8.3: Círculos en el cielo
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Inmediatamente después del big bang, el universo estaba tan caliente que no podían formarse los constituyentes habituales de la materia. Los fotones no podían moverse libremente en el espacio, ya que chocaban constantemente con electrones libres. Eventualmente, unos\(350,000\) años después del big bang, el universo se había expandido y enfriado hasta el punto de que la luz pudiera viajar sin obstáculos. Esta radiación libre se llama radiación cósmica de fondo de microondas (CMB), y gran parte de ella sigue viajando hoy en día. El universo se ha enfriado y expandido hasta el punto de que esta radiación se ha estirado hasta el extremo de microondas del espectro electromagnético, teniendo una longitud de onda de aproximadamente\(1\) o\(2\) milímetros.
La radiación CMB viene a nosotros desde todas las direcciones, y toda ha estado viajando por la misma cantidad de tiempo -y a la misma velocidad-. Esto quiere decir que todos han recorrido la misma distancia para llegar a nosotros en este momento. Así, podemos pensar en la radiación CMB que podemos detectar en este instante como que viene de la superficie de una\(2\) esfera gigante con nosotros en el centro de la esfera. Esta\(2\) esfera gigante se llama la última superficie de dispersión (LSS).
Quizás sea reconfortante pensar que cada uno en el universo tiene su propia última superficie de dispersión, que el LSS de cada uno tiene el mismo radio, y que este radio está creciendo en el tiempo.
La radiación CMB que nos llega tiene una temperatura que es notablemente uniforme: es constante a unas pocas partes adentro\(100,000\), lo que hace que la temperatura de la radiación en el LSS sea muy casi perfectamente uniforme. Como señala Craig Hogan en [14], esto es mucho más suave que una bola de billar. Sin embargo, hay ligeras variaciones en la temperatura. Estas variaciones, debido a leves desequilibrios en la distribución de la materia en el universo temprano, se predijeron mucho antes de que finalmente se encontraran (cuando nuestros instrumentos se volvieron lo suficientemente sensibles como para detectarlos). Estas ligeras diferencias de temperatura podrían revelar la forma del universo.
Imagina que nuestro universo es un\(3\) toro gigante. Supongamos que un dominio fundamental para el universo es una caja rectangular como se muestra en Ejemplo\(8.1.1\), y que esta caja es nuestro dominio Dirichlet (estamos en el centro de esta caja). Podemos tejear\(\mathbb{R}^3\) con copias de este dominio fundamental, colocándonos en la misma posición de cada copia del dominio fundamental. Ahora, imagina nuestra última superficie dispersante en el dominio fundamental. De hecho, habrá una copia de nuestra última superficie de dispersión rodeando cada copia de nosotros en cada copia del dominio fundamental.
Si nuestra última superficie de dispersión es pequeña en relación con el tamaño del dominio fundamental, como en la Figura\(8.3.1(a)\), entonces no cruzará ninguna de sus copias. Sin embargo, si la última superficie de dispersión es grande en relación con el tamaño del dominio fundamental, como en la Figura\(8.3.1(b)\), entonces cruzará una o más de sus copias. Además, las copias adyacentes del LSS se cruzarán en círculo. En este feliz caso, nuestra última superficie de dispersión contendrá círculos con distribuciones de temperatura coincidentes. Vuelva a mirar Figura\(8.3.1(b)\). Tenemos tres copias de nuestro dominio fundamental en la foto, así como tres copias del LSS (solo una de las cuales está sombreada para que la situación sea menos abarrotada). Dos círculos verticales de intersección aparecen en la figura. Desde nuestro punto de vista en el centro del LSS, las dos imágenes del círculo estarán directamente opuestas entre sí en el cielo. Dado que estos círculos son uno y lo mismo, la distribución de temperatura alrededor de los dos círculos coincidirá. Ahí radica la esperanza. Escanee la distribución de temperatura en la última superficie de dispersión para ver círculos coincidentes.
Esta estrategia para detectar un universo finito se denomina método circles-in-the-sky, que, en topología cósmica, tiene ventajas sobre el método de cristalografía cósmica. En teoría, el método circles-in-the-sky puede ser utilizado para detectar cualquier colector compacto, independientemente de la geometría que admita. Además, la búsqueda de círculos coincidentes es independiente de una métrica. No es necesario hacer una afirmación sobre la geometría del universo para detectar un universo finito.
Este método es computacionalmente muy intensivo. La búsqueda de círculos coincidentes en esta\(2\) esfera gigante implica el análisis de un espacio de seis parámetros: el centro\((\theta_1,\phi_1)\) de un círculo en el LSS, el centro del segundo círculo\((\theta_2,\phi_2)\text{,}\) el radio angular común\(\alpha\) de los dos círculos (ya que estos círculos son copias del mismo círculo tendrán el mismo radio), y la fase relativa de los dos círculos, digamos\(\beta\text{.}\) (Ver el diagrama que sigue.) En general,\(\beta \neq 0\) si las identificaciones de rostros en el\(3\) colector implican rotaciones. Nos queda analizar si existe una correlación estadísticamente significativa entre las temperaturas a medida que avanzamos alrededor de los círculos.
