7.3: Tangentes al Círculo

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Una tangente a un círculo es una línea que cruza el círculo exactamente en un punto. En la Figura 1 la línea$\overleftrightarrow{AB}$ es un círculo tangente que se cruza$O$ justo en el punto$P$.

Figura 1. $\overleftrightarrow{AB}$es tangente a círculo$O$ en el punto$P$.

Una tangente tiene la siguiente propiedad importante:

Teorema$\PageIndex{1}$

Una tangente es perpendicular al radio dibujado al punto de intersección.

Prueba: $OP$es el segmento de línea más corto que se puede dibujar de 0 a línea$\overleftrightarrow{AB}$. Esto se debe a que si$Q$ fuera otro punto en$\overleftrightarrow{AB}$ entonces$OQ$ sería más largo que el radio$OR = OP$ (Figura$\PageIndex{2}$). Por lo tanto$OP \perp \overleftrightarrow{AB}$ dado que el segmento de línea más corto que se puede dibujar de un punto a una línea recta es la perpendicular (Teorema$\PageIndex{2}$, sección 4.6). Esto completa la prueba.

$Screen Shot 2020-12-29 a las 12.12.59 PM.png$
Figura$\PageIndex{2}$:$OP$ es el segmento de línea más corto que se puede dibujar de$O$ a línea$\overleftrightarrow{AB}$.

En la Figura la$\PageIndex{1}$ tangente$\overleftrightarrow{AB}$ es perpendicular al radio$OP$ en el punto de intersección$P$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Encuentra$x$:

$Screen Shot 2020-12-29 a las 12.07.51 PM.png$

Solución

Según el Teorema$\PageIndex{1}$,$\angle QPO$ es un ángulo recto. Por lo tanto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo$QPO$:

\[\begin{array} {rcl} {6^2 + 8^2} & = & {x^2} \\ {36 + 64} & = & {x^2} \\ {100} & = & {x^2} \\ {10} & = & {x} \end{array}\]

Respuesta:$x = 10$.

Lo contrario del teorema también$\PageIndex{1}$ es cierto:

Teorema$\PageIndex{2}$

Una línea perpendicular a un radio en un punto que toca el círculo debe ser una tangente.

En Figura$\PageIndex{3}$, si$OP \perp \overleftrightarrow{AB}$ entonces$\overleftrightarrow{AB}$ debe ser una tangente; es decir,$P$ es el único punto en el que$\overleftrightarrow{AB}$ puede tocar el círculo (Figura$\PageIndex{4}$).

Screen Shot 2020-12-29 a las 12.17.08 PM.png — Figura$\PageIndex{3}$: Si$OP \perp \overleftrightarrow{AB}$ entonces$\overleftrightarrow{AB}$ debe ser una tangente.

Screen Shot 2020-12-29 a las 12.18.08 PM.png — Figura$\PageIndex{4}$: El teorema$\PageIndex{2}$ implica que esto **no puede** suceder.

Prueba: Supongamos que$Q$ hubo algún otro punto sobre$\overleftrightarrow{AB}$. Después$OQ$ está la hipotenusa del triángulo rectángulo$OPQ$ (ver Figura$\PageIndex{3}$). Según el Teorema$\PageIndex{1}$, sección 4.6, la hipotenusa de un triángulo rectángulo siempre es mayor que una pierna. Por tanto, la hipotenusa$OQ$ es mayor que la pierna$OP$. Dado que$OQ$ es mayor que el radio$OP$,$Q$ no puede estar en el círculo. Hemos demostrado que ningún otro punto sobre$AB$ además$P$ puede estar en el círculo. Por lo tanto$\overleftrightarrow{AB}$ es una tangente. Esto completa la prueba.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Buscar$x$,$\angle O$, y$\angle P$:

