2.E: Aplicaciones de Derivados (Ejercicios)

Términos y Conceptos

1. T/F: Dejar\(f\) ser una función de posición. La tasa promedio de cambio en [a, b] es la pendiente de la línea a través de los puntos\((a,f(a))\) y\((b,f(b))\).

2. T/F: La definición de la derivada de una función en un punto implica tomar un límite

3. En sus propias palabras, explique la diferencia entre la tasa promedio de cambio y la tasa instantánea de cambio.

4. En sus propias palabras, explique la diferencia entre las Definiciones 7 y 10.

5. Vamos\(y = f(x)\). Dar tres notaciones diferentes equivalentes a\(“f ′ (x).”\)

Problemas

En los Ejercicios 6-12, utilice la definición de la derivada para calcular la derivada de la función dada.

6. \(f(x)=6\)

7. \(f(x)=2x\)

8. \(f(t) = 4-3t\)

9. \(g(x) =x^2\)

10. \(f(x) = 3x^2-x+4\)

11. \(r(x) = \frac{1}{x}\)

12. \(r(s) = \frac{1}{s-2}\)

En los Ejercicios 13-19, se dan una función y un valor x\(c\).
(Nota: estas funciones son las mismas que las dadas en los Ejercicios 6 al 12.)

(a) Encuentra la línea tangente a la gráfica de la función en\(c\).
(b) Encontrar la línea normal a la gráfica de la función en\(c\).

13. \(f(x) = 6,\text{ at }x=-2\).

14. \(f(x) = 2x,\text{ at }x=3\).

15. \(f(x) = 4-3x,\text{ at }x=7\).

16. \(g(x) = x^2,\text{ at }x=2\).

17. \(f(x) = 3x^2-x+4,\text{ at }x=-1\).

18. \(r(x) = \frac{1}{x},\text{ at }x=-2\).

19. \(r(x) = \frac{1}{x-2},\text{ at }x=3\).

En los Ejercicios 20-23, se dan una función\(f\) y un valor x\(a\). Aproximar la ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(f\) at\(x=a\) aproximando numéricamente\(f'(a)\), usando\(h=0.1\).

20. \(f(x) = x^2+2x+1,\,x=3\)

21. \(f(x) =\frac{10}{x+1},\,x=9\)

22. \(f(x) = e^x,\,x=2\)

23. \(f(x) =\cos x,\,x=0\)

24. Se muestra la\(f(x)=x^2-1\) gráfica de.
(a) Utilice la gráfica para aproximar la pendiente de la línea tangente hasta\(f\) en los siguientes puntos: (-1,0), (0, -1) y (2,3).
b) Utilizando la definición, encontrar\(f'(x)\).
(c) Encontrar la pendiente de la línea tangente en los puntos (-1,0), (0, -1) y (2,3).

25. Se muestra la\(f(x)=\frac{1}{x+1}\) gráfica de.
(a) Utilice la gráfica para aproximar la pendiente de la línea tangente hasta\(f\) en los siguientes puntos: (0,1) y (1, 0.5).
b) Utilizando la definición, encontrar\(f'(x)\).
(c) Encontrar la pendiente de la línea tangente en los puntos (0, 1) y (1, 0.5).

En los Ejercicios 26-29,\(f(x)\) se da una gráfica de una función. Usando la gráfica, bosquejo\(f'(x)\).

26.

27.

28.

29.

30. Usando la gráfica de\(g(x)\) abajo, conteste las siguientes preguntas.
a) ¿Dónde está\(g(x)>0\)?
b) ¿Dónde está\(g(x)<0\)?
c) ¿Dónde está\(g(x)=0\)?
d) ¿Dónde está\(g'(x)<0\)?
e) ¿Dónde está\(g'(x)>0\)?
f) ¿Dónde está\(g'(x)=0\)?

Revisar

31. Aproximado\(\lim\limits_{x\to 5}\frac{x^2+2x-35}{x^2-10.5+27.5}\).

32. Utilice el Método de Bisección para aproximar, con precisión a dos decimales, la raíz de\(g(x)=x^3+x^2+x-1\) on [0.5, 0.6].

