6.2: El área de un paralelogramo

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En paralelogramo$ABCD$ de Figura$\PageIndex{1}$, lado$AB$ se llama la base y el segmento de línea$DE$ se llama la altura o altitud. La base puede ser cualquier lado del paralelogramo, aunque generalmente se elige para ser el lado en el que el paralelogramo parece estar descansando. La altura es una línea dibujada perpendicular a la base desde el lado opuesto.

Figura$\PageIndex{1}$: Paralelogramo$ABCD$ con base$b$ y altura$h$.

Teorema$\PageIndex{1}$

El son de un paralelogramo es igual a su base por su altura.

\[A = bh\]

Prueba

Dibuja$BF$ y$CF$ como se muestra en la Figura$\PageIndex{2}$. $\angle A=\angle CBF$,$\angle AED=\angle F=90^{\circ},$ y$AD=BC$. Por lo tanto$\triangle ADE \cong \triangle BCF$ y el área de$\triangle ADE$ es igual al área de$\triangle BCF$. Contamos con:

\[\begin{array} {rcl} {\text{Area of parallelogram } ABCD} & = & {\text{Area of } \triangle ADE + \text{ Area of trapezoid } BCDE} \\ {} & = & {\text{Area of } \triangle BCF + \text{ Area of trapezoid } BCDE} \\ {} & = & {\text{Area of rectangle } CDEF} \\ {} & = & {bh.} \end{array}\]

Figura$\PageIndex{2}$: Dibujar$BF$ y$CF$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Encuentra el área y perímetro de$ABCD$:

Solución

$b = AB = CD = 8$,$h = 3$. $\text{Area } = bh = (8)(3) = 24$. $AB = CD=8$. $BC = AD =5$. Perímetro = 8 + 8 + 5 + 5 = 26.

Respuesta:

Área = 24, Perímetro = 26.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encuentra el área y perímetro de$ABCD$:

Solución

Aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo$ADE$:

\[\begin{array} {rcl} {\text{AE}^2 + \text{DE}^2} & = & {\text{AD}^2} \\ {2^2 + h^2} & = & {3^2} \\ {4 + h^2} & = & {9} \\ {h^2} & = & {5} \\ {h} & = & {\sqrt{5}} \end{array}\]

Área =$bh = (8)(\sqrt{5}) = 8\sqrt{5}$

Perímetro$=8+8+3+3=22$

Respuesta:$A = 8 \sqrt{5}, P = 22$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Encuentra el área y perímetro a la décima más cercana

$clipboard_e1ef2b57a9f0e8c09097be7affb1a9648.png$

Solución

Para encontrar el área primero debemos encontrar la altura$h$ (Figura$\PageIndex{3}$), Usando trigonometría

Screen Shot 2020-12-18 a las 4.16.50 PM.png — Figura$\PageIndex{3}$: Dibujar en altura$h$.

$\begin{array} {rcl} {\sin 40^{\circ}} & = & {\dfrac{h}{4}} \\ {(4) .6428} & = & {\dfrac{h}{\cancel{4}} (\cancel{4})} \\ {2.5712} & = & {h} \end{array}$

Área =$bh = (10)(2.5712) = 25.712 - 25.7$

Perímetro = 10 + 10 + 4 + 4 = 28.

Contestar

$A = 25.7$,$P = 28$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Encuentra$x$ si el área es 21.

$clipboard_e127af6096e673fe0dff3d3913cbe85d3.png$

Solución

\[\begin{array} {rcl} {A} & = & {bh} \\ {21} & = & {(x + 3)(\dfrac{12}{x})} \\ {(x)21} & = & {(x + 3)(\dfrac{12}{\cancel{x}})(\cancel{x})} \\ {21x} & = & {12x + 36} \\ {9x} & = & {36} \\ {x} & = & {4} \end{array}\]

Comprobar:

$Screen Shot 2020-12-18 en 4.25.44 PM.png$

Contestar

$x = 4$.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

El área de paralelogramo$ABCD$ es 48 y el perímetro es 34. Encuentra$x$ y$y$:

$clipboard_e5df41c57031286a531de30ceb33fbd5e.png$

Solución

\[\begin{array} {rcl} {\text{Perimeter}} & = & {AB +BC+CD+DA} \\ {34} & = & {x + 5 + x+5} \\ {34} & = & {2x+10} \\ {24} & = & {2x} \\ {12} & = & {x} \\ {\text{Area}} & = & {xy} \\ {48} & = & {12y} \\ {4} & = & {y} \end{array}\]

Comprobar:

$Screen Shot 2020-12-18 a las 4.29.55 PM.png$