento. El cubo original y su imagen se muestran en la Figura\(8.1.2(b)\). Dejar\(T_2\) definirse de manera similar usando segmento\(2\) de Figura\(8.1.2(a)\). El cubo original y su imagen debajo\(T_2\) se muestran en la Figura\(8.1.2(c)\). La transformación\(T_3\) se define de la misma manera usando segmento\(3\), y Figura\(8.1.2(d)\) representa su efecto sobre el cubo original. Cada una de estas transformaciones es un movimiento de tornillo. En particular, cada movimiento de tornillo consiste en rotación\(180^\circ\) y traslación por unidad de longitud. El colector Hantzsche-Wendt es entonces el cociente de\(\mathbb{R}^3\) por el grupo de isometrías euclidianas generadas por los tres movimientos de tornillo, y hereda la geometría euclidiana.
Mediante aplicaciones repetidas de las tres transformaciones y sus inversas se pueden producir cubos de imagen que cubren la mitad\(\mathbb{R}^3\) en un patrón de tablero de ajedrez. Los otros puntos en ellos mismos\(\mathbb{R}^3\) se agrupan en cubos y forman la otra mitad del patrón de tablero de ajedrez. De ello se deduce que el sólido de diez caras en Ejemplo\(8.1.6\) es un dominio fundamental del múltiple, y las identificaciones de caras están determinadas por el grupo de transformación.
Dos\(3\) colectores orientables surgen de ligeros cambios en la construcción\(3\) -toro del Ejemplo\(8.1.1\). El colector de cuarto de vuelta resulta cuando las caras frontal y posterior de un cubo se identifican con una\(90^{\circ}\) rotación, mientras que los\(2\) pares restantes de caras opuestas se identifican directamente, como lo fueron para el\(3\) toro. La figura\(8.1.3(a)\) representa esta identificación. El\(\text{F}\) en la cara frontal se identifica con un\(\text{F}\) en la cara posterior por un cuarto de vuelta.
El colector de media vuelta resulta cuando las caras frontal y posterior de un cubo se identifican con una\(180^{\circ}\) rotación, mientras que los\(2\) pares restantes de caras opuestas se identifican directamente, como lo fueron para el\(3\) toro. Ver Figura Figura\(8.1.3(b)\).
Los dos\(3\) colectores euclideanos conectados, compactos y orientables restantes tienen un prisma hexagonal como dominio fundamental. Se puede usar un hexágono para tejear el plano, y copias de un prisma hexagonal como en la Figura\(8.1.3(c)\) pueden hacer mosaicos\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Tenga en cuenta que el prisma tiene dos caras hexagonales y las otras seis caras son paralelogramos. El colector de un tercio de giro se obtiene de la siguiente manera: identificar directamente los paralelogramos que están opuestos entre sí, e identificar las dos caras hexagonales con una rotación de\(120^{\circ}\text{,}\) como en la Figura\(8.1.3(c)\). El colector de un sexto giro se obtiene identificando los paralelogramos como antes, pero las dos caras hexagonales por una rotación de tal\(60^{\circ}\text{,}\) como en la Figura\(8.1.3(d)\). Discusiones más detalladas sobre estos y los\(3\) colectores euclidianos no orientables se pueden encontrar en [12] y [16].
Ejercicios
Investigando cuaterniones.
- Demuestre eso\(\textbf{ij} = \textbf{k}\text{,}\)\(\textbf{jk} = \textbf{i},\) y\(\textbf{ki}=\textbf{j}\text{.}\)
- Demuestre eso\(\textbf{ji} = -\textbf{k}\text{,}\)\(\textbf{kj} = -\textbf{i}\text{,}\) y\(\textbf{ik}= -\textbf{j}\text{.}\)
- El conjugado de un cuaternión\(q = a + b\textbf{i} + c\textbf{j} + d\textbf{k}\) es\(q^* = a - b\textbf{i} - c\textbf{j} - d\textbf{k}\text{.}\) El módulo de\(q\) es\(|q| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\text{.}\) Probar eso\(q \cdot q^* = |q|^2\) para cualquier cuaternión.
- Demuéstralo\(|uv| = |u| \cdot |v|\) para cualquier cuaternión. Así, las transformaciones en geometría elíptica tridimensional, que tienen la forma\(T(q) = u q v\) donde\(u, q, v\) están los cuaterniones unitarios, sí envían un punto de\(\mathbb{S}^3\) a un punto en\(\mathbb{S}^3\text{.}\)
Supongamos\(P = (a,b,c,d)\) y\(-P = (-a,-b,-c,-d)\) son puntos diametralmente opuestos en\(\mathbb{S}^3\text{.}\) Probar que
\[ \phi(P) \cdot \phi(-P)^* =-1\text{,} \]
donde\(\phi : \mathbb{S}^3 \to \widehat{\mathbb{R}^3}\) está la proyección estereográfica.
Verifica que en el\(3\) -toro de Ejemplo\(8.1.1\), las ocho esquinas se juntan en un solo punto.
Verificar que en el espacio dodecaédrico de Poincaré de Ejemplo\(8.1.3\), las esquinas se junten en cinco grupos de cuatro. Especificar los cinco grupos.
Verificar que en el espacio Seifert-Weber de Ejemplo\(8.1.4\), todas\(20\) las esquinas se juntan en un solo punto.
¿Qué sucede si identificas cada par de caras opuestas en un cubo con un giro de un cuarto? Convénzate de que no todos los\(8\) rincones se juntan en un solo punto, para que el resultado no sea un\(3\) colector euclidiano.