33. Dar intervalos en los que cada una de las siguientes funciones sean continuas.
a)\(\frac{1}{e^x+1}\)
b)\(\frac{1}{e^x-1}\)
c)\(\sqrt{5-x}\)
d)\(\sqrt{5-x^2}\)

34. Utilice la gráfica de\(f(x)\) proporcionada para responder a lo siguiente.
a)\(\lim\limits_{x\to-3^-}f(x)=?\)
b) c\(\lim\limits_{x\to-3^+}f(x)=?\)
) d\(\lim\limits_{x\to-3}f(x)=?\)
) ¿Dónde es\(f\) continuo?

Términos y Conceptos

1. ¿Cómo se llama la tasa instantánea de cambio de posición?

2. Dada una función\(y = f(x)\), en sus propias palabras describa cómo encontrar las unidades de\(f ′ (x)\).

3. ¿Qué funciones tienen una tasa de cambio constante?

Problemas

4. Dado\(f(5=10\text{ and }f'(5)=2\), aproximado\(f(6)\).

5. Dado\(P(100) = −67\) y\(P ′ (100) = 5\), aproximado\(P(110)\).

6. Dado\(z(25) = 187\) y\(z ′ (25) = 17\), aproximado\(z(20)\).

7. Conociendo\(f(10) = 25\)\(f ′ (10) = 5\) y y los métodos descritos en esta sección, qué aproximación es probable que sea más precisa:\(f(10.1),\, f(11),\text{ or }f(20)\)? Explica tu razonamiento.

8. Dado\(f(7) = 26\text{ and }f(8) = 22\), aproximado\(f ′ (7)\).

9. Dado\(H(0) = 17\) y\(H(2) = 29\), aproximado\(H ′ (2)\).

10. Dejar\(V(x)\) medir el volumen, en decibelios, medido dentro de un restaurante con x clientes. ¿De qué son las unidades\(V ′ (x)\)?

11. Dejar\(v(t)\) medir la velocidad, en pies/s, de un carro moviéndose en línea recta\(t\) segundos después de arrancar. ¿De qué son las unidades\(v ′ (t)\)?

12. La altura H, en pies, de un río se registra\(t\) horas después de la medianoche del 1 de abril. ¿De qué son las unidades\(H ′ (t)\)?

13. \(P\)es la ganancia, en miles de dólares, de producir y vender\(c\) autos.
a) ¿De qué son las unidades\(P'(c)\)?
b) ¿De qué es probable que sea cierto\(P(0P\)?

14. \(T\)es la temperatura en grados Fahrenheit,\(h\) horas después de la medianoche del 4 de julio en Sidney, NE.
a) ¿De qué son las unidades\(T ′ (h)\)?
b) ¿Es\(T ′ (8)\) probable que sea mayor o menor que 0? ¿Por qué?
c) ¿Es\(T(8)\) probable que sea mayor o menor que 0? ¿Por qué?

En los Ejercicios 15-18\(f(x)\text{ and }g(x)\) se dan gráficas de las funciones. Identificar qué función es la derivada de la otra.

15.

16.

17.

18.

Revisar

En los Ejercicios 19-20, utilice la definición para computar las derivadas de las siguientes funciones.

19. \(f(x) =5x^2\)

20. \(f(x) = \sqrt{x}\text{ at }x=9\).

En los Ejercicios 21-22, aproximar numéricamente el valor de\(f'(x)\) al valor x indicado.

21. \(f(x) =\cos x\text{ at }x=\pi\).

22. \(f(x) = \sqrt{x}\text{ at }x=9\).

Términos y Conceptos

1. ¿Cuál es el nombre de la regla que establece que\(\frac{d}{ dx} ( x^n ) = nx^{n-1}\), dónde\(n > 0\) está un entero?

2. ¿Qué es\(\frac{d}{dx} \left ( \ln x \right )\)?

