2.E: Aplicaciones de Derivados (Ejercicios)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
2.1: Tasas Instantáneas de Cambio: El Derivado
Términos y Conceptos
1. T/F: Dejarf ser una función de posición. La tasa promedio de cambio en [a, b] es la pendiente de la línea a través de los puntos(a,f(a)) y(b,f(b)).
2. T/F: La definición de la derivada de una función en un punto implica tomar un límite
3. En sus propias palabras, explique la diferencia entre la tasa promedio de cambio y la tasa instantánea de cambio.
4. En sus propias palabras, explique la diferencia entre las Definiciones 7 y 10.
5. Vamosy=f(x). Dar tres notaciones diferentes equivalentes a“f′(x).”
Problemas
En los Ejercicios 6-12, utilice la definición de la derivada para calcular la derivada de la función dada.
6. f(x)=6
7. f(x)=2x
8. f(t)=4−3t
9. g(x)=x2
10. f(x)=3x2−x+4
11. r(x)=1x
12. r(s)=1s−2
En los Ejercicios 13-19, se dan una función y un valor xc.
(Nota: estas funciones son las mismas que las dadas en los Ejercicios 6 al 12.)
(a) Encuentra la línea tangente a la gráfica de la función enc.
(b) Encontrar la línea normal a la gráfica de la función enc.
13. f(x)=6, at x=−2.
14. f(x)=2x, at x=3.
15. f(x)=4−3x, at x=7.
16. g(x)=x2, at x=2.
17. f(x)=3x2−x+4, at x=−1.
18. r(x)=1x, at x=−2.
19. r(x)=1x−2, at x=3.
En los Ejercicios 20-23, se dan una funciónf y un valor xa. Aproximar la ecuación de la línea tangente a la gráfica def atx=a aproximando numéricamentef′(a), usandoh=0.1.
20. f(x)=x2+2x+1,x=3
21. f(x)=10x+1,x=9
22. f(x)=ex,x=2
23. f(x)=cosx,x=0
24. Se muestra laf(x)=x2−1 gráfica de.
(a) Utilice la gráfica para aproximar la pendiente de la línea tangente hastaf en los siguientes puntos: (-1,0), (0, -1) y (2,3).
b) Utilizando la definición, encontrarf′(x).
(c) Encontrar la pendiente de la línea tangente en los puntos (-1,0), (0, -1) y (2,3).
25. Se muestra laf(x)=1x+1 gráfica de.
(a) Utilice la gráfica para aproximar la pendiente de la línea tangente hastaf en los siguientes puntos: (0,1) y (1, 0.5).
b) Utilizando la definición, encontrarf′(x).
(c) Encontrar la pendiente de la línea tangente en los puntos (0, 1) y (1, 0.5).
En los Ejercicios 26-29,f(x) se da una gráfica de una función. Usando la gráfica, bosquejof′(x).
26.
27.
28.
29.
30. Usando la gráfica deg(x) abajo, conteste las siguientes preguntas.
a) ¿Dónde estág(x)>0?
b) ¿Dónde estág(x)<0?
c) ¿Dónde estág(x)=0?
d) ¿Dónde estág′(x)<0?
e) ¿Dónde estág′(x)>0?
f) ¿Dónde estág′(x)=0?
Revisar
31. Aproximadolimx→5x2+2x−35x2−10.5+27.5.
32. Utilice el Método de Bisección para aproximar, con precisión a dos decimales, la raíz deg(x)=x3+x2+x−1 on [0.5, 0.6].
33. Dar intervalos en los que cada una de las siguientes funciones sean continuas.
a)1ex+1
b)1ex−1
c)√5−x
d)√5−x2
34. Utilice la gráfica def(x) proporcionada para responder a lo siguiente.
a)limx→−3−f(x)=?
b) climx→−3+f(x)=?
) dlimx→−3f(x)=?
) ¿Dónde esf continuo?
2.2: Interpretaciones de la Derivada
Términos y Conceptos
1. ¿Cómo se llama la tasa instantánea de cambio de posición?
2. Dada una funcióny=f(x), en sus propias palabras describa cómo encontrar las unidades def′(x).
3. ¿Qué funciones tienen una tasa de cambio constante?
