6.2: El área de un paralelogramo
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En paralelogramo\(ABCD\) de Figura\(\PageIndex{1}\), lado\(AB\) se llama la base y el segmento de línea\(DE\) se llama la altura o altitud. La base puede ser cualquier lado del paralelogramo, aunque generalmente se elige para ser el lado en el que el paralelogramo parece estar descansando. La altura es una línea dibujada perpendicular a la base desde el lado opuesto.
El son de un paralelogramo es igual a su base por su altura.
\[A = bh\]
- Prueba
-
Dibuja\(BF\) y\(CF\) como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). \(\angle A=\angle CBF\),\(\angle AED=\angle F=90^{\circ},\) y\(AD=BC\). Por lo tanto\(\triangle ADE \cong \triangle BCF\) y el área de\(\triangle ADE\) es igual al área de\(\triangle BCF\). Contamos con:
\[\begin{array} {rcl} {\text{Area of parallelogram } ABCD} & = & {\text{Area of } \triangle ADE + \text{ Area of trapezoid } BCDE} \\ {} & = & {\text{Area of } \triangle BCF + \text{ Area of trapezoid } BCDE} \\ {} & = & {\text{Area of rectangle } CDEF} \\ {} & = & {bh.} \end{array}\]
Encuentra el área y perímetro de\(ABCD\):
Solución
\(b = AB = CD = 8\),\(h = 3\). \(\text{Area } = bh = (8)(3) = 24\). \(AB = CD=8\). \(BC = AD =5\). Perímetro = 8 + 8 + 5 + 5 = 26.
Respuesta:
Área = 24, Perímetro = 26.
Encuentra el área y perímetro de\(ABCD\):
Solución
Aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo\(ADE\):
\[\begin{array} {rcl} {\text{AE}^2 + \text{DE}^2} & = & {\text{AD}^2} \\ {2^2 + h^2} & = & {3^2} \\ {4 + h^2} & = & {9} \\ {h^2} & = & {5} \\ {h} & = & {\sqrt{5}} \end{array}\]
Área =\(bh = (8)(\sqrt{5}) = 8\sqrt{5}\)
Perímetro\(=8+8+3+3=22\)
Respuesta:\(A = 8 \sqrt{5}, P = 22\).
Encuentra el área y perímetro a la décima más cercana
Solución
Para encontrar el área primero debemos encontrar la altura\(h\) (Figura\(\PageIndex{3}\)), Usando trigonometría
\(\begin{array} {rcl} {\sin 40^{\circ}} & = & {\dfrac{h}{4}} \\ {(4) .6428} & = & {\dfrac{h}{\cancel{4}} (\cancel{4})} \\ {2.5712} & = & {h} \end{array}\)
Área =\(bh = (10)(2.5712) = 25.712 - 25.7\)
Perímetro = 10 + 10 + 4 + 4 = 28.
Contestar
\(A = 25.7\),\(P = 28\).
Encuentra\(x\) si el área es 21.
Solución
\[\begin{array} {rcl} {A} & = & {bh} \\ {21} & = & {(x + 3)(\dfrac{12}{x})} \\ {(x)21} & = & {(x + 3)(\dfrac{12}{\cancel{x}})(\cancel{x})} \\ {21x} & = & {12x + 36} \\ {9x} & = & {36} \\ {x} & = & {4} \end{array}\]
Comprobar:
Contestar
\(x = 4\).
El área de paralelogramo\(ABCD\) es 48 y el perímetro es 34. Encuentra\(x\) y\(y\):
Solución
\[\begin{array} {rcl} {\text{Perimeter}} & = & {AB +BC+CD+DA} \\ {34} & = & {x + 5 + x+5} \\ {34} & = & {2x+10} \\ {24} & = & {2x} \\ {12} & = & {x} \\ {\text{Area}} & = & {xy} \\ {48} & = & {12y} \\ {4} & = & {y} \end{array}\]
Comprobar:
Contestar
\(x = 12, y = 4\)
Problemas
1 - 4. Encuentra el área y perímetro de\(ABCD\)
1.
2.
3.
4.
5 - 6. Encuentra el área y perímetro a la décima más cercana:
5.
6.
7 - 8. Encuentra el área y perímetro. Deja las respuestas en forma radical más simple:
7.
8.
9. Encuentra\(x\) si el área de\(ABCD\) es 36:
10. Encuentra\(x\) si el área de\(ABCD\) es 72:
11. Encuentra\(x\) si el perímetro es 22:
12. Encuentra\(x\) si el perímetro es 40:
13. El área de\(ABCD\) es 40 y el perímetro es 28. Encuentra\(x\) y\(y\):
14. El área de\(ABCD\) es 40 y el perímetro es 30. Encuentra\(x\) y\(y\):