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LibreTexts Español

2.E: Aplicaciones de Derivados (Ejercicios)

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

2.1: Tasas Instantáneas de Cambio: El Derivado

Términos y Conceptos

1. T/F: Dejarf ser una función de posición. La tasa promedio de cambio en [a, b] es la pendiente de la línea a través de los puntos(a,f(a)) y(b,f(b)).

2. T/F: La definición de la derivada de una función en un punto implica tomar un límite

3. En sus propias palabras, explique la diferencia entre la tasa promedio de cambio y la tasa instantánea de cambio.

4. En sus propias palabras, explique la diferencia entre las Definiciones 7 y 10.

5. Vamosy=f(x). Dar tres notaciones diferentes equivalentes af(x).

Problemas

En los Ejercicios 6-12, utilice la definición de la derivada para calcular la derivada de la función dada.

6. f(x)=6

7. f(x)=2x

8. f(t)=43t

9. g(x)=x2

10. f(x)=3x2x+4

11. r(x)=1x

12. r(s)=1s2

En los Ejercicios 13-19, se dan una función y un valor xc.
(Nota: estas funciones son las mismas que las dadas en los Ejercicios 6 al 12.)

(a) Encuentra la línea tangente a la gráfica de la función enc.
(b) Encontrar la línea normal a la gráfica de la función enc.

13. f(x)=6, at x=2.

14. f(x)=2x, at x=3.

15. f(x)=43x, at x=7.

16. g(x)=x2, at x=2.

17. f(x)=3x2x+4, at x=1.

18. r(x)=1x, at x=2.

19. r(x)=1x2, at x=3.

En los Ejercicios 20-23, se dan una funciónf y un valor xa. Aproximar la ecuación de la línea tangente a la gráfica def atx=a aproximando numéricamentef(a), usandoh=0.1.

20. f(x)=x2+2x+1,x=3

21. f(x)=10x+1,x=9

22. f(x)=ex,x=2

23. f(x)=cosx,x=0

24. Se muestra laf(x)=x21 gráfica de.
(a) Utilice la gráfica para aproximar la pendiente de la línea tangente hastaf en los siguientes puntos: (-1,0), (0, -1) y (2,3).
b) Utilizando la definición, encontrarf(x).
(c) Encontrar la pendiente de la línea tangente en los puntos (-1,0), (0, -1) y (2,3).
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25. Se muestra laf(x)=1x+1 gráfica de.
(a) Utilice la gráfica para aproximar la pendiente de la línea tangente hastaf en los siguientes puntos: (0,1) y (1, 0.5).
b) Utilizando la definición, encontrarf(x).
(c) Encontrar la pendiente de la línea tangente en los puntos (0, 1) y (1, 0.5).
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En los Ejercicios 26-29,f(x) se da una gráfica de una función. Usando la gráfica, bosquejof(x).

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30. Usando la gráfica deg(x) abajo, conteste las siguientes preguntas.
a) ¿Dónde estág(x)>0?
b) ¿Dónde estág(x)<0?
c) ¿Dónde estág(x)=0?
d) ¿Dónde estág(x)<0?
e) ¿Dónde estág(x)>0?
f) ¿Dónde estág(x)=0?

Revisar

31. Aproximadolimx5x2+2x35x210.5+27.5.

32. Utilice el Método de Bisección para aproximar, con precisión a dos decimales, la raíz deg(x)=x3+x2+x1 on [0.5, 0.6].

33. Dar intervalos en los que cada una de las siguientes funciones sean continuas.
a)1ex+1
b)1ex1
c)5x
d)5x2

34. Utilice la gráfica def(x) proporcionada para responder a lo siguiente.
a)limx3f(x)=?
b) climx3+f(x)=?
) dlimx3f(x)=?
) ¿Dónde esf continuo?
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2.2: Interpretaciones de la Derivada

Términos y Conceptos

1. ¿Cómo se llama la tasa instantánea de cambio de posición?

2. Dada una funcióny=f(x), en sus propias palabras describa cómo encontrar las unidades def(x).

3. ¿Qué funciones tienen una tasa de cambio constante?