Problemas
4. Dadof(5=10 and f′(5)=2, aproximadof(6).
5. DadoP(100)=−67 yP′(100)=5, aproximadoP(110).
6. Dadoz(25)=187 yz′(25)=17, aproximadoz(20).
7. Conociendof(10)=25f′(10)=5 y y los métodos descritos en esta sección, qué aproximación es probable que sea más precisa:f(10.1),f(11), or f(20)? Explica tu razonamiento.
8. Dadof(7)=26 and f(8)=22, aproximadof′(7).
9. DadoH(0)=17 yH(2)=29, aproximadoH′(2).
10. DejarV(x) medir el volumen, en decibelios, medido dentro de un restaurante con x clientes. ¿De qué son las unidadesV′(x)?
11. Dejarv(t) medir la velocidad, en pies/s, de un carro moviéndose en línea rectat segundos después de arrancar. ¿De qué son las unidadesv′(t)?
12. La altura H, en pies, de un río se registrat horas después de la medianoche del 1 de abril. ¿De qué son las unidadesH′(t)?
13. Pes la ganancia, en miles de dólares, de producir y venderc autos.
a) ¿De qué son las unidadesP′(c)?
b) ¿De qué es probable que sea ciertoP(0P?
14. Tes la temperatura en grados Fahrenheit,h horas después de la medianoche del 4 de julio en Sidney, NE.
a) ¿De qué son las unidadesT′(h)?
b) ¿EsT′(8) probable que sea mayor o menor que 0? ¿Por qué?
c) ¿EsT(8) probable que sea mayor o menor que 0? ¿Por qué?
En los Ejercicios 15-18f(x) and g(x) se dan gráficas de las funciones. Identificar qué función es la derivada de la otra.
15.
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17.
18.
Revisar
En los Ejercicios 19-20, utilice la definición para computar las derivadas de las siguientes funciones.
19. f(x)=5x2
20. f(x)=√x at x=9.
En los Ejercicios 21-22, aproximar numéricamente el valor def′(x) al valor x indicado.
21. f(x)=cosx at x=π.
22. f(x)=√x at x=9.
2.3: Reglas Básicas de Diferenciación
Términos y Conceptos
1. ¿Cuál es el nombre de la regla que establece queddx(xn)=nxn−1, dónden>0 está un entero?
2. ¿Qué esddx(lnx)?
3. Dar un ejemplo de una función f (x) dondef′(x)=f(x).
4. Dar un ejemplo de una funciónf(x) where f′(x)=0.
5. Las reglas derivadas introducidas en esta sección explican cómo calcular la derivada de cuál de las siguientes funciones?
- f(x)=3x2
- g(x)=3x2−x+17
- h(x)=5lnx
- j(x)=sinxcosx
- k(x)=ex2
- m(x)=√x
6. Explica con tus propias palabras cómo encontrar la tercera derivada de una funciónf(x).
7. Dar un ejemplo de una función dondef′(x)≠0 and f′′(x)=0.
8. Explique con sus propias palabras lo que “significa” la segunda derivada.
9. Sif(x) describe una función de posición, ¿entoncesf′(x) describe qué tipo de función? ¿Qué tipo de función esf′′(x)?
10. Dejarf(x) ser una función medida en libras, donde x se mide en pies. ¿De qué son las unidadesf′′(x)?
Problemas
En los Ejercicios 11-25, computar la derivada de la función dada.
11. f(x)=7x2−5x+7
12. g(x)=14x3+7x2+11x−29
13. m(t)=9t2−18t3+3t−8
14. f(θ)=9sinθ+10cosθ
15. f(r)=6er
16. g(t)=10t4−cost+7sint
17. f(x)=2lnx−x
18. p(s)=14s4+13s3+12s2+s+1
19. h(t)=et−sint−cost
20. f(x)=ln(5x2)
21. f(t)=ln(17)+e2+sinπ/2
22. g(t)=(1+3t)2
23. g(x)=(2x−5)3
24. f(x)=(1−x)3
25. f(x)=(2−3x)2
26. Una propiedad de logaritmos es quelogax=logbxlogba, para todas las bases a, b>0,≠1.
(a) Reescribir esta identidad cuandob=e, es decir, utilizandologex=lnx.
(b) Utilizar la parte (a) para encontrar la derivada dey=logax.
(c) Dar el derivado dey=log10x.
