6.4: La zona de un rombo

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El área de un rombo se puede encontrar usando la fórmula para el área de un paralelogramo$A=bh$, ya que un rombo es un tipo especial de paralelogramo (Figura$\PageIndex{1}$). Sin embargo, si se conocen las diagonales se puede usar la siguiente fórmula en su lugar (Figura$\PageIndex{2}$):

Figura$\PageIndex{1}$: El área de Thombus$ABCD$ es$bh$. Figura$\PageIndex{2}$: El área de rombo$ABCD$ es$\dfrac{1}{2} d_1d_2$

Teorema$\PageIndex{1}$

El área de un rombo es la mitad del producto de las diagonales.

\[A=\dfrac{1}{2} a_{1} a_{2}\]

Prueba

Haciendo referencia a la Figura$\PageIndex{2}$,

Área de$\triangle ABC$ =$\dfrac{1}{2} bh = \dfrac{1}{2} (AC)(BE) = \dfrac{1}{2} d_1 (\dfrac{1}{2} d_2) = \dfrac{1}{4} d_1d_2$.

Área de$\triangle ADC$ =$\dfrac{1}{2} bh = \dfrac{1}{2} (AC)(DE) = \dfrac{1}{2} d_1 (\dfrac{1}{2} d_2) = \dfrac{1}{4} d_1d_2$.

Área de rombo$ABCD$ = Área de$\triangle ABC$ + Área de$\triangle ADC$ =\ dfrac {1} {4} d_1d_2 +\ dfrac {1} {4} d_1d_2 =\ dfrac {1} {2} d_1d_2\).

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Encuentra el área del rombo:

$clipboard_e584434d2945eb134a723eed58ff71683.png$

Solución

$A=\dfrac{1}{2} a_{1} d_{2}=\dfrac{1}{2}(8)(6)=\dfrac{1}{2}(48)=24$

Respuesta: 24.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encuentra el área y perímetro del rombo:

$clipboard_e389bf70d17872bd59d6516c720933434.png$

Solución

Las diagonales de un rombo son perpendiculares por lo que$\triangle CDE$ es un triángulo rectángulo. Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

\[\begin{array} {rcl} {5^2 + x^2} & = & {(x+1)^2} \\ {25 + x^2} & = & {x^2 + 2x + 1} \\ {24} & = & {2x} \\ {12} & = & {x} \end{array}\]

$d_1 = 12 + 12 = 24$. $d_2 = 5 + 5 =10$. $A = \dfrac{1}{2}d_1d_2 = \dfrac{1}{2} (24)(10) = 120$.

$CD = x + 1 = 12 + 1= 13$.

Perímetro = 13 + 13 + 13 + 13 = 52.

Respuesta:$A = 120$,$P = 52$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Encuentra el área del rombo:

$clipboard_ed16a7f2abde52cac8d98ad8df60fe1c8.png$

Solución

Al igual que en el Ejemplo 4.5.6 de la sección 4.5, obtenemos$AC = 4\sqrt{3}$ y$BD = 4$, Área =$\dfrac{1}{2} d_1d_2 = \dfrac{1}{2} (AC)(BD) = \dfrac{1}{2}(4\sqrt{3})(4) = 8\sqrt{3}$.

Respuesta:$A = 8\sqrt{3}$.