$Screen Shot 2020-12-29 a las 12.22.59 PM.png$

Solución

$\overleftrightarrow{AP}$y$\overleftrightarrow{BP}$ son tangentes a círculo$O$, así por teorema$\PageIndex{1}$,$\angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ}$. La suma de los ángulos del cuadrilátero$AOBP$ es$360^{\circ}$ (ver Ejemplo 1.5.5, sección 1.5), de ahí

\[\begin{array} {rcl} {90 + \left(\dfrac{3}{2} x + 10\right) + 90 + \dfrac{4}{3} x} & = & {360} \\ {\dfrac{3}{2}x + \dfrac{4}{3} x + 190} & = & {360} \\ {\dfrac{3}{2} x + \dfrac{4}{3} x} & = & {170} \\ {(6)\left(\dfrac{3}{2}x\right) + (6)\left(\dfrac{4}{3} x\right)} & = & {(6)(170)} \\ {9x + 8x} & = & {1020} \\ {17x} & = & {1020} \\ {x} & = & {60} \end{array}\]

Sustituyendo 60 por$x$, encontramos

$\angle O = \left(\dfrac{3}{2}x + 10\right)^{\circ} = \left(\dfrac{3}{2}(60) + 10\right)^{\circ} = (90 + 10)^{\circ} = 100^{\circ}$

$\angle P = \dfrac{4}{3} x^{\circ} = \dfrac{4}{3} (60)^{\circ} = 80^{\circ}$.

Comprobar:

$\angle A + \angle O + \angle B + \angle P = 90^{\circ} + 100^{\circ} + 90^{\circ} + 80^{\circ} = 360^{\circ}.$

Contestar

$x = 60, \angle O = 100^{\circ}, \angle P = 80^{\circ}$.

Si medimos segmentos de línea$AP$ y$BP$ en Ejemplo$\PageIndex{2}$ encontraremos que son aproximadamente iguales en longitud. De hecho podemos demostrar que deben ser exactamente iguales:

Teorema$\PageIndex{3}$

Las tangentes dibujadas a un círculo desde un punto exterior son iguales.

En Figura$\PageIndex{5}$ si$\overleftrightarrow{AP}$ y$\overleftrightarrow{BP}$ son tangentes entonces$AP = BP$.

Screen Shot 2020-12-29 a las 12.33.33 PM.png — Figura$\PageIndex{5}$: Si$\overleftrightarrow{AP}$ y$\overleftrightarrow{BP}$ son tangentes entonces$AP = BP$.

Prueba: $Screen Shot 2020-12-29 a las 12.34.50 PM.png$
Figura$\PageIndex{6}$: Dibujar$OA, OB$ y$OP$.

Dibujar$OA, OB$, y$OP$ (Figura$\PageIndex{6}$). $OA = OB$(todos los radios son iguales),$OP = OP$ (identidad) y$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ (Teorema (\ PageIndex {1}\)), de ahí$\triangle AOP \cong \triangle BOP$ por Hyp-Leg = Hyp-Leg. Por$AP = BP$ lo tanto, porque son lados correspondientes de triángulos congruentes.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Encuentra$x$ y$y$:

$Screen Shot 2020-12-29 a las 12.39.40 PM.png$

Solución

Por el teorema de Pitágoras,$x^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$ y$x = \sqrt{45} = \sqrt{9}\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$. Por teorema$\PageIndex{3}$,$y = BP = AP = 6$.

Respuesta:$x = 3\sqrt{5}, y = 6$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Encuentra$x$:

$Screen Shot 2020-12-29 a las 12.41.50 PM.png$

Solución

Por teorema$\PageIndex{3}$,$AP = BP$. Así$\triangle ABP$ es isósceles con$\angle PAB = \angle PBA = 75^{\circ}$. Por lo tanto$x^{\circ} = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}$.

Respuesta:$x = 15$.

Si cada lado de un polígono es tangente a un círculo, se dice que el círculo está inscrito en el polígono y se dice que el polígono está circunscrito alrededor del círculo. En la Figura el$\PageIndex{7}$ círculo 0 está inscrito en cuadrilátero$ABCD$ y$ABCD$ se circunscribe alrededor del círculo$O$.