En los Ejercicios 27-32, computar las cuatro primeras derivadas de la función dada.
27. f(x)=x6
28. g(x)=2cosx
29. h(t)=t2−et
30. p(θ)=θ4−θ3
31. f(θ)=sinθ−cosθ
32. f(x)=1,100
En los Ejercicios 33-38, encuentra las ecuaciones de las líneas tangentes y normales a la gráfica de la función en el punto dado.
33. f(x)=x3−x at x=1
34. f(t)=et at t=0
35. g(x)=lnx at t=0
36. f(x)=4sinx at x=π/2
37. f(x)=−2cosx at x=π/4
38. f(x)=2x+3 at x=5
Revisar
39. Dado esoe0=1, aproximar el valor dee0.1 usar la línea tangente af(x)=ex at x=0.
40. Aproximar el valor de(3.01)4 usar la línea tangente af(x)=x4 at x=3.
2.4: Las reglas de producto y cociente
Términos y Conceptos
1. T/F: La Regla del Producto establece quefracddx(x2sinx)=2xcosx.
2. T/F: La Regla del Cociente establece queddx(x2sinx)=cosx2x.
3. T/F: Las derivadas de las funciones trigonométricas que comienzan con “c” tienen signos menos en ellas.
4. ¿Qué regla derivada se utiliza para extender la regla de potencia para incluir exponentes enteros negativos?
5. T/F: Independientemente de la función, siempre hay exactamente una forma correcta de computar su derivada.
6. En sus propias palabras, explique lo que significa dejar sus respuestas “claras”.
Problemas
En los Ejercicios 7-10:
(a) Utilizar la Regla del Producto para diferenciar la función.
(b) Manipular la función algebraicamente y diferenciarla sin la Regla de Producto.
(c) Demostrar que las respuestas de (a) y (b) son equivalentes.
7. f(x)=x(x2+3x)
8. g(x)=2x2(5x3)
9. h(s)=(2s−1)(s+4)
10. f(x)=(x2+5)(3−x3)
En los Ejercicios 11-14: a
) Utilizar la Regla del Cociente para diferenciar la función.
(b) Manipular algebraicamente la función y diferenciarla sin la Regla del Cociente.
c) Demuestra que las respuestas de (a) y (b) son equivalentes.
11. f(x)=x2+3x
12. g(x)=x3−2x22x2
13. h(s)=34s3
14. f(t)=t2−1t+1
En los Ejercicios 15-29, computar la derivada de la función dada.
15. f(x)=xsinx
16. f(t)=1t2(csct−4)
17. g(x)=x+7x−5
18. g(t)=t5cost−2t2
19. h(x)=cotx−ex
20. h(t)=7t2+6t−2
21. f(x)=x4+2x3x2
22. f(x)=(16x3+24x2+3x)7x−116x3+24x2+3x
23. f(t)=t5(sect+et)
24. f(x)=sinxcosx+3
25. g(x)=e2(sin(π/4)−1)
26. g(t)=4t3et−sintcost
27. h(t)=t2sint+3t2cost+2
28. f(x)=x2extanx
29. g(x)=2xsinxsecx
En los Ejercicios 30-33, encuentra las ecuaciones de las líneas tangentes y normales a la gráfica deg en el punto indicado.
30. g(s)=es(s2+2) at (0,2).
31. g(t)=tsint at (3π2,−3π2)
32. g(x)=x2x−1 at (2,4).
33. g(θ)=cosθ−8θθ+1 at (0,−5)
En Ejercicios 34-37, encuentra los valores x donde la gráfica de la función tiene una línea tangente horizontal.
34. f(x)=6x2−18x−24
35. f(x)=xsinx on [−1,1]
36. f(x)=xx+1
37. f(x)=x2x+1
En Ejercicios 38-41, encuentra la derivada solicitada.
38. f(x)=xsinx; find f″(x).
39. f(x)=xsinx; find f(4)(x).
40. f(x)=cscx; find f″(x).
41. f(x)=(x3−5x+2)(x2+x−7); find f(8)(x).
En Ejercicios 42-45, usa la gráfica def(x) para bosquejarf′(x).
42.
43.
44.
45.