3. Dar un ejemplo de una función f (x) donde\(f ′ (x) = f(x)\).

4. Dar un ejemplo de una función\(f(x)\text{ where }f ′ (x) = 0\).

5. Las reglas derivadas introducidas en esta sección explican cómo calcular la derivada de cuál de las siguientes funciones?

• \(f(x) = \frac{3}{x^2}\)
• \(g(x) = 3x^2-x+17\)
• \(h(x)=5\ln x\)
• \(j(x) = \sin x \cos x\)
• \(k(x)=e^{x^2}\)
• \(m(x)=\sqrt{x}\)

6. Explica con tus propias palabras cómo encontrar la tercera derivada de una función\(f(x)\).

7. Dar un ejemplo de una función donde\(f ′ (x) \ne 0\text{ and }f ′′(x) = 0\).

8. Explique con sus propias palabras lo que “significa” la segunda derivada.

9. Si\(f(x)\) describe una función de posición, ¿entonces\(f ′ (x)\) describe qué tipo de función? ¿Qué tipo de función es\(f ′′(x)\)?

10. Dejar\(f(x)\) ser una función medida en libras, donde x se mide en pies. ¿De qué son las unidades\(f ′′(x)\)?

Problemas

En los Ejercicios 11-25, computar la derivada de la función dada.

11. \(f(x) = 7x^2-5x+7\)

12. \(g(x) = 14x^3+7x^2+11x-29\)

13. \(m(t) = 9t^2-\frac{1}{8}t^3+3t-8\)

14. \(f(\theta) = 9\sin \theta + 10 \cos \theta\)

15. \(f(r) =6e^r\)

16. \(g(t)=10t^4-\cos t+7\sin t\)

17. \(f(x)=2\ln x - x\)

18. \(p(s) = \frac{1}{4}s^4+\frac{1}{3}s^3+\frac{1}{2}s^2+s+1\)

19. \(h(t) = e^t -\sin t -\cos t\)

20. \(f(x)=\ln (5x^2)\)

21. \(f(t) = \ln (17) +e^2+\sin \pi /2\)

22. \(g(t)=(1+3t)^2\)

23. \(g(x)=(2x-5)^3\)

24. \(f(x)=(1-x)^3\)

25. \(f(x) = (2-3x)^2\)

26. Una propiedad de logaritmos es que\(\log_a x = \frac{\log_bx}{\log_b a}\), para todas las bases a, b>0,\(\ne1\).
(a) Reescribir esta identidad cuando\(b=e\), es decir, utilizando\(\log e x=\ln x\).
(b) Utilizar la parte (a) para encontrar la derivada de\(y=\log_a x\).
(c) Dar el derivado de\(y=\log_{10}x\).

En los Ejercicios 27-32, computar las cuatro primeras derivadas de la función dada.

27. \(f(x) = x^6\)

28. \(g(x) = 2\cos x\)

29. \(h(t) =t^2-e^t\)

30. \(p(\theta)=\theta^4-\theta^3\)

31. \(f(\theta)=\sin \theta - \cos \theta\)

32. \(f(x) = 1,100\)

En los Ejercicios 33-38, encuentra las ecuaciones de las líneas tangentes y normales a la gráfica de la función en el punto dado.

33. \(f(x) =x^3-x\text{ at }x=1\)

34. \(f(t) =e^t\text{ at }t=0\)

35. \(g(x) = \ln x \text{ at } t=0\)

36. \(f(x) = 4\sin x \text{ at }x=\pi/2\)

37. \(f(x) = -2\cos x \text{ at }x=\pi/4\)

38. \(f(x) = 2x+3\text{ at } x=5\)

Revisar

39. Dado eso\(e^0=1\), aproximar el valor de\(e^{0.1}\) usar la línea tangente a\(f(x)=e^x\text{ at }x=0\).

40. Aproximar el valor de\((3.01)^4\) usar la línea tangente a\(f(x) = x^4\text{ at }x=3\).

Términos y Conceptos

1. T/F: La Regla del Producto establece que\(frac{d}{dx}\left ( x^2\sin x\right ) = 2x\cos x\).

2. T/F: La Regla del Cociente establece que\(\frac{d}{dx}\left ( \frac{x^2}{\sin x}\right ) = \frac{\cos x}{2x}\).

3. T/F: Las derivadas de las funciones trigonométricas que comienzan con “c” tienen signos menos en ellas.

4. ¿Qué regla derivada se utiliza para extender la regla de potencia para incluir exponentes enteros negativos?