Problemas

4. Dadof(5=10 and f(5)=2, aproximadof(6).

5. DadoP(100)=67 yP(100)=5, aproximadoP(110).

6. Dadoz(25)=187 yz(25)=17, aproximadoz(20).

7. Conociendof(10)=25f(10)=5 y y los métodos descritos en esta sección, qué aproximación es probable que sea más precisa:f(10.1),f(11), or f(20)? Explica tu razonamiento.

8. Dadof(7)=26 and f(8)=22, aproximadof(7).

9. DadoH(0)=17 yH(2)=29, aproximadoH(2).

10. DejarV(x) medir el volumen, en decibelios, medido dentro de un restaurante con x clientes. ¿De qué son las unidadesV(x)?

11. Dejarv(t) medir la velocidad, en pies/s, de un carro moviéndose en línea rectat segundos después de arrancar. ¿De qué son las unidadesv(t)?

12. La altura H, en pies, de un río se registrat horas después de la medianoche del 1 de abril. ¿De qué son las unidadesH(t)?

13. Pes la ganancia, en miles de dólares, de producir y venderc autos.
a) ¿De qué son las unidadesP(c)?
b) ¿De qué es probable que sea ciertoP(0P?

14. Tes la temperatura en grados Fahrenheit,h horas después de la medianoche del 4 de julio en Sidney, NE.
a) ¿De qué son las unidadesT(h)?
b) ¿EsT(8) probable que sea mayor o menor que 0? ¿Por qué?
c) ¿EsT(8) probable que sea mayor o menor que 0? ¿Por qué?

En los Ejercicios 15-18f(x) and g(x) se dan gráficas de las funciones. Identificar qué función es la derivada de la otra.

15.
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Revisar

En los Ejercicios 19-20, utilice la definición para computar las derivadas de las siguientes funciones.

19. f(x)=5x2

20. f(x)=x at x=9.

En los Ejercicios 21-22, aproximar numéricamente el valor def(x) al valor x indicado.

21. f(x)=cosx at x=π.

22. f(x)=x at x=9.

2.3: Reglas Básicas de Diferenciación

Términos y Conceptos

1. ¿Cuál es el nombre de la regla que establece queddx(xn)=nxn1, dónden>0 está un entero?

2. ¿Qué esddx(lnx)?

3. Dar un ejemplo de una función f (x) dondef(x)=f(x).

4. Dar un ejemplo de una funciónf(x) where f(x)=0.

5. Las reglas derivadas introducidas en esta sección explican cómo calcular la derivada de cuál de las siguientes funciones?

  • f(x)=3x2
  • g(x)=3x2x+17
  • h(x)=5lnx
  • j(x)=sinxcosx
  • k(x)=ex2
  • m(x)=x

6. Explica con tus propias palabras cómo encontrar la tercera derivada de una funciónf(x).

7. Dar un ejemplo de una función dondef(x)0 and f(x)=0.

8. Explique con sus propias palabras lo que “significa” la segunda derivada.

9. Sif(x) describe una función de posición, ¿entoncesf(x) describe qué tipo de función? ¿Qué tipo de función esf(x)?

10. Dejarf(x) ser una función medida en libras, donde x se mide en pies. ¿De qué son las unidadesf(x)?

Problemas

En los Ejercicios 11-25, computar la derivada de la función dada.

11. f(x)=7x25x+7

12. g(x)=14x3+7x2+11x29

13. m(t)=9t218t3+3t8

14. f(θ)=9sinθ+10cosθ

15. f(r)=6er

16. g(t)=10t4cost+7sint

17. f(x)=2lnxx

18. p(s)=14s4+13s3+12s2+s+1

19. h(t)=etsintcost

20. f(x)=ln(5x2)

21. f(t)=ln(17)+e2+sinπ/2

22. g(t)=(1+3t)2

23. g(x)=(2x5)3

24. f(x)=(1x)3

25. f(x)=(23x)2

26. Una propiedad de logaritmos es quelogax=logbxlogba, para todas las bases a, b>0,1.
(a) Reescribir esta identidad cuandob=e, es decir, utilizandologex=lnx.
(b) Utilizar la parte (a) para encontrar la derivada dey=logax.
(c) Dar el derivado dey=log10x.