2.5: La regla de la cadena
Términos y Conceptos
1. T/F: La regla de la cadena describe cómo evaluar la derivada de una composición de funciones.
2. T/F: La Regla Generalizada del Poder lo estableceddx(g(x)n)=n(g(x))n−1.
3. T/F:ddx(ln(x2))=1x2.
4. T/F:ddx(3x)≈1.1⋅3x.
5. T/F:dxdy=dxdt⋅dtdy
6. T/F: Tomar la derivada def(x)=x2sin(5x) requiere el uso tanto de las Reglas del Producto como de la Cadena.
Problemas
En los Ejercicios 7-28, computar las derivadas de la función dada.
7. f(x)=(4x3−x)10
8. f(t)=(3t−2)5
9. g(θ)=(sinθ+cosθ)3
10. h(t)−e3t2+y−1
11. f(x)=(x+1x)4
12. f(x)=cos(3x)
13. g(x)=tan(5x)
14. h(t)=sin4(2t)
15. p(t)=cos3(t2+3t+1)
16. f(x)=ln(cosx)
17. f(x)=ln(x2)
18. f(x)=2ln(x)
19. g(r)=4r
20. g(t)=5cost
21. g(t)=152
22. m(w)=3w2w
23. h(t)=2t+33t+2
24. m(w)=3w+12w
25. f(x)=3x2+x2x2
26. f(x)=x2sin(5x)
27. g(t)=cos(t2+3t)sin(5t−7)
28. g(t)=cos(1t)e5t2
En los Ejercicios 29-32, encuentra la ecuación de líneas tangentes y normales a la gráfica de la función en el punto dado. Nota: las funciones aquí son las mismas que en los Ejercicios 7 a 10.
29. f(x)=(4x3−x)10 at x=0
30. f(t)=(3t−2)5 at t=1
31. g(θ)=(sinθ+cosθ)3 at θ=π/2
32. h(t)=e3t2+t−1 at t=−1
33. Calcularddx(ln(kx)) dos formas:
(a) Usando la regla Cadena, y
(b) usando primero la regla de logaritmoln(ab)=lna+lnb, luego tomando la derivada.
34. Calcularddx(ln(xk)) dos formas:
(a) Usando la Regla de Cadena, y
(b) usando primero la regla de logaritmoln(ap)=plna, luego tomando la derivada.
Revisar
35. El “factor de viento frío” es una medida de lo frío que “se siente” durante el clima frío y ventoso. DejeW(w) ser el factor de frío del viento, en grados Fahrenheit, cuando es 25 F afuera con un viento dew mph.
a) ¿De qué son las unidadesW′(w)?
b) ¿Cuál esperaría que fuera el signoW′(10) de?
36. Encuentra las derivadas de las siguientes funciones.
af(x)=x2excotx
) bg(x)=2x3x4x
2.6: Diferenciación implícita
Términos y Conceptos
1. En sus propias palabras, explique la diferencia entre funciones implícitas y funciones explícitas.
2. La diferenciación implícita se basa en qué otra regla de diferenciación?
3. T/F: La diferenciación implícita puede ser utilizada para encontrar la derivada dey=√x.
4. T/F: La diferenciación implícita puede ser utilizada para encontrar la derivada dey=x3/4.
Problemas
En Ejercicios 5-12, computar la derivada de la función dada.
5. f(x)=√x+1√x
6. f(x)=3√x+x2/3
7. f(x)=√1−t2
8. g(t)=√tsint
9. h(x)=x1.5
10. f(x)=xπ+x1.9+π1.9
11. g(x)=x+7√x
12. f(t)=5√t(sect+et)
En los Ejercicios 13-25, encuentradydx usando diferenciación implícita.
13. x4+y2+y=7
14. x2/5+y2/5=1
15. cos(x)+sin(y)=1
16. fracxy=10
17. yx=10
18. x2e2+2y=5
19. x2tany=50
20. (3x2+2y3)4=2
21. (y2+2y−x)2=200
22. x2+yx+y2=17
23. sin(x)+ycos(y)+x=1
24. ln(x2+y2)=e
25. ln(x2+xy+y2)=1
26. Mostrar quedydx es lo mismo para cada una de las siguientes funciones definidas implícitamente.
a)xy=1
b)x2y2=1
c)sin(xy)=1
d)ln(xy)=1
En los Ejercicios 27-31, encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de la función definida implícitamente en los puntos indicados. Como ayuda visual, se grafica cada función.