5. T/F: Independientemente de la función, siempre hay exactamente una forma correcta de computar su derivada.

6. En sus propias palabras, explique lo que significa dejar sus respuestas “claras”.

Problemas

En los Ejercicios 7-10:
(a) Utilizar la Regla del Producto para diferenciar la función.
(b) Manipular la función algebraicamente y diferenciarla sin la Regla de Producto.
(c) Demostrar que las respuestas de (a) y (b) son equivalentes.

7. \(f(x) =x(x^2+3x)\)

8. \(g(x) =2x^2(5x^3)\)

9. \(h(s)=(2s-1)(s+4)\)

10. \(f(x) = (x^2+5)(3-x^3)\)

En los Ejercicios 11-14: a
) Utilizar la Regla del Cociente para diferenciar la función.
(b) Manipular algebraicamente la función y diferenciarla sin la Regla del Cociente.
c) Demuestra que las respuestas de (a) y (b) son equivalentes.

11. \(f(x) = \frac{x^2+3}{x}\)

12. \(g(x) = \frac{x^3-2x^2}{2x^2}\)

13. \(h(s)=\frac{3}{4s^3}\)

14. \(f(t) = \frac{t^2-1}{t+1}\)

En los Ejercicios 15-29, computar la derivada de la función dada.

15. \(f(x) =x\sin x\)

16. \(f(t)=\frac{1}{t^2}(\csc t -4)\)

17. \(g(x) = \frac{x+7}{x-5}\)

18. \(g(t) = \frac{t^5}{\cos t -2t^2}\)

19. \(h(x) = \cot x-e^x\)

20. \(h(t) = 7t^2+6t-2\)

21. \(f(x) = \frac{x^4+2x^3}{x^2}\)

22. \(f(x) = (16x^3+24x^2+3x)\frac{7x-1}{16x^3+24x^2+3x}\)

23. \(f(t) = t^5(\sec t+e^t)\)

24. \(f(x) = \frac{\sin x}{\cos x+3}\)

25. \(g(x) = e^2 \left ( \sin (\pi/4)-1\right )\)

26. \(g(t) = 4t^3e^t -\sin t\cos t\)

27. \(h(t) = \frac{t^2 \sin t +3}{t^2\cos t +2}\)

28. \(f(x)=x^2e^x\tan x\)

29. \(g(x) = 2x\sin x \sec x\)

En los Ejercicios 30-33, encuentra las ecuaciones de las líneas tangentes y normales a la gráfica de\(g\) en el punto indicado.

30. \(g(s)=e^s (s^2+2)\text{ at }(0,2)\).

31. \(g(t) = t\sin t\text{ at }\left (\frac{3\pi}{2},\frac{-3\pi}{2}\right )\)

32. \(g(x) = \frac{x^2}{x-1}\text{ at }(2,4)\).

33. \(g(\theta)=\frac{\cos \theta -8\theta}{\theta +1}\text{ at }(0,-5)\)

En Ejercicios 34-37, encuentra los valores x donde la gráfica de la función tiene una línea tangente horizontal.

34. \(f(x) = 6x^2-18x-24\)

35. \(f(x)=x\sin x\text{ on }[-1,1]\)

36. \(f(x)=\frac{x}{x+1}\)

37. \(f(x)=\frac{x^2}{x+1}\)

En Ejercicios 38-41, encuentra la derivada solicitada.

38. \(f(x) = x\sin x;\text{ find }f''(x)\).

39. \(f(x) = x\sin x;\text{ find }f^{(4)}(x)\).

40. \(f(x) = \csc x;\text{ find }f''(x)\).

41. \(f(x) = (x^3-5x+2)(x^2+x-7);\text{ find }f^{(8)}(x)\).