En los Ejercicios 27-32, computar las cuatro primeras derivadas de la función dada.

27. f(x)=x6

28. g(x)=2cosx

29. h(t)=t2et

30. p(θ)=θ4θ3

31. f(θ)=sinθcosθ

32. f(x)=1,100

En los Ejercicios 33-38, encuentra las ecuaciones de las líneas tangentes y normales a la gráfica de la función en el punto dado.

33. f(x)=x3x at x=1

34. f(t)=et at t=0

35. g(x)=lnx at t=0

36. f(x)=4sinx at x=π/2

37. f(x)=2cosx at x=π/4

38. f(x)=2x+3 at x=5

Revisar

39. Dado esoe0=1, aproximar el valor dee0.1 usar la línea tangente af(x)=ex at x=0.

40. Aproximar el valor de(3.01)4 usar la línea tangente af(x)=x4 at x=3.

2.4: Las reglas de producto y cociente

Términos y Conceptos

1. T/F: La Regla del Producto establece quefracddx(x2sinx)=2xcosx.

2. T/F: La Regla del Cociente establece queddx(x2sinx)=cosx2x.

3. T/F: Las derivadas de las funciones trigonométricas que comienzan con “c” tienen signos menos en ellas.

4. ¿Qué regla derivada se utiliza para extender la regla de potencia para incluir exponentes enteros negativos?

5. T/F: Independientemente de la función, siempre hay exactamente una forma correcta de computar su derivada.

6. En sus propias palabras, explique lo que significa dejar sus respuestas “claras”.

Problemas

En los Ejercicios 7-10:
(a) Utilizar la Regla del Producto para diferenciar la función.
(b) Manipular la función algebraicamente y diferenciarla sin la Regla de Producto.
(c) Demostrar que las respuestas de (a) y (b) son equivalentes.

7. f(x)=x(x2+3x)

8. g(x)=2x2(5x3)

9. h(s)=(2s1)(s+4)

10. f(x)=(x2+5)(3x3)

En los Ejercicios 11-14: a
) Utilizar la Regla del Cociente para diferenciar la función.
(b) Manipular algebraicamente la función y diferenciarla sin la Regla del Cociente.
c) Demuestra que las respuestas de (a) y (b) son equivalentes.

11. f(x)=x2+3x

12. g(x)=x32x22x2

13. h(s)=34s3

14. f(t)=t21t+1

En los Ejercicios 15-29, computar la derivada de la función dada.

15. f(x)=xsinx

16. f(t)=1t2(csct4)

17. g(x)=x+7x5

18. g(t)=t5cost2t2

19. h(x)=cotxex

20. h(t)=7t2+6t2

21. f(x)=x4+2x3x2

22. f(x)=(16x3+24x2+3x)7x116x3+24x2+3x

23. f(t)=t5(sect+et)

24. f(x)=sinxcosx+3

25. g(x)=e2(sin(π/4)1)

26. g(t)=4t3etsintcost

27. h(t)=t2sint+3t2cost+2

28. f(x)=x2extanx

29. g(x)=2xsinxsecx

En los Ejercicios 30-33, encuentra las ecuaciones de las líneas tangentes y normales a la gráfica deg en el punto indicado.

30. g(s)=es(s2+2) at (0,2).

31. g(t)=tsint at (3π2,3π2)

32. g(x)=x2x1 at (2,4).

33. g(θ)=cosθ8θθ+1 at (0,5)

En Ejercicios 34-37, encuentra los valores x donde la gráfica de la función tiene una línea tangente horizontal.

34. f(x)=6x218x24

35. f(x)=xsinx on [1,1]

36. f(x)=xx+1

37. f(x)=x2x+1

En Ejercicios 38-41, encuentra la derivada solicitada.

38. f(x)=xsinx; find f(x).

39. f(x)=xsinx; find f(4)(x).

40. f(x)=cscx; find f(x).

41. f(x)=(x35x+2)(x2+x7); find f(8)(x).

En Ejercicios 42-45, usa la gráfica def(x) para bosquejarf(x).