27. x2/5+y2/5=1
(a) At (1,0)
(b) At (0.1, 0.281) (que no se encuentra exactamente en la curva, sino que está muy cerca).
28. x4+y4=1
a) Al (1,0).
b) En(√0.6,√0.8).
(c) Al (0,1).
29. (x2+y2−4)3=108y2
a) Al (0,4).
b) En(2,−4√108)
30. (x2+y2+x)2=x2+y2
(a) Al (0,1).
b) En(−34,3√34).
31. (x−2)2+(y−3)2=9
(a) En(72,6+3√32).
b) En(4+3√32,32).
En los Ejercicios 32-35 se da una función implícitamente definida. Encontrardydx2. Nota: estos son los mismos problemas utilizados en los Ejercicios 13-16.
32. x4+y2+y=7
33. x2/5+y2/5=1
34. cosx+siny=1
35. xy=10
En los Ejercicios 36-41, usa la diferenciación logarítmica para encontrardydx, luego encontrar la ecuación de la línea tangente en el valor x indicado.
36. y=(1+x)1/x,x=1
37. y=2xx2,x=1
38. y=xxx+1,x=1
39. y=xsin(x)+2,x=1
40. y=x+1x+2,x=1
41. y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),x=1
2.7: Derivadas de funciones inversas
Términos y Conceptos
1. T/F: Cada función tiene una inversa.
2. En sus propias palabras explique lo que significa para una función ser “uno a uno”.
3. Si (1,10) se encuentra en la gráfica dey=f(x), ¿qué se puede decir de la gráfica dey=f−1(x)?
4. Si (1,10) se encuentra en la gráfica dey=f(x) and f′(1)=5, lo que se puede decir dey=f−1(x)?
Problemas
En Ejercicios 5-8, verificar que las funciones dadas sean inversas.
5. f(x)=2x+6 and g(x)=12x−3
6. f(x)=x2+6x+11,x≥3yg(x)=√x−2−3,x≥2
7. f(x)=3x−5,x≠5yg(x)=3+5xx,x≠0
8. f(x)=x+1x−1,x≠1 and g(x)=f(x)
En los Ejercicios 9-14,f(x) se da una función invertible junto con un punto que se encuentra en su gráfica. Utilizando el Teorema 22, evaluar(f−1)′(x) al valor indicado.
9. f(x)=5x+10
Punto = (2,20)
Evaluar(f−1)′(20)
10. f(x)=x2−2x+4,x≥1
Punto =(3,7)
Evaluar(f−1)′(7)
11. f(x)=sin2x,−π/4≤x≤π/4
Punto =(π/6,√3/2)
Evaluar(f−1)′(√3/2)
12. f(x)=x3−6x2+15x−2
Punto =(1,8)
Evaluar(f−1)′(8)
13. f(x)=11+x2,x≥0
Punto =(1,1/2)
Evaluar(f−1)′(1/2)
14. f(x)=6e3x
Punto =(0,6)
Evaluar(f−1)′(6)
En los Ejercicios 15-24, computar la derivada de la función dada.
15. h(t)=sin−1(2t)
16. f(t)=sec−1(2t)
17. g(x)=tan−1(2x)
18. f(x)=xsin−1(x)
19. g(t)=sintcos−1t
20. f(t)=lntet
21. h(x)=sin−1xcos−1x
22. g(x)=tan−1(√x)
23. f(x)=sec−1(1/x)
24. f(x)=sin(sin−1x)
En los Ejercicios 25-27, computa la derivada de la función dada de dos maneras:
(a) Simplificando primero, luego tomando la derivada, y
(b) usando primero la Regla de Cadena y luego simplificando.
Muy que las dos respuestas son las mismas.
25. f(x)=sin(sin−1x)
26. f(x)=tan−1(tanx)
27. f(x)=sin(cos−1x)
En los Ejercicios 28-29, encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica def al valor indicado.
28. f(x)=sin−1x at x=√22
29. f(x)=cos−1(2x) at x=√34
Revisar
30. Encontrardydx, dóndex2y−y2x=1.
31. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica dex2+y2+xy=7 en el punto (1,2).
32. Vamosf(x)=x3+x. Evaluarlims→0f(x+s)−f(x)s.