En Ejercicios 42-45, usa la gráfica de\(f(x)\) para bosquejar\(f'(x)\).

42.

43.

44.

45.

Términos y Conceptos

1. T/F: La regla de la cadena describe cómo evaluar la derivada de una composición de funciones.

2. T/F: La Regla Generalizada del Poder lo establece\(\frac{d}{dx}\left ( g(x)^n \right ) = n\left ( g(x)\right )^{n-1}\).

3. T/F:\(\frac{d}{dx}\left ( \ln (x^2)\right )=\frac{1}{x^2}\).

4. T/F:\(\frac{d}{dx} (3^x) \approx 1.1 \cdot 3^x\).

5. T/F:\(\frac{dx}{dy} = \frac{dx}{dt}\cdot\frac{dt}{dy}\)

6. T/F: Tomar la derivada de\(f(x)=x^2\sin (5x)\) requiere el uso tanto de las Reglas del Producto como de la Cadena.

Problemas

En los Ejercicios 7-28, computar las derivadas de la función dada.

7. \(f(x) = \left ( 4x^3-x \right ) ^10\)

8. \(f(t) = \left ( 3t-2 \right ) ^5\)

9. \(g(\theta) = \left ( \sin \theta +\cos \theta \right ) ^3\)

10. \(h(t)-e^{3t^2+y-1}\)

11. \(f(x) = \left ( x+\frac{1}{x}\right )^4\)

12. \(f(x) = \cos (3x)\)

13. \(g(x) =\tan (5x)\)

14. \(h(t) = \sin^4 (2t)\)

15. \(p(t) = \cos^3 (t^2+3t+1)\)

16. \(f(x) = \ln (\cos x)\)

17. \(f(x) = \ln (x^2)\)

18. \(f(x) = 2\ln (x)\)

19. \(g(r) = 4^r\)

20. \(g(t) = 5^{\cos t}\)

21. \(g(t) = 15^2\)

22. \(m(w) = \frac{3^w}{2^w}\)

23. \(h(t) = \frac{2^t+3}{3^t+2}\)

24. \(m(w) = \frac{3^w+1}{2^w}\)

25. \(f(x) = \frac{3^{x^2}+x}{2^{x^2}}\)

26. \(f(x) =x^2\sin (5x)\)

27. \(g(t) = \cos (t^2+3t)\sin (5t-7)\)

28. \(g(t) = \cos (\frac{1}{t})e^{5t^2}\)

En los Ejercicios 29-32, encuentra la ecuación de líneas tangentes y normales a la gráfica de la función en el punto dado. Nota: las funciones aquí son las mismas que en los Ejercicios 7 a 10.

29. \(f(x) = \left ( 4x^3 -x\right )^{10}\text{ at }x=0\)

30. \(f(t) = \left ( 3t-2\right )^5\text{ at }t=1\)

31. \(g(\theta) = \left ( \sin \theta +\cos \theta \right )^3\text{ at }\theta=\pi/2\)

32. \(h(t) = e^{3t^2+t-1}\text{ at }t=-1\)

33. Calcular\(\frac{d}{dx}\left ( \ln (kx)\right )\) dos formas:
(a) Usando la regla Cadena, y
(b) usando primero la regla de logaritmo\(\ln (ab)=\ln a +\ln b\), luego tomando la derivada.

34. Calcular\(\frac{d}{dx}\left ( \ln (x^k)\right )\) dos formas:
(a) Usando la Regla de Cadena, y
(b) usando primero la regla de logaritmo\(\ln (a^p)=p\ln a\), luego tomando la derivada.

Revisar

35. El “factor de viento frío” es una medida de lo frío que “se siente” durante el clima frío y ventoso. Deje\(W(w)\) ser el factor de frío del viento, en grados Fahrenheit, cuando es 25 F afuera con un viento de\(w\) mph.
a) ¿De qué son las unidades\(W' (w)\)?
b) ¿Cuál esperaría que fuera el signo\(W'(10)\) de?

