4.3: Transversales a Tres Líneas Paralelas

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En el Capítulo 1 definimos una transversal para ser una línea que intersecta otras dos líneas, ahora extenderemos la definición a una línea que intersecta otras tres líneas. En la Figura$\PageIndex{1}$,$AB$ es una transversal a tres líneas.

2020-11-17 7.05.15.png — Figura$\PageIndex{1}$:$AB$ es transversal a tres líneas.

Si las tres líneas son paralelas y tenemos dos de esas transversales podemos exponer el siguiente teorema:

Teorema$\PageIndex{1}$

Los segmentos de línea formados por dos transversales que cruzan tres líneas paralelas son proporcionales.

En la Figura$\PageIndex{2}$,$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.

2020-11-17 7.09.40.png — Figura$\PageIndex{2}$: Los segmentos lineales formados por las transversales son proporcionales.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Encuentra$x$:

$2020-11-17 7.12.17.png$

Solución

\[\begin{array} {rcl} {\dfrac{x}{3}} & = & {\dfrac{8}{4}} \\ {4x} & = & {24} \\ {x} & = & {6} \end{array}\]

Comprobar:

$2020-11-17 7.12.37.png$

Respuesta:$x = 6$.

Prueba de teorema$\PageIndex{1}$

Dibujar$GB$ y$HC$ paralelo a$DF$ (Figura$\PageIndex{3}$). Los ángulos correspondientes de las líneas paralelas son iguales y así$\triangle BCH \sim \triangle ABG$. Por lo tanto

\[\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{CH}{BG}.\]

Ahora$CH = FE = c$ y$BG = ED = d$ porque son los lados opuestos de un paralelogramo. Sustituyendo, obtenemos

\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}.\]

2020-11-17 7.16.41.png — Figura$\PageIndex{3}$: Dibujar$GB$ y$HC$ paralelo a$DF$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encuentra$x$:

$2020-11-17 7.18.35.png$

Solución

$\begin{array} {rcl} {\dfrac{x}{3}} & = & {\dfrac{2x + 2}{4x + 1}} \\ {(x)(4x + 1)} & = & {(3)(2x + 2)} \\ {4x^2 + x} & = & {6x + 6} \\ {4x^2 - 5x - 6} & = & {0} \\ {(x - 2)(4x + 3)} & = & {0} \end{array}$

$\begin{array} {rcl} {x - 2} & = & {0} \\ {x} & = & {-2} \end{array}$o$\begin{array} {rcl} {4x + 3} & = & {0} \\ {4x} & = & {-3} \\ {x} & = & {-\dfrac{3}{4}} \end{array}$

Rechazamos$x = -\dfrac{3}{4}$ porque$BC = x$ no puede ser negativo.

Comprobar,$x = 2$:

$2020-11-17 7.27.25.png$