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43.
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2.5: La regla de la cadena

Términos y Conceptos

1. T/F: La regla de la cadena describe cómo evaluar la derivada de una composición de funciones.

2. T/F: La Regla Generalizada del Poder lo estableceddx(g(x)n)=n(g(x))n1.

3. T/F:ddx(ln(x2))=1x2.

4. T/F:ddx(3x)1.13x.

5. T/F:dxdy=dxdtdtdy

6. T/F: Tomar la derivada def(x)=x2sin(5x) requiere el uso tanto de las Reglas del Producto como de la Cadena.

Problemas

En los Ejercicios 7-28, computar las derivadas de la función dada.

7. f(x)=(4x3x)10

8. f(t)=(3t2)5

9. g(θ)=(sinθ+cosθ)3

10. h(t)e3t2+y1

11. f(x)=(x+1x)4

12. f(x)=cos(3x)

13. g(x)=tan(5x)

14. h(t)=sin4(2t)

15. p(t)=cos3(t2+3t+1)

16. f(x)=ln(cosx)

17. f(x)=ln(x2)

18. f(x)=2ln(x)

19. g(r)=4r

20. g(t)=5cost

21. g(t)=152

22. m(w)=3w2w

23. h(t)=2t+33t+2

24. m(w)=3w+12w

25. f(x)=3x2+x2x2

26. f(x)=x2sin(5x)

27. g(t)=cos(t2+3t)sin(5t7)

28. g(t)=cos(1t)e5t2

En los Ejercicios 29-32, encuentra la ecuación de líneas tangentes y normales a la gráfica de la función en el punto dado. Nota: las funciones aquí son las mismas que en los Ejercicios 7 a 10.

29. f(x)=(4x3x)10 at x=0

30. f(t)=(3t2)5 at t=1

31. g(θ)=(sinθ+cosθ)3 at θ=π/2

32. h(t)=e3t2+t1 at t=1

33. Calcularddx(ln(kx)) dos formas:
(a) Usando la regla Cadena, y
(b) usando primero la regla de logaritmoln(ab)=lna+lnb, luego tomando la derivada.

34. Calcularddx(ln(xk)) dos formas:
(a) Usando la Regla de Cadena, y
(b) usando primero la regla de logaritmoln(ap)=plna, luego tomando la derivada.

Revisar

35. El “factor de viento frío” es una medida de lo frío que “se siente” durante el clima frío y ventoso. DejeW(w) ser el factor de frío del viento, en grados Fahrenheit, cuando es 25 F afuera con un viento dew mph.
a) ¿De qué son las unidadesW(w)?
b) ¿Cuál esperaría que fuera el signoW(10) de?

36. Encuentra las derivadas de las siguientes funciones.
af(x)=x2excotx
) bg(x)=2x3x4x

2.6: Diferenciación implícita

Términos y Conceptos

1. En sus propias palabras, explique la diferencia entre funciones implícitas y funciones explícitas.

2. La diferenciación implícita se basa en qué otra regla de diferenciación?

3. T/F: La diferenciación implícita puede ser utilizada para encontrar la derivada dey=x.

4. T/F: La diferenciación implícita puede ser utilizada para encontrar la derivada dey=x3/4.

Problemas

En Ejercicios 5-12, computar la derivada de la función dada.

5. f(x)=x+1x

6. f(x)=3x+x2/3

7. f(x)=1t2

8. g(t)=tsint

9. h(x)=x1.5

10. f(x)=xπ+x1.9+π1.9

11. g(x)=x+7x

12. f(t)=5t(sect+et)

En los Ejercicios 13-25, encuentradydx usando diferenciación implícita.

13. x4+y2+y=7

14. x2/5+y2/5=1

15. cos(x)+sin(y)=1

16. fracxy=10

17. yx=10

18. x2e2+2y=5

19. x2tany=50

20. (3x2+2y3)4=2

21. (y2+2yx)2=200

22. x2+yx+y2=17

23. sin(x)+ycos(y)+x=1

24. ln(x2+y2)=e

25. ln(x2+xy+y2)=1

26. Mostrar quedydx es lo mismo para cada una de las siguientes funciones definidas implícitamente.
a)xy=1
b)x2y2=1
c)sin(xy)=1
d)ln(xy)=1

En los Ejercicios 27-31, encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de la función definida implícitamente en los puntos indicados. Como ayuda visual, se grafica cada función.