36. Encuentra las derivadas de las siguientes funciones.
a\(f(x) =x^2e^x\cot x\)
) b\(g(x) = 2^x3^x4^x\)

Términos y Conceptos

1. En sus propias palabras, explique la diferencia entre funciones implícitas y funciones explícitas.

2. La diferenciación implícita se basa en qué otra regla de diferenciación?

3. T/F: La diferenciación implícita puede ser utilizada para encontrar la derivada de\(y=\sqrt{x}\).

4. T/F: La diferenciación implícita puede ser utilizada para encontrar la derivada de\(y=x^{3/4}\).

Problemas

En Ejercicios 5-12, computar la derivada de la función dada.

5. \(f(x) =\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

6. \(f(x) = \sqrt[3]{x}+x^{2/3}\)

7. \(f(x) =\sqrt{1-t^2}\)

8. \(g(t) = \sqrt{t}\sin t\)

9. \(h(x) =x^{1.5}\)

10. \(f(x)=x^\pi +x^{1.9}+\pi^{1.9}\)

11. \(g(x) = \frac{x+7}{\sqrt{x}}\)

12. \(f(t) = \sqrt[5]{t}\left (\sec t +e^t \right ) \)

En los Ejercicios 13-25, encuentra\(\frac{dy}{dx}\) usando diferenciación implícita.

13. \(x^4+y^2+y=7\)

14. \(x^{2/5}+y^{2/5} = 1\)

15. \(\cos (x) +\sin (y)=1\)

16. \(frac{x}{y}=10\)

17. \(\frac{y}{x} =10\)

18. \(x^2e^2+2^y=5\)

19. \(x^2\tan y=50\)

20. \(\left ( 3x^2+2y^3\right )^4=2\)

21. \(\left (y^2+2y-x\right )^2 =200\)

22. \(\frac{x^2+y}{x+y^2}=17\)

23. \(\frac{\sin (x)+y}{\cos (y) +x}=1\)

24. \(\ln (x^2+y^2 )=e\)

25. \(\ln \left (x^2+xy+y^2\right )=1\)

26. Mostrar que\(\frac{dy}{dx}\) es lo mismo para cada una de las siguientes funciones definidas implícitamente.
a)\(xy=1\)
b)\(x^2y^2=1\)
c)\(\sin (xy)=1\)
d)\(\ln (xy)=1\)

En los Ejercicios 27-31, encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de la función definida implícitamente en los puntos indicados. Como ayuda visual, se grafica cada función.

27. \(x^{2/5}+y^{2/5} =1\)
(a) At (1,0)
(b) At (0.1, 0.281) (que no se encuentra exactamente en la curva, sino que está muy cerca).

28. \(x^4+y^4=1\)
a) Al (1,0).
b) En\((\sqrt{0.6},\sqrt{0.8})\).
(c) Al (0,1).

29. \((x^2+y^2-4)^3=108y^2\)
a) Al (0,4).
b) En\((2,-\sqrt[4]{108})\)

30. \((x^2+y^2+x)^2=x^2+y^2\)
(a) Al (0,1).
b) En\(\left ( -\frac{3}{4},\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )\).

31. \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)
(a) En\(\left ( \frac{7}{2},\frac{6+3\sqrt{3}}{2}\right )\).
b) En\(\left ( \frac{4+3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right )\).

En los Ejercicios 32-35 se da una función implícitamente definida. Encontrar\(\frac{d^y}{dx^2}\). Nota: estos son los mismos problemas utilizados en los Ejercicios 13-16.

32. \(x^4+y^2+y=7\)

33. \(x^{2/5}+y^{2/5}=1\)

34. \(\cos x +\sin y =1\)

35. \(\frac{x}{y} =10\)

En los Ejercicios 36-41, usa la diferenciación logarítmica para encontrar\(\frac{dy}{dx}\), luego encontrar la ecuación de la línea tangente en el valor x indicado.