Al comparar el tamaño del LSS en relación con el tamaño del espacio, es conveniente definir la siguiente dimensión de longitud. El radio de inyectividad en un punto de un colector, denotado\(r_{inj}\text{,}\) es la mitad de la distancia del camino geodésico cerrado más corto que comienza y termina en ese punto. Una condición necesaria, entonces, para detectar círculos coincidentes en el LSS en nuestra ubicación es que nuestro radio observable\(r_{obs}\) excede nuestro radio de inyectividad\(r_{inj}\text{.}\)
Si el universo es un\(3\) toro, y nuestro LSS tiene un diámetro mayor que alguna dimensión del\(3\) toro, entonces el LSS cruzará copias de sí mismo, y los círculos coincidentes serían diametralmente opuestos entre sí en el LSS. Supongamos que nuestro dominio de Dirichlet en un universo\(3\) -torus es un\(a\)\(b\) by\(c\) box en\(\mathbb{R}^3\text{,}\) donde\(a \lt b \lt c\text{.}\) Nuestro LSS se centra entonces en el centro de la caja. El radio de inyectividad del universo es\(\dfrac{a}{2}\text{.}\) En la siguiente figura, asumimos que\(r_{obs}\text{,}\) el radio del LSS, es mayor que\(\dfrac{a}{2}\) pero menor que\(\dfrac{b}{2}\text{.}\) En este caso, el método circles-in-the-sky detectaría un par de círculos coincidentes en la distribución de temperatura del LSS . Desde la Tierra\(E\text{,}\) observaríamos ese círculo\(C_1\text{,}\) cuando se traza en sentido contrario a las agujas del reloj, coincide con el círculo\(C_2\) cuando se traza en el sentido de las agujas del reloj, sin desplazamiento de fase relativo.
Si el tamaño es correcto, los seis\(3\) colectores euclideanos compactos orientables tendrían círculos coincidentes que son diametralmente opuestos entre sí en el LSS. El desplazamiento de fase en estos círculos coincidentes será distinto de cero si las caras se identifican con una rotación.
Si vivimos en un espacio dodecaédrico de Poincaré y nuestro LSS es lo suficientemente grande, podríamos ver seis pares de círculos coincidentes, cada par consiste en círculos diametralmente opuestos en el cielo con distribuciones de temperatura coincidentes después de un desplazamiento de fase relativo de\(36^{\circ}\text{.}\) La siguiente figura indica la coincidencia círculos que surgirían de la identificación de la cara frontal y la cara posterior del dodecaedro. Desde la Tierra\(E\text{,}\) observaríamos que el círculo\(C_1\) cuando se traza en sentido contrario a las agujas del reloj coincide con el círculo\(C_2\) cuando se traza en el sentido de las agujas del reloj, con un desplazamiento de fase de\(36^{\circ}\text{.}\)
En general, los círculos coincidentes que (podríamos) ver pueden depender no sólo de la forma del universo, sino también de dónde nos encontramos en el universo. Esto se deduce porque el dominio de Dirichlet puede variar de punto a punto (ver Ejemplo\(7.7.7\) para el caso bidimensional). De los\(3\) colectores\(10\) euclidianos, solo el\(3\) -toro tiene la característica de que el dominio Dirichlet es independiente de la ubicación. Algunos (pero no todos)\(3\) colectores elípticos tienen esta característica, y en cualquier\(3\) colector hiperbólico, el dominio de Dirichlet depende de su ubicación. Así, si observamos círculos coincidentes, no sólo puede revelar la topología sino también la ubicación de la Tierra en el universo.
Las búsquedas hasta la fecha se han centrado en círculos diametralmente opuestos entre sí en el LSS (o casi así). Esta restricción reduce el espacio de búsqueda de seis parámetros a cuatro. Felizmente, la mayoría de las formas del universo detectables tendrían círculos coincidentes diametralmente opuestos entre sí, o casi así. Al momento de escribir esto, no se han encontrado círculos coincidentes, y este resultado negativo pone límites en el tamaño de nuestro universo. Por ejemplo, un artículo escrito por las personas que primero se dieron cuenta de un pequeño universo finito se imprimiría en el LSS [19], concluye a partir de la ausencia de círculos coincidentes que el universo tiene una escala de topología (es decir, radio de inyectividad\(r_{inj}\)) mayor que las\(24\) gigaparsecs, que funciona a\(24 \times 3.26 \times 10^9 \approx 78\) mil millones de años luz. Entonces, un viaje geodésico de ruta cerrada en el universo tendría al menos\(156\) mil millones de años luz de largo.
Esta fantástica distancia es difícil de entender, pero parece seguro decir que podríamos abandonar la posibilidad de mirar hacia los cielos y ver una imagen lejana de nuestra amada Galaxia de la Vía Láctea.
Además de [19], se han escrito otros artículos accesibles sobre el método circles-in-the-sky, así como el método de cristalografía cósmica. (Ver [23], [26] y [24].) Jeff Weeks también discute ambos programas de investigación en La forma del espacio, [12].