27. x2/5+y2/5=1
(a) At (1,0)
(b) At (0.1, 0.281) (que no se encuentra exactamente en la curva, sino que está muy cerca).
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28. x4+y4=1
a) Al (1,0).
b) En(0.6,0.8).
(c) Al (0,1).
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29. (x2+y24)3=108y2
a) Al (0,4).
b) En(2,4108)
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30. (x2+y2+x)2=x2+y2
(a) Al (0,1).
b) En(34,334).
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31. (x2)2+(y3)2=9
(a) En(72,6+332).
b) En(4+332,32).
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En los Ejercicios 32-35 se da una función implícitamente definida. Encontrardydx2. Nota: estos son los mismos problemas utilizados en los Ejercicios 13-16.

32. x4+y2+y=7

33. x2/5+y2/5=1

34. cosx+siny=1

35. xy=10

En los Ejercicios 36-41, usa la diferenciación logarítmica para encontrardydx, luego encontrar la ecuación de la línea tangente en el valor x indicado.

36. y=(1+x)1/x,x=1

37. y=2xx2,x=1

38. y=xxx+1,x=1

39. y=xsin(x)+2,x=1

40. y=x+1x+2,x=1

41. y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),x=1

2.7: Derivadas de funciones inversas

Términos y Conceptos

1. T/F: Cada función tiene una inversa.

2. En sus propias palabras explique lo que significa para una función ser “uno a uno”.

3. Si (1,10) se encuentra en la gráfica dey=f(x), ¿qué se puede decir de la gráfica dey=f1(x)?

4. Si (1,10) se encuentra en la gráfica dey=f(x) and f(1)=5, lo que se puede decir dey=f1(x)?

Problemas

En Ejercicios 5-8, verificar que las funciones dadas sean inversas.

5. f(x)=2x+6 and g(x)=12x3

6. f(x)=x2+6x+11,x3yg(x)=x23,x2

7. f(x)=3x5,x5yg(x)=3+5xx,x0

8. f(x)=x+1x1,x1 and g(x)=f(x)

En los Ejercicios 9-14,f(x) se da una función invertible junto con un punto que se encuentra en su gráfica. Utilizando el Teorema 22, evaluar(f1)(x) al valor indicado.

9. f(x)=5x+10
Punto = (2,20)
Evaluar(f1)(20)

10. f(x)=x22x+4,x1
Punto =(3,7)
Evaluar(f1)(7)

11. f(x)=sin2x,π/4xπ/4
Punto =(π/6,3/2)
Evaluar(f1)(3/2)

12. f(x)=x36x2+15x2
Punto =(1,8)
Evaluar(f1)(8)

13. f(x)=11+x2,x0
Punto =(1,1/2)
Evaluar(f1)(1/2)

14. f(x)=6e3x
Punto =(0,6)
Evaluar(f1)(6)

En los Ejercicios 15-24, computar la derivada de la función dada.

15. h(t)=sin1(2t)

16. f(t)=sec1(2t)

17. g(x)=tan1(2x)

18. f(x)=xsin1(x)

19. g(t)=sintcos1t

20. f(t)=lntet

21. h(x)=sin1xcos1x

22. g(x)=tan1(x)

23. f(x)=sec1(1/x)

24. f(x)=sin(sin1x)

En los Ejercicios 25-27, computa la derivada de la función dada de dos maneras:
(a) Simplificando primero, luego tomando la derivada, y
(b) usando primero la Regla de Cadena y luego simplificando.

Muy que las dos respuestas son las mismas.

25. f(x)=sin(sin1x)

26. f(x)=tan1(tanx)

27. f(x)=sin(cos1x)

En los Ejercicios 28-29, encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica def al valor indicado.

28. f(x)=sin1x at x=22

29. f(x)=cos1(2x) at x=34

Revisar

30. Encontrardydx, dóndex2yy2x=1.

31. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica dex2+y2+xy=7 en el punto (1,2).

32. Vamosf(x)=x3+x. Evaluarlims0f(x+s)f(x)s.


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