36. \(y=\left ( 1+x\right )^{1/x},\quad x=1\)

37. \(y=2x^{x^2},\quad x=1\)

38. \(y=\frac{x^x}{x+1},\quad x=1\)

39. \(y=x^{\sin (x)+2},\quad x=1\)

40. \(y=\frac{x+1}{x+2},\quad x=1\)

41. \(y=\frac{(x+1)(x+2)}{(x+3)(x+4)},\quad x=1\)

Términos y Conceptos

1. T/F: Cada función tiene una inversa.

2. En sus propias palabras explique lo que significa para una función ser “uno a uno”.

3. Si (1,10) se encuentra en la gráfica de\(y=f(x)\), ¿qué se puede decir de la gráfica de\(y=f^{-1}(x)\)?

4. Si (1,10) se encuentra en la gráfica de\(y=f(x)\text{ and }f'(1)=5,\) lo que se puede decir de\(y=f^{-1}(x)\)?

Problemas

En Ejercicios 5-8, verificar que las funciones dadas sean inversas.

5. \(f(x) =2x+6\text{ and }g(x)=\frac{1}{2}x-3\)

6. \(f(x) = x^2+6x+11,\,x\ge 3\)y\(g(x) = \sqrt{x-2}-3,\, x\ge 2\)

7. \(f(x) = \frac{3}{x-5},\,x\ne 5\)y\(g(x) = \frac{3+5x}{x},\, x\ne 0\)

8. \(f(x) = \frac{x+1}{x-1},\, x\ne 1\text{ and }g(x)=f(x)\)

En los Ejercicios 9-14,\(f(x)\) se da una función invertible junto con un punto que se encuentra en su gráfica. Utilizando el Teorema 22, evaluar\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (x)\) al valor indicado.

9. \(f(x)=5x+10\)
Punto = (2,20)
Evaluar\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (20)\)

10. \(f(x)=x^2-2x+4,\,x\ge 1\)
Punto =\((3,7)\)
Evaluar\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (7)\)

11. \(f(x)=\sin 2x,\,-\pi/4 \le x \le \pi/4\)
Punto =\((\pi/6,\sqrt{3}/2)\)
Evaluar\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (\sqrt{3}/2)\)

12. \(f(x)=x^3-6x^2+15x-2\)
Punto =\((1,8)\)
Evaluar\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (8)\)

13. \(f(x)=\frac{1}{1+x^2},\,x\ge 0\)
Punto =\((1,1/2)\)
Evaluar\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (1/2)\)

14. \(f(x)=6e^{3x}\)
Punto =\((0,6)\)
Evaluar\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (6)\)

En los Ejercicios 15-24, computar la derivada de la función dada.

15. \(h(t) = \sin^{-1}(2t)\)

16. \(f(t) = \sec^{-1}(2t)\)

17. \(g(x) = \tan^{-1}(2x)\)

18. \(f(x) = x\sin^{-1}(x)\)

19. \(g(t) = \sin t \cos^{-1}t\)

20. \(f(t) = \ln te^t\)

21. \(h(x) = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}\)

22. \(g(x) = \tan^{-1}(\sqrt{x})\)

23. \(f(x) = \sec^{-1}(1/x)\)

24. \(f(x) = \sin (\sin^{-1}x)\)

En los Ejercicios 25-27, computa la derivada de la función dada de dos maneras:
(a) Simplificando primero, luego tomando la derivada, y
(b) usando primero la Regla de Cadena y luego simplificando.

Muy que las dos respuestas son las mismas.

25. \(f(x) = \sin \left ( \sin^{-1}x\right )\)

26. \(f(x) =\tan^{-1} (\tan x)\)

27. \(f(x)=\sin \left (\cos^{-1}x\right )\)

En los Ejercicios 28-29, encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(f\) al valor indicado.

28. \(f(x)=\sin^{-1}x\text{ at }x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

29. \(f(x)=\cos^{-1}(2x)\text{ at }x=\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Revisar

30. Encontrar\(\frac{dy}{dx}\), dónde\(x^2y-y^2x=1\).

31. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(x^2+y^2+xy=7\) en el punto (1,2).

32. Vamos\(f(x) =x^3+x\). Evaluar\(\lim\limits_{s\to 0}\frac{f(x+s)-f(x)}{s}\).